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专题 09 解答题第 23 题（几何证明）（16 区）
1．（2023·上海杨浦·二模）已知：在直角梯形 中， ， ， 沿直线 翻折，
点A恰好落在腰 上的点E处．
(1)如图，当点E是腰 的中点时，求证： 是等边三角形；
(2)延长 交线段 的延长线于点F，连接 ，如果 ，求证：四边形 是矩形．
2．（2023·上海浦东新·统考二模）已知：如图，在梯形 中， ，过点B作 ，垂足
为点E，点G在边 上，连接 、 ，对角线 与 、 分别交于点F、H，且 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ，且 是 与 的比例中项，求证：四边形 是菱形．
3．（2023·上海松江·统考二模）如图，已知正方形 ， 、 分别为边 、 的中点， 与交于点 ， ，垂足为点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 正弦值．
4．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知 是等边三角形，过点 作 （ ），且
，联结 、 ．
(1)求证：四边形 是等腰梯形；
(2)点 在腰 上，联结 交 于点 ，若 ，求证： ．
5．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知 、 分别是 和它的邻补角 的角平分线，
，垂足为点E， ，连接 ，分别交 、 于点G、H．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)试猜想 与 之间的数量关系，并证明你的结论．
6．（2023·上海宝山·统考二模）如图，四边形 中， ， 、 交于点O， ．
(1)求证： ；
(2)E是边 上一点，连接 交 于点F，如果 ，求证：四边形 是平行四边形．
7．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知 是 的外接圆，连接 并延长交边 于点D，连接
，且 ．(1)求证： ；
(2)当 时，过点A作边 的平行线，交 于点E，连接 交 于点F．请画出相应的图形，
并证明： ．
8．（2023·上海静安·统考二模）如图，在矩形 中，点 是边 的中点， 是 的外接圆，
交边 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 是以点 为中心的正六边形的一边时，求证： ．
9．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在扇形 中，点C、D在 上， ，点F、E分别在半
径 、 上， ，连接 、 ．(1)求证： ；
(2)设点Р为 的中点，连接 、 、 ，线段 交 于点M、交 于点N．如果 ，求
证：四边形 是矩形．
10．（2023·上海黄浦·统考二模）已知：如图，在正方形 中，点 在对角线 的延长线上，作
，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)延长 交射线 于点 ，求证： ．
11．（2023·上海崇明·统考二模）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于E，M是边
延长线上的一点，联结 ，与边 交于F，与对角线 交于点G．(1)求证： ；
(2)联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
12.（2023上海青浦二模）（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图7，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，点E在边BC上，联结AE交BD于点F，且
．
（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；
（2）求证：AD·AE＝BE·BD．
A
D
F
B C
E
图7
13.（2023上海奉贤二模）（本题满分12分，每小题满分6分）
已知：如图8，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于
点G．（1）求证：CE=CF；
AG AF
=
（2）如果
FG2 =AG⋅DG
，求证：
AE BE
．
A D G
F
B E C
图8
14.（2023上海虹口二模）（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC延长线上一点，
∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结CF．
（1）求证：AD·DE=AC·DC；
（2）如果AD·CE=DF·DB，求证：四边形DFCE为梯形．
D
A
F
B C E
图9
15. （2023上海普陀二模）(本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分)
已知:如图9，四边形ABCD中，AB//CD， ∠BAD=90°， 对角线AC、BD相交于点
O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F, AB·DC=BF·BD.
(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证: EC=2DG .
16．（2023上海长宁二模）（本题满分12分，第（1）小题6分；第（2）小题6分）
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上,
CE与DF交于点G.已知AE+AF=AB.
（1）求证：CE⊥DF；
（2）以点 G 为圆心， GD 为半径的圆与线段 DF 交于点H ，
点P为线段 BH 的中点，联结 CP ，如图2所示，求证：∠BCP+∠DCE=∠ECP ．
A E D A E D
G G
H
F F
P
B C B C
（图1） （图2）
