文档内容
2015年上海市浦东新区中考数学三模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）2014年上海的GDP总值为23560.94亿元．这个数如果用科学记数法表
示为2.356094×10n，那么n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（4分）下列各运算中，结果正确的是（ ）
A．2 +3 ＝5 B．a8÷a2＝a4
C．（﹣3a2）3＝﹣27a6 D．（a2+b2）2＝a4+b4
3．（4分）估算 +2的值是在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
4．（4分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意
调查，从而最终决定买什么水果．下列调查数据中最值得关注的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．（4分）下列结论不正确的是（ ）
A． + ＝0
B． + ＝ +
C．如果 ＝ ，那么| |＝| |
D．如果非零向量 ＝k （k≠0），那么 ∥
6．（4分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，
AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（ ）
A． m B． m C． m D． m
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）因式分解：ab2﹣a＝ ．
第1页（共24页）8．（4分）方程 的解为 ．
9．（4分）已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0有实数解，那么m的取值范围是
．
10．（4分）已知函数 ，那么f（﹣2）＝ ．
11．（4分）抛物线y＝x2﹣6x的顶点坐标为 ．
12．（4分）某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地
点测得旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 m．
13．（4分）从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三
角形的概率等于 ．
14．（4分）一件标价为250元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价
是 元．
15．（4分）如果等腰三角形底边上的中线长等于腰长的一半，那么这个等腰三角
形顶角的度数是 ．
16．（4分）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°
方向，那么∠AOB的度数等于 ．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋
转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经
过点C，那么旋转角等于 度．
18．（4分）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那
么，当输入数据为8时，输出的数据为 ．
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
第2页（共24页）19．（10分）计算：20150﹣（ ） + ﹣|2 ﹣3|
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD＝5，
sin∠ADC＝ ．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）如果边AB的中点为M，联结CM，交AD于点E，求线段AE的长．
22．（10分）如图，线段AB表示一种产品的销售量y（吨）与销售价格x（元/吨）之
间的对应关系．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果销售额为3500元时，问销售量是多少？
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AC，∠DAE＝
∠BAC，AE＝AD，联结DE、BE．
（1）求证：∠ABE＝∠ABC；
（2）当BE∥AD时，求证：DE＝AC．
第3页（共24页）24．（12分）已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点M，点B与点A关于
点M成中心对称，反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）将这条直线平移，使它与反比例函数的图象交于第一象限内的点C，与y轴交
于点D，如果四边形ABCD是平行四边形，并指出这条直线平移的方向和距离；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P在x轴上，且△APC是直角三角形，求点P
的坐标．
25．（14分）已知：如图，C是 A与 B的一个交点，联结AC，并延长交 B于点
D， B交AB于点P，联结BC、BD，AB＝8，AC＝6， B的半径为x，线段AD
⊙ ⊙ ⊙
的长为y．
⊙ ⊙
（1）当∠A＝30°时，求弦CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结DP，当∠CBD＝∠A，求△BCD与△BDP的面积之比．
第4页（共24页）2015 年上海市浦东新区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）2014年上海的GDP总值为23560.94亿元．这个数如果用科学记数法表
示为2.356094×10n，那么n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵23560.94＝2.356094×104，
∴n＝4．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（4分）下列各运算中，结果正确的是（ ）
A．2 +3 ＝5 B．a8÷a2＝a4
C．（﹣3a2）3＝﹣27a6 D．（a2+b2）2＝a4+b4
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式；78：二
次根式的加减法．
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【分析】根据二次根式的加减，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据积
的乘方，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．
【解答】解：A、被开方数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；
D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
第5页（共24页）3．（4分）估算 +2的值是在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【分析】先估计 的近似值，然后即可判断 +2的近似值．
【解答】解：由于16＜19＜25，
所以4＜ ＜5，
因此6＜ +2＜7．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估
算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．（4分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意
调查，从而最终决定买什么水果．下列调查数据中最值得关注的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【考点】WA：统计量的选择．
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【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准
差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会
做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意
义．
反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合
理的选择和恰当的运用．
5．（4分）下列结论不正确的是（ ）
A． + ＝0
B． + ＝ +
C．如果 ＝ ，那么| |＝| |
D．如果非零向量 ＝k （k≠0），那么 ∥
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】利用相反向量的知识，可判定A正确；根据平面向量的交换律，可判定B
第6页（共24页）正确，根据模的定义，可确定C正确；又由如果非零向量 ＝k （k≠0），那么
∥ 或共线，可得D错误．
【解答】解：A、 + ＝ ，故选项不正确；
B、 + ＝ + ，故B选项正确；
C、如果 ＝ ，那么| |＝| |；故本选项正确；
D、如果非零向量 ＝k （k≠0），那么 ∥ 或共线；故本选项正确．
故选：A．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意理解平面向量有关的定义是关键．
6．（4分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，
AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（ ）
A． m B． m C． m D． m
【考点】S4：平行线分线段成比例；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求
解．
【解答】解：设点P到AB的距离是xm
∵AB∥CD
∴△ABP∽△CDP
∴
∴x＝
故选：C．
【点评】此题主要考查相似三角形的对应高的比等于相似比．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）因式分解：ab2﹣a＝ a （ b + 1 ）（ b ﹣ 1 ） ．
第7页（共24页）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】首先提取公因式a，再运用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：ab2﹣a，
＝a（b2﹣1），
＝a（b+1）（b﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进
行二次因式分解，因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
8．（4分）方程 的解为 3 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
检验：当x ＝3时，方程的左边＝右边，所以x ＝3为原方程的解，
1 1
当x ＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x ＝﹣1不是原方程的解．
2 2
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要
把x的值代入原方程进行检验．
9．（4分）已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0有实数解，那么m的取值范围是 m ≥
﹣ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】有解的意思就是指△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意得
△＝b2﹣4ac＝4+4m≥0，
解得m≥﹣1，
故答案是m≥﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
⇔
第8页（共24页）（3）△＜0 方程没有实数根．
10．（4分）⇔已知函数 ，那么f（﹣2）＝ ﹣ ． ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】将﹣2代入已知的函数解析式即可求得函数值．
【解答】解：f（﹣2）＝ ＝﹣ ，
故答案为﹣ ．
【点评】本题主要考查求函数值，此题比较简单，注意（1）当已知函数解析式时，求
函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
11．（4分）抛物线y＝x2﹣6x的顶点坐标为 （ 3 ，﹣ 9 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】已知抛物线解析式为一般式，可以利用顶点坐标公式求顶点坐标，也可以
用配方法求解．
【解答】解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣ ， ），代入数值求得顶点坐标为（3，
﹣9）．
解法2：利用配方法
y＝x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9，
故顶点的坐标是（3，﹣9）．
故答案为（3，﹣9）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法要熟练
掌握，是解题的关键．
12．（4分）某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地
点测得旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 2 0 m．
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物
体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4＝x：5，然后解方程即可．
【解答】解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4＝x：5，
第9页（共24页）解得x＝20（m）．
即该旗杆的高度是20m．
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．
13．（4分）从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三
角形的概率等于 ．
【考点】K6：三角形三边关系；X4：概率公式．
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【专题】16：压轴题．
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要
把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．
【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：
2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，
能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为 ．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
14．（4分）一件标价为250元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价
是 20 0 元．
【考点】1C：有理数的乘法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意列得：250×80%＝200（元），
则该商品的实际售价为200元．
故答案为：200．
【点评】此题考查了有理数的乘法，弄清题意是解本题的关键．
15．（4分）如果等腰三角形底边上的中线长等于腰长的一半，那么这个等腰三角
形顶角的度数是 120 ° ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．
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第10页（共24页）【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，在直角△ABD中由
sin∠B＝ ＝ ，求出∠B＝30°，再根据等腰三角形两底角相等及三角形内角
和定理即可求得其顶角的度数．
【解答】解：如图，AD是等腰△ABC底边上的中线，AD＝ AB＝ AC．
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∵在直角△ABD中，AD＝ AB，
∴sin∠B＝ ＝ ，
∴∠B＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°．
故答案为120°．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形内角和定理等
知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．
16．（4分）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°
方向，那么∠AOB的度数等于 85 ° ．
【考点】IH：方向角．
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【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，易得结果．
【解答】解：如图：∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∵∠1＝45°，
∴∠AOB＝∠1+∠3＝45°+40°＝85°，
故答案为：85°．
第11页（共24页）【点评】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B
的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋
转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经
过点C，那么旋转角等于 6 0 度．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】连接CC′，则B′、C′、C在一条直线上，由旋转的性质得出∠1＝∠2，
DC′＝DC，得出∠3＝∠4，再由平行线的性质得出∠2＝∠3，证出△CDC′
是等边三角形，得出∠CDC′＝60°即可．
【解答】解：连接CC′，如图所示：
则B′、C′、C在一条直线上，
由旋转的性质得：∠1＝∠2，DC′＝DC，
∴∠3＝∠4，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3＝∠4，
∴△CDC′是等边三角形，
第12页（共24页）∴∠CDC′＝60°；
故答案为：60．
【点评】本题考查了旋转的性质、梯形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌
握旋转的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的根据．
18．（4分）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那
么，当输入数据为8时，输出的数据为 ．
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
【考点】33：代数式求值．
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【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】根据图表找出输出数字的规律，直接将输入数据代入即可求解．
【解答】解：输出数据的规律为 ，
当输入数据为8时，输出的数据为 ＝ ．
【点评】此题主要考查根据已有输入输出数据找出它们的规律，进而求解．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：20150﹣（ ） + ﹣|2 ﹣3|
【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算．
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【分析】分别进行零指数幂、二次根式的化简、分数指数幂、绝对值的化简等运算，
然后合并．
【解答】解：原式＝1﹣ +2 +2﹣（3﹣2 ）
＝3 ．
第13页（共24页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了零指数幂、二次根式的化简、分
数指数幂、绝对值的化简等等知识 掌握运算法则是解答本题关键．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】观察可得最简公分母是2x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方
程转化为整式方程求解，注意分式方程需检验．
【解答】解：方程两边同乘以2x（x﹣1），
得：6x2+2（x﹣1）2＝7x（x﹣1），
即x2+3x+2＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣2．
1 2
检验：当x＝﹣1时，2x（x﹣1）＝4≠0，即x＝﹣1是原方程的解；当x＝﹣2时，2x
（x ﹣1）＝24≠0，即x＝﹣2也是原方程的解，
故原分式方程的解为：x ＝﹣1，x ＝﹣2．
1 2
【点评】此题考查了分式方程的解法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，
注意解分式方程一定要验根．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD＝5，
sin∠ADC＝ ．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）如果边AB的中点为M，联结CM，交AD于点E，求线段AE的长．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据正弦的概念和AD的值，求出AC和BC，得到AB的长，根据余弦
概念求出答案；
（2）作MF∥AD交BC于F，根据平行线分线段成比例定理MF和DE，计算得到
答案．
第14页（共24页）【解答】解：（1）∵sin∠ADC＝ ＝ ，AD＝5，
∴AC＝4，
由勾股定理得CD＝3，
则BC＝3+5＝8，
由勾股定理得AB＝4 ，
∴cos∠ABC＝ ＝ ；
（2）作MF∥AD交BC于F，
∵边AB的中点为M，
∴BF＝FD＝ ，MF＝ AD＝ ，
＝ ＝ ，
∴DE＝ ，AE＝5﹣ ＝ ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念和平行线
分线段成比例定理是解题的关键，注意辅助线的作法要准确．
22．（10分）如图，线段AB表示一种产品的销售量y（吨）与销售价格x（元/吨）之
间的对应关系．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果销售额为3500元时，问销售量是多少？
第15页（共24页）【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后将点A、B的坐标代入
得到关于k、b的方程组，从而可解得k、b的值；
（2）销售额＝销售量×销售的价格，从而得到关于x的一元二次方程，然后解这个
关于x的方程即可求得问题的答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（40，80）、B（100，20）代入得： ，
解得： ．
所以y与x的函数关系式为y＝﹣x+120（40≤x≤100）；
（2）由销售额＝销售量×销售的价格得：x（﹣x+120）＝3500，
解得：x ＝50，x ＝70，
1 2
当x＝50时，y＝﹣50+120＝70吨；
当x＝70时，y＝﹣70+120＝50吨．
答：如果销售额为3500元时，问销售量是70吨或50吨．
【点评】本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，以及一元二次
方程的应用，读懂题意根据销售额＝销售量×销售的价格列出方程是解题的关
键．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AC，∠DAE＝
∠BAC，AE＝AD，联结DE、BE．
（1）求证：∠ABE＝∠ABC；
（2）当BE∥AD时，求证：DE＝AC．
第16页（共24页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC 可知∠BAE＝∠CAD，运用 SSS 可证明
△ABE≌△ACD，即可证明结论；
（2）由（1）可知BE＝CD，由BE∥AD可知∠EBD＝∠ADC，∠ABE＝∠BAD，由
（1）知∠ABE＝∠ABC，于是∠ABC＝∠BAD，即可证明△ADC≌△DBE，结论
可证．
【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠ABC．
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∵BE∥AD，
∴∠EBD＝∠ADC，∠ABE＝∠BAD，
由（1）知∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝DB，
第17页（共24页）在△DBE和△ACD中，
，
∴△DBE≌△ACD（SAS），
∴DE＝AC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的
性质的综合运用，根据图形分析出要证的等角和等线段所在的三角形，探索两
三角形全等的条件是解决问题的关键．
24．（12分）已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点M，点B与点A关于
点M成中心对称，反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）将这条直线平移，使它与反比例函数的图象交于第一象限内的点C，与y轴交
于点D，如果四边形ABCD是平行四边形，并指出这条直线平移的方向和距离；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P在x轴上，且△APC是直角三角形，求点P
的坐标．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）先求出A、M、B的坐标，把点B（1，4）代入y＝ ，得出k的值即可；
（2）分两种情况： 若直线y＝2x+2向上平移，CD＜AB，四边形ABCD不是平行
四边形；
①
若直线AB向下平移，作BE⊥x轴于E，过C、D点作x轴、y轴的垂线，它们相
交于点F；证明△ABE≌△DCF，得出DF＝AE＝2，CF＝BE＝4，求出OD，即可
②
得出结果；
（3）分两种情况： 当∠APC＝90°时，OP＝2，即可得出点P坐标；
当∠ACP＝90°时，作CF⊥AP于F，由勾股定理求出AC，由射影定理求出AP，
①
得出OP，即可得出点P坐标．
②
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+2，当y＝0时，x＝﹣1；
当x＝0时，y＝2；
∴A（﹣1，0），M（0，2），
第18页（共24页）∴OA＝1，
∵点B与点A关于点M成中心对称，
∴BM＝AM，
∴B（1，4），
把B（1，4）代入y＝ 得：k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
（2）分两种情况： 若直线y＝2x+2向上平移，如图1所示：
①
则CD＜AB，
∴四边形ABCD不是平行四边形；
若直线AB向下平移，
作BE⊥x轴于E，分别过C、D点作x轴、y轴的垂线，它们相交于点F；
②
如图2所示：
第19页（共24页）则∠AEB＝∠F＝90°，AE∥DF，
∴∠1＝∠CDF，
若四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠1，
∴∠BAE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴DF＝AE＝2，CF＝BE＝4，
∴点C的横坐标为2，
把x＝2代入y＝ 得：y＝2，
∴OD＝4﹣2＝2，
∴D点坐标为（0，﹣2），
∴如果四边形ABCD是平行四边形，直线AB向下平移4个单位长度得到BC；
（3）分两种情况： 当∠APC＝90°时，如图3所示：
①
OP＝2，点P坐标为（2，0）；
当∠ACP＝90°时，
作CF⊥AP于F，如图4所示：
②
第20页（共24页）则AF＝3，
∵AC＝ ＝ ，
∴由射影定理得：AC2＝AF×AP，
∴AP＝ ，
∴OP＝ ﹣1＝ ，
∴点P坐标为（ ，0）．
综上所述：如果点P在x轴上，且△APC是直角三角形，点P的坐标为（2，0）或（
，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、平行四边
形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平移的性质等知识；本题难度
较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要进行分类讨论，画出图形，证明三角形
全等和运用勾股定理才能得出结果．
25．（14分）已知：如图，C是 A与 B的一个交点，联结AC，并延长交 B于点
D， B交AB于点P，联结BC、BD，AB＝8，AC＝6， B的半径为x，线段AD
⊙ ⊙ ⊙
的长为y．
⊙ ⊙
（1）当∠A＝30°时，求弦CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结DP，当∠CBD＝∠A，求△BCD与△BDP的面积之比．
第21页（共24页）【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）作BE⊥CD于点E，利用30°的直角△AEB，可得AE的值，就可求出
CE的值，由CE＝DE，可得CD＝2CE即可求出CD的值．
（2）同样利用图1，作BE⊥CD于点E，先得出CE＝DE，即可得出CE＝ （AD﹣
AC）＝ （y﹣6），由 B的半径为x，可得OC＝x，由BE2＝OC2﹣CE2＝AB2﹣
⊙
AE2，可得出y关于x的函数解析式，由y＞6，写出它的定义域即可；
（3）连接DP，由∠CBD＝∠A，∠BDC＝∠ADB，可得△BCD∽△ABD，利用相似
三角形的面积比等于相似比的平方可得S ：S ＝BD2：AD2，由△BDP与
△BCD △ABD
△ABD同底为BD，可得S ：S ＝BP：AB，即可求出S ：S 的值．
△BDP △ABD △BCD △BDP
【解答】解：（1）如图1，作BE⊥CD于点E，
∵∠A＝30°，AB＝8，
∴AE＝4 ，
∵AC＝6，
∴CE＝AE﹣AC＝4 ﹣6，
又∵BC＝BD，
∴CE＝DE，
第22页（共24页）∴CD＝2CE＝2×（4 ﹣6）＝8 ﹣12，
（2）如图1，作BE⊥CD于点E，
∵BC＝BD，
∴CE＝DE，
∴CE＝ （AD﹣AC）＝ （y﹣6），
∵ B的半径为x，
∴OC＝x，
⊙
∴BE2＝OC2﹣CE2＝x2﹣ （y﹣6）2，
∵BE2＝AB2﹣AE2＝64﹣（ y+3）2，
∴x2﹣ （y﹣6）2＝64﹣（ y+3）2，化简得：y＝ x2+ ．
（由y＞6，得出0＜x＜2 ）．
（3）如图2，连接DP，
∵∠CBD＝∠A，∠BDC＝∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴S ：S ＝BD2：AD2＝ ，
△BCD △ABD
∵△BDP与△ABD同底为BD，
∴S ：S ＝BP：AB＝ ，
△BDP △ABD
∴S ：S ＝ ： ＝ ．
△BCD △BDP
第23页（共24页）【点评】本题主要考查了圆的综合题，涉及含30度角的直角三角形，勾股定理，相
似比及二次函数知识等．解题的关键是正确作出辅助线，根据题意列式．
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日期：2018/12/26 20:40:42；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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