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2023年上海市15区中考数学一模汇编
专题 02 函数概念（60 题）
一．选择题（共20小题）
1．（2022秋•浦东新区校级期末）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7 D．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数 y＝ax2+bx+c的定义
条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交
点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系
数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b
异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，
c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0
时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3．（2022秋•杨浦区校级期末）在直角坐标平面内，如果抛物线y＝﹣x2﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣
x2互相重合，那么这个平移是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【分析】根据抛物线顶点的平移路径即可判断．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2﹣1的顶点为（0，﹣1），抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0），
从（0，﹣1）到（0，0）是向上平移1个单位，
∴抛物线是向上平移1个单位，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移要看顶点的平移；横坐标改变是左右平移，纵坐
标改变是上下平移．
4．（2022秋•嘉定区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x+2 B．
C．y＝（2x﹣1）2﹣4x2 D．y＝2﹣3x2
【分析】根据二次函数的标准形式y＝ax2+bx+c（a≠0），从选项中直接可以求解．
【解答】解：二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴y＝2﹣3x2是二次函数，故选：D．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
5．（2022秋•青浦区校级期末）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数
值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中 ），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝ ＝1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与
性质是解题的关键．
6．（2022秋•金山区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣3x+5 B．y＝2x2
C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是二次函数，故本选项符合题意；
C．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、
b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
7．（2022秋•黄浦区期末）二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先将该抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，即可得到该顶点位于哪个象限．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+8x+5＝2（x+2）2﹣3，
∴该函数的顶点坐标为（﹣2，﹣3），该顶点位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是求出该抛物线的顶点坐标．
8．（2022秋•徐汇区期末）下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝
C．y＝x（x+1） D．y＝（x+2）2﹣x2
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝x（x+1）＝x2+x，是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为
整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数
不为0这个关键条件．
9．（2022秋•杨浦区期末）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2+2，
∴顶点为（﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
10．（2022秋•杨浦区期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以
看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度
y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x+m）2+k（a＜0）．某运动员进行了
两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运
动员竖直高度的最大值为（ ）第一次训练数据
水平距离 0 2 5 8 11 14
x/m
竖直高度 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
y/m
A．23.20cm B．22.75cm C．21.40cm D．23cm
【分析】根据表格中数据求出顶点坐标即可．
【解答】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．
11．（2022秋•浦东新区期末）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+3，那么它的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（ 2.1 ） D．（ 2，3）
【分析】抛物线的表达式已经是顶点式的形式，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2+3，
∴它的顶点坐标是（1，3），
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，此题比较简单．
12．（2022秋•闵行区期末）抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）
【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），将该顶点向下平移3个单位长度所得的顶点坐标是
（0，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规
律求函数解析式是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区期末）函数 的图象经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【分析】由y＝（ ）2＝ x2， ＞0，可知函数 的图象为开口向上，顶点在原点
的抛物线，故经过的象限是第一、二象限．
【解答】解：y＝（ ）2＝ x2，
∵a＜0，
∴ ＞0，
∴函数 的图象为开口向上，顶点在原点的抛物线，
∴经过的象限是第一、二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象，先求出解析式，再确定出抛物线的开口方向和顶点坐标是解题
的关键．
14．（2022秋•青浦区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（
）
A．c＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＝0
【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【解答】解：由图象可得，
该函数图象与y轴交于正半轴，故c＞0，则选项A错误，不符合题意；
对称轴位于y轴左侧，a＜0，则b＜0，故选项B错误，不符合题意；图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意；
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
15．（2022秋•黄浦区期末）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的
B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的
C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的
D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分先下降，后上升，故选项A、B错误，不符合题意；
抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用
二次函数的性质解答．
16．（2022秋•黄浦区校级期末）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，
能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（ ）
A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）
【分析】分别计算自变量为1、﹣1、﹣3、3所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征
进行判断．
【解答】解：当x＝1时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣16；
当x＝﹣1时，y＝x2﹣8x﹣9＝0；当x＝﹣3时，y＝x2﹣8x﹣9＝24；
当x＝3时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣24；
所以点（1，﹣16）在二次函数y＝x2﹣8x﹣9的图象上．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
18．（2022秋•杨浦区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的交
点可得c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＞0．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，a＞0；对称轴在
y轴右侧，a，b异号；抛物线与y轴的交点即为c的值．
19．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到c＞0，由对称轴为x＝ ＞0可以推出b的取值范围，然后根据象限的特点即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝ ＞0，
∴a、b异号，
即b＞0，
根据第二象限特点：x＜0，y＞0，
可知点P在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定以及第二象限的特点，难度适中．
20．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的
是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b＝﹣2a
【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【解答】解：A．由图可知：
抛物线开口向下，
∴a＜0，
故A错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
故C错误，不符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，∴﹣ ＝1，
即b＝﹣2a，
故D正确，符合题意；
∵a＜0，﹣ ＝1，
∴b＞0，
故B错误，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．
二．填空题（共33小题）
21．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是 k ＞ 2
．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
22．（2022秋•闵行区期末）已知f（x）＝x2+2x，那么f（1）的值为 3 ．
【分析】本题所求f（1），就是求当x＝1时，x2+2x的值．
【解答】解：f（1）＝1+2＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了函数值，解本题的关键是要理解f（x）的含义．
23．（2022秋•闵行区期末）抛物线y＝2x2在对称轴的左侧部分是 下降 的（填“上升”或“下降”）．
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：因为a＝2＞0，
所以抛物线y＝2x2在对称轴左侧部分是下降的，
故答案为：下降．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是 a ＜﹣ 2
．
【分析】根据抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，
∴a+2＜0，
得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小
于0．
25．（2022秋•嘉定区校级期末）二次函数y＝﹣x2+4x+a图象上的最高点的横坐标为 ﹣ 2 ．
【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，
∴二次函数图象上的最高点的横坐标为：﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．
26．（2022秋•浦东新区校级期末）若点A（﹣3，y ）、B（0，y ）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上
1 2
的两点，那么y 与y 的大小关系是 y ＜ y （填y ＞y 、y ＝y 或y ＜y ）．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，y ＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣29；
1
当x＝0时，y ＝﹣2（x﹣1）2+3＝1；
2
∵﹣29＜1，
∴y ＜y ，
1 2
故答案为：y ＜y ．
1 2
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了
二次函数的性质．
27．（2022秋•徐汇区期末）如果抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），那么k的值是
1 ．
【分析】把交点为（0，1）代入抛物线解析式，解一元二次方程，即可解得k．
【解答】解：∵抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），
∴﹣k2+2＝1，
解得：k＝±1，
∵k+1≠0，
∴k＝1，
故答案为1．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式的知识点，解答本题的关键是理解抛物线与 y轴的
交点问题，本题难度不大．
28．（2022秋•青浦区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+1图象的对称轴是直线 x ＝ 2 ．
【分析】首先把二次函数的解析式进行配方，然后根据配方的结果即可确定其对称轴，也可以利用公式
确定对称轴．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+1
＝（x﹣2）2﹣3，
∴二次函数y＝x2﹣4x+1图象的对称轴是直线x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用配方法确定对称轴，或者利用公式确定
抛物线的对称轴．
29．（2022秋•青浦区校级期末）如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是 a ＜
0 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可知a＜0．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最高点，
∴a＜0，
故答案为：a＜0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质解答．
30．（2022秋•徐汇区期末）抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴交点的坐标为 （ 0 ， 3 ） ．
【分析】把x＝0代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，即得抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴的交点．
【解答】解：∵当x＝0时，抛物线y＝﹣x2﹣3x+3与y轴相交，
∴把x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+3，求得y＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+3x﹣3与y轴的交点坐标为（0，3）．
故答案为（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握 y轴上点的横坐标为0是解题的关
键．
31．（2022秋•徐汇区期末）二次函数y＝x2﹣6x图象上的最低点的纵坐标为 ﹣ 9 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴抛物线最低点坐标为﹣9．故答案为：﹣9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
32．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝ ﹣
1 ．
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m﹣1≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1，
又二次项系数m﹣1≠0，
∴m＝﹣1．
故本题答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键，判断
二次项系数不为0是难点．
33．（2022秋•黄浦区校级期末）沿着x轴正方向看，抛物线y＝x2﹣2在y轴左侧的部分是 下降 的
（填“上升”或“下降”）．
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2的开口向上，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴抛物线y＝x2﹣2在y轴左侧的部分是下降的，
故答案为：下降．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
34．（2022秋•嘉定区校级期末）抛物线y＝2x2+3x与y轴的交点坐标是 （ 0 ， 0 ） ．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2+3x+5与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝0，
∴抛物线y＝2x2+3x与y轴的交点坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
35．（2022秋•嘉定区校级期末）抛物线y＝﹣x2+2x在直线x＝1右侧的部分是 上升的 （从“上升的”
或“下降的”中选择）．
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
即抛物线y＝x2﹣2x在直线x＝1右侧的部分是上升的，
故答案为：上升的．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
36．（2022秋•徐汇区校级期末）某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度y
（米）与水平距离x（米）之间的关系为 ，由此可知该考生此次实心球训练的成绩
为 2 米．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，﹣ x2﹣ x+ ＝0，
解得：x ＝10（舍去），x ＝2，
1 2
∴小红此次实心球训练的成绩为10米．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数
或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
37．（2022秋•杨浦区校级期末）二次函数y＝5x2﹣10x+5的图象的顶点坐标是 （ 1 ， 0 ） ．
【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解．
【解答】解：∵y＝5x2﹣10x+5＝5（x2﹣2x+1）＝5（x﹣1）2，
∴二次函数y＝5x2﹣10x+5的图象的顶点坐标是（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键．
38．（2022秋•杨浦区校级期末）已知二次函数 y＝f（x）图象的对称轴是直线 x＝1，如果f（2）＞f
（3），那么f（﹣1） ＜ f（0）．（填“＞”或“＜”）
【分析】由对称轴直线x＝1，f（2）＞f（3）可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，从而判断在对称
轴左侧，y随x的增大而增大，故可判断f（﹣1）＜f（0）．
【解答】解：∵对称轴直线x＝1，f（2）＞f（3），
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴f（﹣1）＜f（0）．
故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，找到二次函数的对称轴并判断出点的位置是解题
的关键．
39．（2022秋•青浦区校级期末）已知点A（0，y ）、B（﹣1，y ）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，
1 2
则y ＜ y （填“＞”、“＝”或“＜”）．
1 2
【分析】根据抛物线的表达式，求出对称轴，再根据二次函数的开口方向，对称性和增减性进行分析即
可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，则当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0＜1，
∴y ＜y ，
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上，对称轴左边y随x的增大而减
小，对称轴右边，y随x的增大而增大性质，是关键．
40．（2022秋•青浦区校级期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为 （ 0 ，﹣ 5 ） ．
【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣5，
故答案为：（0，﹣5）．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．
41．（2022秋•金山区校级期末）若将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表
达式为 y ＝ 2 （ x ﹣ 2 ） 2 ． ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线 y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，
所得到的新抛物线表达式为y＝2（x﹣1）2，
故答案为：y＝2（x﹣2）2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
42．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … m ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 …
那么m的值为 ﹣ 6 ．
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【解答】解：∵x＝﹣3、x＝﹣1时的函数值都是﹣3，相等，
∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，
∵x＝﹣4和x＝0关于直线x＝﹣2对称，
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
43．（2022秋•青浦区校级期末）抛物线 y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是 上升 ．（填“上升”或“下
降”）
【分析】根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
【点评】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而
增大是解题的关键．
44．（2022秋•徐汇区校级期末）在直角坐标平面内，把抛物线y＝（x+1）2向左平移4个单位，再向下平
移2个单位，那么所得抛物线的解析式是 y ＝（ x + 5 ） 2 ﹣ 2 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝（x+1）2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的解析
式是：y＝（x+1+4）2﹣2，即y＝（x+5）2﹣2．
故答案为：y＝（x+5）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
45．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是 3 ．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式计算即可求出 b的值，再根据抛物线的对称轴在y轴的右边判断
出b的正负情况，然后即可得解．
【解答】解：由图可知，抛物线经过原点（0，0），
所以，02﹣b×0+b2﹣9＝0，
解得b＝±3，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴b＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确识图判断出函数图象经过原点坐标是解题的解，
要注意利用对称轴判断出b是负数．
46．（2022秋•徐汇区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+bc的
图象不经过 一 象限．
【分析】先由二次函数的图象，得出系数的符号，再由一次函数的性质求解．
【解答】解：由图象得：a＞0，c＞0，b＜0，
∴bc＜0，
∴一次函数y＝﹣ax+bc的图象不经过第一象限，
故答案为：一．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
47．（2022秋•浦东新区校级期末）二次函数y＝﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为 （ 0 ， 3 ） ．
【分析】把x＝0代入即可求得．
【解答】解：把x＝0代入y＝﹣2x2﹣x+3得，y＝3，
所以二次函数y＝﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），
故答案为（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．
48．（2022秋•浦东新区校级期末）将抛物线y＝x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是 y ＝
（ x ﹣ 2 ） 2 ．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y＝
（x﹣2）2．
故答案为：y＝（x﹣2）2．
【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．
49．（2022秋•浦东新区校级期末）已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的
图象对称轴为直线 x ＝ 2 ．
【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该
二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，
∴该二次函数的图象对称轴为直线：x＝ ，
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对
称．
50．（2022秋•浦东新区期末）将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 y ＝
（ x ﹣ 1 ） 2 ﹣ 5 ．
【分析】根据函数图象的平移规则“左加右减”进行求解即可．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是y＝（x+2﹣3）2﹣5，即y＝（x﹣
1）2﹣5．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣5．【点评】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
51．（2022秋•黄浦区期末）如果一个二次函数的图象的对称轴是y轴，且这个图象经过平移后能与y＝
3x2+2x重合，那么这个二次函数的解析式可以是 y ＝ 3 x 2 + 1 ．（只要写出一个）
【分析】先设原抛物线的解析式为y＝ax2+k，再根据经过平移后能与抛物线y＝3x2+2x重合可知a＝3，
然后根据平移的性质写出解析式，答案不唯一．
【解答】解：先设原抛物线的解析式为y＝ax2+k，
∵经过平移后能与y＝3x2+2x重合，
∴a＝3，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝3x2+1．
故答案为：y＝3x2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
52．（2022秋•徐汇区期末）抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线的函
数解析式为 y ＝（ x ﹣ 3 ） 2 + 1 ．
【分析】根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
【解答】解：抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为
y＝（x﹣3）2+2﹣1，即y＝（x﹣3）2+1．
故答案为：y＝（x﹣3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用
规律求函数解析式．
53．（2022秋•静安区期末）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是 （ 0 ，﹣ 1 ） ．
【分析】把x＝0代入函数解析式求解．
【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
54．（2022秋•徐汇区期末）在直角坐标平面内，二次函数 y＝ax2+bx的图象经过点A（1，﹣5）和点B
（﹣1，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函
数图象顶点M的坐标．【分析】（1）将点（1，﹣5）和点（﹣1，3）代入二次函数y＝ax2+bx，求出a、b即可求解；
（2）把（1）中解析式化为顶点式，再按平移规律求出平移后抛物线为y＝﹣（x+2）2+4+m，即可求顶
点坐标．
【解答】解：（1）将点（1，﹣5）和点（﹣1，3）代入二次函数y＝ax2+bx，
则 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，抛物线与y轴的交点为（0，0），
∵抛物线向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，
∴平移后抛物线为y＝（x+2）2+4+m，
∴顶点为M（﹣2，m+4）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，关键是掌握平移规律．
55．（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+m．
（1）如果抛物线经过点（1，9），求该抛物线的对称轴；
（2）如果抛物线的顶点在直线y＝﹣x上，求m的值．
【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得 m的值；然后将所
求的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；
（2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入y＝﹣x，从而可以求得m的值．
【解答】解：（1）把点（1，9）代入，得12+m+m＝9．
解得m＝4．
则该抛物线解析式为：y＝x2+4x+4＝（x+2）2．
故该抛物线顶点坐标是（﹣2，0），
∴对称轴为直线x＝﹣2；
（2）∵y＝x2+mx+m＝（x+ m）2﹣ +m，
∴抛物线y＝x2+mx+m的顶点坐标是（﹣ m，﹣ +m），
∵抛物线y＝x2+mx+m的顶点在直线y＝﹣x上，∴﹣ +m＝ m．
解得：m＝0或m＝2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征．顶点式 y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标
是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
56．（2022秋•徐汇区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，
0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐
标和对称轴
【解答】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3），
∴ ，解得 ，
∴所求函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
57．（2022秋•嘉定区校级期末）已知抛物线y＝x2+bx经过点A（4，0），顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式及顶点B的坐标；
（2）将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求S ABC．
Δ
【分析】（1）把点A（4，0）代入抛物线y＝x2+bx可求出b的值，进而可得出抛物线的表达式，把抛
物线的表达式化为顶点坐标的形式即可得出B点坐标；
（2）根据平移的规律求得点C的坐标，然后利用一个矩形的面积减去3个三角形的面积求得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx经过点A（4，0），
∴0＝16+4b．
∴b＝﹣4，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x，
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．
∴顶点B的坐标为（2，﹣4）；（2）将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，得到y＝（x﹣2+1）2﹣4+1，即＝（x﹣1）2﹣
3，
∴C（1，﹣3），
∴S△ABC ＝3×4﹣ ﹣ ﹣ ＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，
三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
58．（2022秋•徐汇区校级期末）已知二次函数图象与x轴两个交点之间的距离是4个单位，且顶点M为
（﹣1，4），求二次函数的解析式、截距，并说明二次函数图象的变化趋势．
【分析】根据顶点M为（﹣1，4）和图象与x轴的两个交点之间的距离为4求出抛物线与x轴的交点坐
标，再用待定系数法求函数解析式；根据函数解析式可以得出二次函数的截距；再根据函数的性质得出
二次函数图象的变化趋势．
【解答】解：∵二次函数顶点坐标为（﹣1，4），
∴对称轴为：x＝﹣1，
∵图象与x轴的两个交点之间的距离为4，两个交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
则 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为＝﹣x2﹣2x+3；
令x＝0，则y＝﹣3，∴二次函数在y轴上的截距为﹣3，
∵二次函数图象与x轴两个交点为（﹣3，0），（1，0），
∴二次函数在x轴上的截距为﹣3或1；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．关键是求出函数解析式．
59．（2022秋•闵行区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点A，其顶
点坐标为B．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位后得到的新抛物线的顶点C恰好落在
反比例函数y＝ 的图象上，求∠ACB的余切值．
【分析】（1）求出抛物线的顶点B的坐标以及抛物线与y轴的交点A的坐标，根据待定系数法求出直
线AB的关系式；
（2）根据平移的性质求出点C的坐标，再根据锐角三角函数的定义求出∠ACB的余切值即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴其顶点B的坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点A的坐标为（0，3），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，因此
，
解得 ，
∴直线AB的关系式为y＝x+3；
（2）由平移变换可知点C的纵坐标为4，
当y＝4时，即 ＝4，
解得x＝4，
∴点C（4，4），
∴cot∠ACB＝ ＝4．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质以及解直角三角形，掌握平
移变换的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
60．（2022秋•金山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、
B（2，0），和点C（0，﹣4）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P为抛物线第四象限上的一个动点，连接AP交线段BC于点G，如果AG：GP＝3，求点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C的坐标代入可求得a的值，从而得到
抛物线的解析式；
（2）过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 BC 于点 F，过点 A 作 AD⊥x 轴交 BC 的延长线于点 D，证明
△ADG∽△PFG，得出 ＝ ＝3，求出直线BC的解析式为y＝2x﹣4，设P（m，2m2﹣2m﹣4），则
F（m，2m﹣4），可得出 ＝ ＝3，解方程可得出结论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）．
将C（0，﹣4）代入得：﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣2），即y＝2x2﹣2x﹣4；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，∴AD∥PE，
∴△ADG∽△PFG，
∴ ＝ ＝3．
设直线BC的解析式为y＝kx﹣4，
代入B（2，0）得，2k﹣4＝0，
解得k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣4，
∵A（﹣1，0），
∴y＝2x﹣4＝﹣6，
∴AD＝6，
设P（m，2m2﹣2m﹣4），则F（m，2m﹣4），
∴PF＝2m﹣4﹣（2m2﹣2m﹣4）＝﹣2m2+4m．
∴ ＝ ＝3，
整理得m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1，
∴P（1，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，函数图象
上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
声明：
