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2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编
专题 02 函数基本概念与性质
一．选择题（共15小题）
1．（松江区）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（
）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＞0 D．b＜0，c＜0．
【分析】通过函数图象开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可确定a，b，c的符号，
进而求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．
2．（徐汇区）下列对二次函数y＝﹣2（x+1）2+3的图象的描述中，不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线与y轴的交点坐标是（0，3）
D．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、对称轴为直线x＝﹣1，故本小题正确，不合题意；
C、令x＝0，则y＝﹣2+3＝1，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），故不正确，符合题意；
D、抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），故本小题正确，不合题意；
故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，
掌握其性质是解决此题关键．
3．（虹口区）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝（x﹣l）2﹣x2
C．y＝5x2 D．y＝
【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据
定义进行判断即可．
【解答】解：A．y＝ 是二次根式形式，不是二次函数，故不符合题意；
B．y＝（x﹣l）2﹣x2＝x2﹣2x+1﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故不符合题意；
C．y＝5x2，是二次函数，故符合题意；
D．y＝ ＝x﹣2，不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，牢固掌握二次函数的定义和一般形式是解题的关键．
4．（嘉定区）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（x﹣1）
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．函数y＝x﹣1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝ 不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y＝（x﹣2）2﹣x2是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数y＝x（x﹣1）是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，注意：形如y＝ax2+bx+c
（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
5．（奉贤区）从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物
线y＝x2+2绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法
正确的是（ ）
A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同 D．它们的顶点坐标相同
【分析】将抛物线y＝x2+2绕着原点旋转180°，则新抛物线与原抛物线关于原点对称．
【解答】解：A、它们的开口方向相反，不符合题意；B、它们的对称轴相同，符合题意；
C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题意；
D、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，抛物线绕着原点旋转
180°后，新抛物线与原抛物线关于原点对称．
6．（奉贤区）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象过点（﹣1，1）的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝ D．y＝x2
【分析】将点（﹣1，1）分别代入4个解析式进行验证即可得出答案．
【解答】解：把x＝﹣1代入y＝x﹣1得：﹣1﹣1＝﹣2≠1，
∴选项A不符合题意；
把x＝﹣1代入y＝﹣x+1得：1+1＝2≠1，
∴选项B不符合题意；
把x＝﹣1代入y＝ 得： ＝﹣1≠1，
∴选项C不符合题意；
把x＝﹣1代入y＝x2得：（﹣1）2＝1，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了图象上点的坐标特征，会把点的横纵坐标代入解析式验证是解题的关键．
7．（静安区）将抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶
点坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，0） D．（0，0）
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x的顶点坐标是（1，﹣1），则其向左平移1个单位，再向上平移1个单位
后的顶点坐标是（0，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
8．（崇明区）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2（x+3）2 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2x2﹣3
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是y＝2x2+3；
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
并用规律求函数解析式．9．（杨浦区）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是（
）
A．开口方向不变 B．顶点不变
C．与x轴的交点不变 D．与y轴的交点不变
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不
变，故正确．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，
故错误；
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的
交点改变，故错误．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单
位，故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后
的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
10．（虹口区）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高
点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（
）
A．4 米 B．10米 C．4 米 D．12米
【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标
系，设抛物线的解析式为y＝ax2，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解
析式为y＝﹣ x2，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【解答】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角
坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣ x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次
函数的解析式是解题的关键．
11．（普陀区）下列抛物线经过原点的是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝（x﹣2）2
C．y＝x2+2 D．y＝（x+2）（x﹣1）
【分析】将x＝0分别代入各抛物线的解析式，如果求出y＝0，那么该抛物线经过原点．
【解答】解：A、将x＝0代入，得y＝0，所以该抛物线经过原点，本选项符合题意；
B、将x＝0代入，得y＝4，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；
C、将x＝0代入，得y＝2，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；
D、将x＝0代入，得y＝﹣2，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，则该点的坐标满足函数
的解析式．
12．（长宁区）抛物线y＝ax2+bx+c（其中a＞0、b＜0、c＞0）一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交
点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．
【解答】解：①∵a＞0、c＞0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；
②∵a＞0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数图象的对称轴是直线x＝﹣ ＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；
综合①②，二次函数y＝ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
13．（嘉定区）已知抛物线y＝（a﹣1）x2+2的顶点是此抛物线的最低点，那么a的取值范围是
（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜1
【分析】由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上．
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+2的顶点是此抛物线的最低点，
∴抛物线的开口向上，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的
关键．
14．（黄浦区）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P（b， ）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置确定a，b，c的符号，进
而求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ ＜0，
∴点P在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．15．（崇明区）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是
（ ）
A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＞0
C．b＝2a D．9a+3b+c＝0
【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【解答】解：A．由图可知：
抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，
故A不符合题意；
B．设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（m，0），
∵抛物线的对称轴是直线：x＝1，
∴ ＝1，
∴m＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，
故B不符合题意；
C．∵抛物线的对称轴是直线：x＝1，
∴ ＝1，
∴b＝﹣2a，
故C不符合题意；
D．由B可得：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴把（3，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中可得：
9a+3b+c＝0，
故D符合题意；
故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解
题的关键．
二．填空题（共40小题）
16．（静安区）如果某抛物线开口方向与抛物线y＝ x2的开口方向相同，那么该抛物线有最
低 点．（填“高”或“低”）
【分析】由 ＞0可得抛物线开口向上，有最低点．
【解答】解：∵y＝ x2中 ＞0，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线有最低点．
故答案为：低．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
17．（崇明区）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是 k ＞ 2 ．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性
质．
18．（青浦区）如果抛物线y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分
是下降的，那么a ＞ 0．（填“＜”或“＞”）
【分析】由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即可得出a＞0，
此题得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记二次函数的性质是解题的关键．
19．（虹口区）如果抛物线过点（﹣2，3），且与y轴的交点是（0，3），那么抛物线的对称轴
是直线 x ＝﹣ 1 ．
【分析】根据点（﹣2，3）和（0，3）即可确定抛物线的对称轴．
【解答】解：∵当x＝﹣2和x＝0时，y的值都是3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝ ，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的图象的性质，关键是要观察出点（﹣2，3）和（0，3）是关于对称轴对称的点．
20．（崇明区）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 m …
那么表中m的值为 0 ．
【分析】由表格可得抛物线对称轴，由抛物线对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，3），（2，3），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵抛物线经过（﹣1，0），
∴抛物线经过（3，0），
∴m＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称性，掌握二次函数与方
程的关系．
21．（宝山区）已知二次函数y＝ x2+x﹣1，当x＝﹣3时，函数y的值是 ﹣ 1 ．
【分析】将x＝﹣3代入解析式求解．
【解答】解：把x＝﹣3代入y＝ x2+x﹣1得y＝ 9﹣3﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将x的值代入求解．
22．（宝山区）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为
y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产重的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解
析式为 y ＝（ 1+ x ） 2 ．
【分析】2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y＝100（1+x）2．
【解答】解：y＝100（1+x）2．
故答案为：y＝100（1+x）2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法．
23．（普陀区）已知反比例函数y＝ ，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随
着x的值增大而增大，那么k的取值范围是 k ＜﹣ 1 ．
【分析】根据反比例函数的性质可得k+1＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵函数y＝ 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增
大，
∴k+1＜0，
解得：k＜﹣1，故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键掌握以下性质：反比例函数y＝ ，当k＞0时，
在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y
随自变量x增大而增大．
24．（嘉定区）抛物线y＝﹣x2﹣2x+1的对称轴是 直线 x ＝﹣ 1 ．
【分析】根据抛物线对称轴为直线x＝﹣ 求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
25．（嘉定区）抛物线y＝（m+3）x2+x﹣1在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围是
m ＞﹣ 3 ．
【分析】抛物线开口向上时，抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．
【解答】解：当抛物线对称轴右侧的部分是上升时，抛物线开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞﹣3，
故答案为：m＞﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
26．（奉贤区）函数y＝ 的定义域是 x ≠﹣ 1 ．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
27．（奉贤区）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而
减小 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y＝
kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，该直线经过第一、三象限，且y的值
随x的值增大而增大；当k＜0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
28．（静安区）如果抛物线y＝x2+mx+4的顶点在x轴上，那么常数m的值是 ± 4 ．
【分析】由抛物线顶点在x轴上可得判别式Δ＝0，进而求解．【解答】解：由题意可得Δ＝b2﹣4ac＝0，
即m2﹣16＝0，
解得m＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数与Δ之间
的关系．
29．（崇明区）如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝ 1 ．
【分析】把原点坐标代入y＝﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），
∴﹣1+m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
30．（青浦区）二次函数y＝﹣x2﹣x﹣1的图象有最 高 点．（填“高”或“低”）
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣x﹣1，a＝﹣1，
∴该函数图象开口向下，函数有最大值，图象有最高点，
故答案为：高．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质解答．
31．（青浦区）若将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是 y ＝ x 2 ﹣ 2 ．
【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向下平移2个单位的顶点坐标为（0，﹣2），
∴所得抛物线的表达式为：y＝x2﹣2．
故答案为：y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析
式更简便．
32．（黄浦区）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的
表达式可以是 y ＝﹣ x 2 + 2 x + 1 （写出一个即可）．
【分析】根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点（0，1），
可得解析式．
【解答】解：∵对称轴右侧的部分是下降的，
∴开口向下，
∵抛物线经过点（0，1），
∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+1；
故答案为：y＝﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式、二次函数性质、二次函数图象上点的坐
标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．
33．（宝山区）如果抛物线y＝x2+2x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m的值是 2 ．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣1＝（x+1）2+m﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，m﹣2），
当抛物线顶点落在x轴上时，m﹣2＝0，
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方法求二次函数顶点式．
34．（杨浦区）二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为 ﹣ 4 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线最低点坐标为﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
35．（虹口区）二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为 ﹣ 1 ．
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，
∴m2﹣1＝0，
解得m ＝1或m ＝﹣1，
1 2
∵m＝1不合题意，
∴m＝1
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的
关键．
36．（浦东新区）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3﹣n（n为常数），若该函数图象与x轴只有一个
公共点，则n＝ 4 ．
【分析】根据二次函数y＝﹣x2﹣2x+3﹣n的图象与x轴只有一个公共点，可以得到关于n的
方程，从而可以求得n的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3﹣n的图象与x轴只有一个公共点，
∴当﹣x2﹣2x+3﹣n＝0时，
△＝22﹣4×（﹣1）×（3﹣n）＝0，
解得，n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．37．（松江区）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 y ＝ x 2 ﹣ 2 x + 2
．
【分析】根据平移规律得到新抛物线顶点坐标，即可得的新抛物线的表达式．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2+1，即y＝x2﹣2x+2．
故答案为：y＝x2﹣2x+2．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象的平移，掌握平移规律：“左加右减，上加下减”
是解决问题的关键．
38．（静安区）已知反比例函数y＝ 的图象上的三点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ），
1 2 3
判断y ，y ，y 的大小关系： y ＜ y ＜ y ．（用“＜”连接）
1 2 3 2 1 3
【分析】先根据反比例函数y＝ 的图象上的三点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ），求
1 2 3
得三个点的纵坐标，再比较大小．
【解答】解：∵点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）是反比例函数y＝ 的图象上的三点，
1 2 3
∴y ＝﹣ ，y ＝﹣1，y ＝1，
1 2 3
∴y 、y 、y 的大小关系是y ＜y ＜y ，
1 2 3 2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上
的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
39．（徐汇区）将抛物线y＝2x2+3先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线的
表达式是 y ＝ 2 （ x + 1 ） 2 ﹣ 1 ．
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝2x2+3先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线
的表达式是y＝2（x+1）2+3﹣4，即y＝2（x+1）2﹣1，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代
入函数解析式求得平移后的函数解析式．
40．（徐汇区）如果点A（2，y ），B（5，y ）在二次函数y＝x2﹣2x+n图象上，那么y ＜
1 2 1
y （填＞、＝或＜）．
2
【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大
小即可判断出y 与y 的大小关系．
1 2
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+n的图象的对称轴是直线x＝1，
在对称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A（2，y ）、B（5，y ）是二次函数y＝x2﹣2x+n的图象上两点，
1 2
1＜2＜5，
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的
图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
41．（黄浦区）如果抛物线y＝﹣x2+bx﹣1的对称轴是y轴，那么顶点坐标为 （ 0 ，﹣ 1 ） ．
【分析】由抛物线的对称轴x＝﹣ ＝0，求得b＝0，得到抛物线的顶点式即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣1的对称轴是y轴，
∴对称轴x＝﹣ ＝0，
解得：b＝0，
∴函数为y＝﹣x2﹣1，
∴顶点坐标为（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的算法求得b的值是解决问题的关键．
42．（虹口区）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+2开口向下，那么a的取值范围是 a ＞ 2 ．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2﹣a＜0．
【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+2开口向下，
∴2﹣a＜0，即a＞2，
故答案为：a＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝ax2+bx+c
（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y＝
ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
43．（虹口区）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，若
1 1 2 2
x ＜x ＜0，则y ＜ y （填“＞”、“＝”或“＜”），
1 2 1 2
【分析】根据二次函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的开口向下，对称轴为x＝1，
∴在x＜1时，y随x的增大而增大，
∵x ＜x ＜0，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质解决问题．本题属
于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出其增减性质是关键．44．（普陀区）已知函数f（x）＝x2﹣3x+1，如果x＝3，那么f（x）＝ 1 ．
【分析】把x＝3代入函数关系式即可求得．
【解答】解：f（3）＝32﹣3×3+1＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上点的坐标适合解析式．
45．（普陀区）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线x＝0，那么这条抛物线的表达式可以
是 y ＝﹣ x 2 + 2 ．答案不唯一 （只要写出一个表达式）．
【分析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴是直线x＝0，开口向下即可．
【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2．
本题答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x2+2．答案不唯一．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键．
46．（普陀区）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），
那么m的值等于 ﹣ 4 ．
【分析】根据点A（2，4）、B（m，4）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的
值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，
∴点A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴ ＝﹣1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性
是解决问题的关键．
47．（松江区）如果一个二次函数图象的对称轴是直线x＝2，且沿着x轴正方向看，图象在对称
轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式 y ＝﹣ x 2 + 4 x + 5 ，答案不唯一 ．
【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的
二次项系数为负数，由此可以确定函数解析式不唯一．
【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为负数，
∴符合条件的函数有y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．
答案为：y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各
项系数．
48．（长宁区）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（ab＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，若AB＝2，则点B坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ．
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标，进而再根据抛物线的对称性求出点B坐标．
【解答】解：∵y＝ax2+bx﹣2（ab＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点
B，
∴A（0，﹣2），A、B关于对称轴对称，
∵AB＝2，
∴点B坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称
性是解题的关键．
49．（嘉定区）抛物线y＝ax2+2经过点（﹣2，6），那么a＝ 1 ．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：把点（2，6）代入y＝ax2+2得：6＝4a+2，
解得a＝1，
故答案为1．
【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质，熟练掌握待定系
数法是解题的关键．
50．（嘉定区）将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表
达式是 y ＝ x 2 + 2 x ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2﹣1，即y＝
x2+2x．
故答案为：y＝x2+2x．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，
上加下减是解题的关键．
51．（奉贤区）如果抛物线y＝（x﹣2）2+k不经过第三象限，那么k的值可以是 1 .（只需
写一个）
【分析】由抛物线不经过第三象限可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴
交点纵坐标大于等于0即可，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k，
∴由抛物线不经过第三象限可得4+k≥0，
解得k≥﹣4．
故答案为：1．（答案不唯一）
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
52．（奉贤区）用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三个步骤．以下是小明画二次函数y＝ax2+bx+c图象时所列的表格：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 2 …
y … 3 0 ﹣1 3 15 …
根据表格可以知道该二次函数图象的顶点坐标是 （﹣ 2 ，﹣ 1 ） ．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以先确定顶点的横坐标，然后再根据表格
中的数据，即可写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：由题意可得，
当x＝﹣4时，y＝3，当x＝0时，y＝3，
∴该函数的顶点横坐标为x＝ ＝﹣2，
由表格可知：当x＝﹣2时，y＝﹣1，
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答
本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
53．（徐汇区）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，根据图中信息可求得该二次函
数的解析式为 y ＝﹣ x 2 ﹣ 2 x + 3 ．
【分析】根据题目的已知并结合图形，设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，然后根据B点，
A点坐标，以及对称轴列出三元一次方程组即可解答．
【解答】解：设y＝ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根
据题目的已知并结合图形列出三元一次方程组是解题的关键．54．（杨浦区）抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为 （ 0 ， 3 ） ．
【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：当x＝0时，y＝3，
则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关
键．
55．（松江区）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x
（米）的函数解析式为y＝﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 3
米．
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：由题意可得：
y＝﹣
＝﹣ （x2﹣8x）+
＝﹣ （x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．
三．解答题（共5小题）
56．（杨浦区）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．
（1）用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象
的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y
轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
（2）首先求得抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得C的
坐标，令y＝0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+5
＝2（x2﹣2x）+5
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5
＝2（x﹣1）2+3，
∴开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，3）．
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式是y＝2x2﹣4x+5﹣5，即y＝2x2﹣4x．
∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴顶点C的坐标是（1，﹣2）．
在y＝2x2﹣4x中令y＝0，则2x2﹣4x＝0，
解得x＝0或2，
∴A（2，0），B（0，0），
∴△ABC的面积为： ＝2．
【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与
几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．
57．（虹口区）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 ﹣5 …
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使得新抛物线经过原点O，
求m的值以及新抛物线的表达式．
【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y＝a
（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a即可；
（2）根据平移的规律得到y＝﹣（x+1﹣m）2+4，把原点代入即可求得m的值，从而求得平
移后的抛物线的不等式．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2，y＝3；x＝0，y＝3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（0，3）代入得a（0+1）2+4＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，得到y＝﹣（x+1﹣m）2+4，
∵经过原点，
∴0＝﹣（0+1﹣m）2+4，
解得m ＝3，m ＝﹣1（舍去），
1 2
∴m＝3，
∴新抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数
图象上点的坐标特征，求得抛物线的解析式是解题的关键．
58．（松江区）已知一个二次函数图象的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2，将（0，1）代入解析式求解．
（2）根据二次函数解析式作图．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2，
将（0，1）代入y＝a（x﹣1）2得1＝a，
∴y＝（x﹣1）2．
（2）如图，
【点评】本题考查求二次函数解析式及二次函数图象的性质，解题关键是掌握待定系数法求
函数解析式，掌握二次函数图象与系数的关系．
59．（奉贤区）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A（4，0）和B在x轴的正
半轴上，反比例函数y＝ 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．CE＝2BE，
tan∠AOD＝ ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）联结OC，求∠BOC的正切值．
【分析】（1）由A的坐标得到OA＝4，由tan∠AOD＝ ，可得AD＝3，即可得到点D的坐
标，然后利用勾股定理即可求得；
（2）由图象上点的坐标特征求得E的横坐标，即可求得OB，然后解直角三角形即可得出答案．
【解答】解：∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵tan∠AOD＝ ＝ ，
∴，AD＝3，
∴点D坐标为（4，3），
∵反比例函数y＝ 在第一象限内的图象经过点D，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）∵BC＝AD＝3，CE＝2BE，
∴BE＝ BC＝1，
把y＝1代入y＝ 得，1＝ ，解得x＝12，
∴OB＝12，
∴tan∠BOC＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，
矩形的性质，解直角三角形，求得交点坐标是解题的关键．
60．（嘉定区）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，
1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【分析】（1）把A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，1）代入二次函数关系式，列出三元一
次方程组进行计算即可；
（2）利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）把A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，1）代入y＝ax2+bx+c中
得：
解得： ，
所以，这个二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+1；
（2）y＝x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣4+1
＝（x﹣2）2﹣3，
所以，这个二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣3）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次
函数的性质，二次函数的配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
