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2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编
专题 01 数与式
一．选择题（共7小题）
1．（浦东新区）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列比例式能成立的是（
）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP是
AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点
【解答】解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB•BP，
∴ ，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
2．（静安区）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用有理数的定义判断即可．
π
【解答】解：A、 是无理数，不符合题意；
B、 是无理数，不符合题意；
C、π ＝2，是有理数，符合题意；
D、 是无理数，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了实数，以及有理数，整数和分数统称为有理数．
3．（静安区）计算x÷2x2的结果是（ ）
A． B． C． D．2x
【分析】根据整式的除法法则计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（1÷2）（x÷x2）
＝ •
＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解
题的关键．
4．（宝山区）如果 ，且b是a和c的比例中项，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【解答】解：∵ ，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例
中项是解题的关键．
5．（宝山区）在比例尺为1：5000的地图上，如果A、B两地的距离是10厘米，那么这两地的
实际距离是（ ）
A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注
意统一单位．
【解答】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，1：5000＝10：x，
解得x＝50000，
50000厘米＝500米．
即甲乙两地的实际距离为500米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．
6．（黄浦区）4和9的比例中项是（ ）
A．6 B．±6 C． D．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的
乘积．
设它们的比例中项是x，则
x2＝4×9，
解得x＝±6．
故选：B．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
7．（浦东新区）某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实
际距离之比是（ ）
A．1：200 B．1：2000 C．1：20000 D．1：200000
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可．
【解答】解：3000米＝300000厘米，
∴比例尺＝15：300000＝1：20000；
故选：C．
【点评】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统
一．
二．填空题（共22小题）
8．（静安区）如果 在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 x ≤ 3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的
关键．
9．（宝山区）计算：sin230°+cos245°＝ ．
【分析】由特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（ ）2+（ ）2
＝ +
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
10．（杨浦区）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝ 0 ．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°＝ ﹣ × ＝ ﹣ ＝0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（松江区）已知 ＝2，那么 ＝ ．【分析】根据比例的性质求出x＝2y，再把x＝2y代入 ，即可求出答案．
【解答】解：∵ ＝2，
∴x＝2y，
∴
＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，能根据比例的性质求出x＝2y是解此题的关键，注意：如果
ab＝cd，那么 ＝ ，反之亦然．
12．（长宁区）已知 ，那么 的值为 ．
【分析】由已知可得y＝2x，代入所求的代数式可得答案．
【解答】解：∵ ，
∴y＝2x，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查比例的基本性质，根据已知得到y＝2x是解题关键．
13．（静安区）已知 ＝ ，那么 的值是 ．
【分析】利用设k法即可解答．
【解答】解：设 ＝ ＝k，
∴a＝2k，b＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．14．（宝山区）已知点B在线段AC上，AB＝2BC，那么AC：AB的比值是 ．
【分析】设BC＝k，则AB＝2BC＝2k，根据线段和的定义得出AC＝AB+BC＝3k，即可求出
AC：AB的比值．
【解答】解：如图，设BC＝k，则AB＝2BC＝2k，
∵点B在线段AC上，
∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k，
∴AC：AB＝3k：2k＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例线段，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
15．（杨浦区）已知 ＝ ，那么 ＝ ．
【分析】利用设k法解答即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x＝4k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
16．（虹口区）如果 ＝ ，那么 ＝ ．
【分析】根据比例的性质设m＝5k，n＝6k，再代入计算求解即可．
【解答】解：设m＝5k，n＝6k，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
17．（虹口区）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝ ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即可得出
AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；则AP＝2× ＝ ﹣1．
【点评】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的 ，
较长的线段＝原线段的 ．
18．（奉贤区）如果 ≠0，那么 ＝ ．
【分析】设 ＝t，利用比例的性质得到x＝2t，y＝3t，z＝5t，然后把它们代入 中
进行分式的混合运算即可．
【解答】解：设 ＝t，则x＝2t，y＝3t，z＝5t，
所以 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、
分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
19．（普陀区）已知 ，那么 ＝ ．
【分析】设 ＝ ＝k，根据比例的性质求出x＝5k，y＝3k，把x＝5k，y＝3k代入 ，即可
求出答案．
【解答】解：设 ＝ ＝k，
则x＝5k，y＝3k，
∴
＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ab＝
cd，那么 ＝ ，反之亦然．20．（松江区）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为 ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知PA是较长线段；则PA＝ AB，代入数据即可．
【解答】解：由于P为线段AB＝8的黄金分割点，
且PA＞PB，
则PA＝8× ＝4 ﹣4．
故本题答案为：4 ﹣4．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
21．（长宁区）在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 0. 5 千米．
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
【解答】解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得：1：10000＝5：x，
∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000＝50000（厘米）＝0.5（千米），
故答案为：0.5．
【点评】本题考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
22．（长宁区）已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝ +1 ．
【分析】先根据黄金比值为 求出AB与AC的关系，再列式计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，BC＝2，
∴AC＝ AB，
∵AB﹣AC＝BC，
∴AB﹣ AB＝2，
解得：AB＝3+ ，
则AC＝AB﹣BC＝ +1，
故答案为： +1．
【点评】本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为 是解题的关键．
23．（静安区）已知线段AB＝2cm，点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP的长度是
（ ﹣ 1 ） cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即可得出
AP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB＝2cm的黄金分割点，且AP是较长线段，
则AP＝2× ＝（ ﹣1）cm．
故答案为： ﹣1．
【点评】本题主要考查了理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算，难度适中．
24．（崇明区）如果 ，那么 ＝ ．
【分析】先由已知条件可得2y＝3（x﹣y），整理后再根据比例的性质即可求得 的值．
【解答】解：∵ ，
∴2y＝3（x﹣y），
整理，得3x＝5y，
∴ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．比例的基本性质：两内项之积
等于两外项之积．即若a：b＝c：d，则ad＝bc．
25．（青浦区）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，b＝3，那么c＝ 9 ．
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即32＝1×c，
∴c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
26．（黄浦区）计算：如果 ，那么 ＝ ﹣ ．
【分析】先把 化成 ﹣1，再把 ＝ 代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ﹣1＝ ﹣1＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是把 化成 ﹣1．
27．（嘉定区）已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝ 5 ： 3 ．
【分析】利用设k法进行计算即可．
【解答】解：∵x：y＝2：3，
∴设x＝2k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为：5：3．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
28．（崇明区）已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长
为 （ 4 ﹣ 4 ） cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝ AB，把AB＝8cm代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝8cm，
∴AC＝ AB＝ ×8cm＝（4 ﹣4）cm，
故答案为：（4 ﹣4）．
【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．
29．（宝山区）如果 的值是黄金分割数，那么 的值为 ．
【分析】由黄金分割的定义得 ＝ ，则2x＝（ +1）y，即可得出答案．
【解答】解：∵ 的值是黄金分割数，
∴ ＝ ，
∴2x﹣2y＝（ ﹣1）y，
∴2x＝（ +1）y，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
30．（徐汇区）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
31．（浦东新区）求值：tan260°﹣ （结果保留根号）．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：tan260°﹣
＝（ ）2﹣
＝3﹣
＝3﹣（ +1）
＝3﹣ ﹣1
＝2﹣ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练的掌握特殊角的三角函数值是解题的关
键．
32．（奉贤区）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：＝
＝
＝
＝3﹣ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
33．（普陀区）计算： ．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
34．（崇明区）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．
＝3× +2× ﹣2× ×1
＝
＝ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
35．（青浦区）计算：|sin45°﹣1|+2cos30°﹣（tan60°）0﹣（cot60°）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，
最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|sin45°﹣1|+2cos30°﹣（tan60°）0﹣（cot60°）﹣1＝| ﹣1|+2× ﹣1﹣
＝1﹣ + ﹣1﹣
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要
先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围
内仍然适用．
36．（黄浦区）计算： +cot245°﹣sin245°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解： +cot245°﹣sin245°
＝ +1﹣（ ）2
＝ +1﹣
＝ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
37．（嘉定区）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
38．（虹口区）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：
＝
＝
＝
＝3+ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
39．（长宁区）计算：cot30°﹣ ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：cot30°﹣
＝ ﹣
＝ ﹣（ ）
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
40．（静安区）计算： ﹣ +2cos245°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解： ﹣ +2cos245°
＝ ﹣| ﹣1|+2×（ ）2
＝ ﹣ +1
＝ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键
