文档内容
2017 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．
2．（4分）如果向量 、 、 满足 + = （ ﹣ ），那么 用 、 表示正确的是（
）
A． B． C． D．
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（ ）
A． B．2sinα C． D．2cosα
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列
条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与
AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（ ）
A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15
6．（4分）如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛
物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1
二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm．
8．（4分）已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ．
第1页（共26页）9．（4分）已知| |=2，| |=4，且 和 反向，用向量 表示向量 = ．
10．（4分）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= ．
11．（4分）如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 ．
12．（4分）在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，
如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ．
13．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ．
14．（4分）二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y ）、（ ，y ），那么y
1 2 1
y （填“＞”、“=”或“＜”）
2
15．（4分）如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的
影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．
16．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若
AD=2，EF=5，那么FG= ．
17．（4分）如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，
线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转
60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么 =
．
第2页（共26页）三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．（10分）计算：2cos230°﹣sin30°+ ．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，
射线AE与射线BC相交于点F；
（1）求 的值；
（2）如果 = ， = ，求向量 ；（用向量 、 表示）
21．（10分）如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的
面积比为1：3；
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB=8时，求sinB．
22．（10分）如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设
计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，
轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障
碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符
合以下表中的规定：
坡度 1：20 1：16 1：12
第3页（共26页）最大高度（米） 1.50 1.00 0.75
（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；
（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，
过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；
（1）求证：AC=2CF；
（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．
24．（12分）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点
（点C在点D的左侧）；
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．
第4页（共26页）25．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射
线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点
M；
（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，
并写出x的取值范围；
（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．
第5页（共26页）2017 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．
【考点】H1：二次函数的定义．
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【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；
B、是一次函数，故B错误；
C、a=0时，不是二次函数，故C错误；
D、a≠0时是分式方程，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
2．（4分）如果向量 、 、 满足 + = （ ﹣ ），那么 用 、 表示正确的是（
）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案．
【解答】解：∵ + = （ ﹣ ），
∴2（ + ）=3（ ﹣ ），
∴2 +2 =3 ﹣2 ，
∴2 = ﹣2 ，
解得： = ﹣ ．
故选：D．
第6页（共26页）【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求
解方法是解此题的关键．
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（ ）
A． B．2sinα C． D．2cosα
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA= ，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，
∴sinA= ，
∴AB= = ，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题
的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA= ，cosA= ，tanA= ．
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列
条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】J9：平行线的判定；S4：平行线分线段成比例；S9：相似三角形的判定与性
质．
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【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似
推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：
只有选项C正确，
第7页（共26页）理由是：∵AD=2，BD=4， = ，
∴ = = ，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，
能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
5．（4分）如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与
AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（ ）
A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到AG= AD=6，
CG= CE=8，EG= CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．
【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴AG= AD=6，CG= CE=8，EG= CE=4，
∵AD⊥CE，
∴AC= =10，A正确；
第8页（共26页）AE= =2 ，
∴AB=2AE=4 ，B错误；
∵AD⊥CE，F是AC的中点，
∴GF= AC=5，
∴BG=10，C正确；
BF=15，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条
中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
6．（4分）如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛
物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，
根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：抛物线A：y=x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x2﹣2x+2=（x﹣
1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C．
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣
1=x2﹣2x．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平
移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2 cm．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，
∴线段a、b的比例中项= =2 cm．
第9页（共26页）故答案为：2 ．
【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注
意线段的比例中项是正数．
8．（4分）已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ﹣ 1
．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是 计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，
∴PB= AB，
解得，AB= +1，
∴PA=AB﹣PB= +1﹣2= ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC
（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
9．（4分）已知| |=2，| |=4，且 和 反向，用向量 表示向量 = ﹣ 2 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量b向量的模是a向量模的2倍，且 和 反向，即可得出答案．
【解答】解：| |=2，| |=4，且 和 反向，
故可得： =﹣2 ．
故答案为：﹣2 ．
【点评】本题考查了平面向量的知识，关键是得出向量b向量的模是a向量模的2
倍．
10．（4分）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= 2 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．
【解答】解：由抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，得
﹣m+2=0．
第10页（共26页）解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点代入函数解析式是解
题关键．
11．（4分）如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a ＞ 3 ．
【考点】H7：二次函数的最值．
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【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由
此可以确定a的范围．
【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2的最低点，
∴a﹣3＞0，
即a＞3．
故答案为a＞3．
【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象
的特点，本题比较基础．
12．（4分）在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，
如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 y=﹣ x 2 + 4（ 0 ＜ x ＜
2 ） ．
【考点】E3：函数关系式．
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【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x的函
数关系式即可．
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：
y=﹣x2+4（0＜x＜2），
故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=
大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．
13．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x的值．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+1，
∴抛物线的对称轴方程为x=1，
第11页（共26页）∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7），
∴ =1，
∴x=3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出抛物
线的对称轴，此题难度不大．
14．（4分）二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y ）、（ ，y ），那么y ＜
1 2 1
y （填“＞”、“=”或“＜”）
2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．
【解答】解：当x=3时，y =（3﹣1）2=4，
1
当x= 时，y =（ ﹣1）2= ，
2
y ＜y ，
1 2
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函
数解析式求出相应的函数值是解题的关键．
15．（4分）如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的
影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 4 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性
质有 = ，将相关数据代入计算可得．
【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，
∴CD∥AB，
第12页（共26页）∴△CDE∽△ABE，
∴ = ，即 = ，
解得：AB=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题的关键．
16．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若
AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．
【考点】LL：梯形中位线定理．
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【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG是△ABD的中
位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．
【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，
∴DG=BG，
∴EG= AD= ×2=1，
∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理
能力和计算能力．
17．（4分）如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，
线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 1 ： 4 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第13页（共26页）【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，
∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，
∴AM= AT，
∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ =（ ）2=（ ）2=1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性
质是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转
60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么 = ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】根据直角三角形的性质得到BC= AB，根据旋转的性质和平行线的判定得
到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC= AB，
由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，
∴∠BAC′=90°，
∴AB∥B′C′，
第14页（共26页）∴ = = = ，
∴ = ，
∵∠BAC=∠B′AC，
∴ = = ，又 = ，
∴ = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应
点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关
键．
三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．（10分）计算：2cos230°﹣sin30°+ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=2×（ ）2﹣ +
=1+ + ．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，
射线AE与射线BC相交于点F；
（1）求 的值；
（2）如果 = ， = ，求向量 ；（用向量 、 表示）
第15页（共26页）【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得 =
= ；
（2）由△FEC∽△FAB得 = ，从而知FC= BC，EC= AB，再由平行四边
形性质及向量可得 = = ， = = ，最后根据向量的运算得出答案
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3，
∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，
∴△FEC∽△FAB，
∴ = = ；
（2）∵△FEC∽△FAB，
∴ = ，
∴FC= BC，EC= AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，EC∥AB，
∴ = = ，
∴ = = ， = = ，
则 = + = ．
第16页（共26页）【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运
算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的
面积比为1：3；
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB=8时，求sinB．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，
即BC=8，从而得 ，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；
（2）由△ADC∽△BAC得 ，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE= CD=1，由勾
股定理求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．
【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，
∵ = = = ，
∴BD=3CD=6，
∴CB=CD+BD=8，
则 = ， ，
∴ ，
第17页（共26页）∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC；
（2）∵△ADC∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴AD=AC=4，
∵AE⊥BC，
∴DE= CD=1，
∴AE= = ，
∴sinB= = ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、
三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设
计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，
轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障
碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符
合以下表中的规定：
坡度 1：20 1：16 1：12
最大高度（米） 1.50 1.00 0.75
（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；
（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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第18页（共26页）【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1：20；
（2）作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE的长，由台阶的宽计算DF的长，相加可得
AD的长．
【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，
∴最大高度为0.15×10=1.5（米），
由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20；
（2）如图，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，
∵ = ，
∴ = ，
∴AE=30，
∵DF=9×0.4=3.6
∴AD=AE+EF+DF=30+2+3.6=35.6，
答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为35.6米．
【点评】本题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成
直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数
的定义列等式即可．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，
过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；
（1）求证：AC=2CF；
（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．
第19页（共26页）【考点】KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得 =2，即
AB=2FC，根据AB=AC即可得证；
（2）由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合
∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可
证△ACD∽△DCF得CD2=AC•CF．
【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC，
∴BE=2CE，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△FCE，
∴ =2，即AB=2FC，
又∵AB=AC，
∴AC=2CF；
（2）如图，
∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，
∴△DAG∽△BAD，
第20页（共26页）∴∠AGD=∠ADB，
∴∠B+∠2=∠5+∠6，
又∵AB=AC，∠2=∠3，
∴∠B=∠5，
∴∠3=∠6，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠B，
∴∠4=∠5，
则△ACD∽△DCF，
∴ ，即CD2=AC•CF．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平
行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．
24．（12分）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点
（点C在点D的左侧）；
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解
决问题．
（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．
第21页（共26页）（3）由△PDB∽△ADP，推出PD2=BD•AD=3 =6，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入可得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（1，0），D（3，0），
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A（2，﹣1），D（3，0），作AF⊥CD，则AF=DF=1
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3 ，AD= ，
∴S = •BD•AD=3．
△ABD
（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD2=BD•AD=3 =6，
∴PD= ，
∴OP=3+ ，
∴点P（3+ ，0）．
第22页（共26页）【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角
形的性质解决问题，属于中考常考题型．
25．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射
线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点
M；
（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，
并写出x的取值范围；
（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）首先证明△ABE∽△ADF，推出 = ，推出 = ，因为
∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．
（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，
推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，
推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，由
第23页（共26页）△ABE∽△ADF，得 = ，得DF= x，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的
延长线上时，分别列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴ = ，∵∠BAD=∠EAF，
∴△AEF∽△ABD．
（2）解：如图连接AG．
∵△AEF∽△ABD，
∴∠ABG=∠AEG，
∴A、B、E、G四点共圆，
∴∠ABE+∠AGE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGM=∠MDF，
∴∠AMG=∠FMD，
第24页（共26页）∴∠MAG=∠EFC，
∴y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，
∵△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴DF= x，
∴y= ，
即y= （0≤x≤4）．
（3）解：①如图2中，当点E在线段CB上时，
∵△AGM∽ADF，
∴tan∠MAG= = ，
∴ = ，
解得x= ．
②如图3中，当点E在CB的延长线上时，
第25页（共26页）由△MAG∽△AFD∽△EFC，
∴ = ，
∴ = ，
解得x=1，
∴BE的长为 或1．
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点
共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:12:42；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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