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2017 年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a3=a C．3a+3b=3ab D．（a3）2=a6
2．（4分）如果下列二次根式中有一个与 是同类二次根式，那么这个根式是（
）
A． a B． C． D．
3．（4分）在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛
成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解
这11名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么
∠1+∠2的大小为（ ）
A．130° B．180° C．230° D．260°
5．（4分）如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设 = ， = ，那么向量 用
向量 、 表示为（ ）
A． + B． + C． + D． +
6．（4分）在△ABC中，AB=AC=6，cos∠B= ，以点B为圆心，AB为半径作圆B，以
第1页（共29页）点C为圆心，半径长为13作圆C，圆B与圆C的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）分解因式：a3﹣4a= ．
8．（4分）方程x= 的根是 ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）函数y= 的定义域是 ．
11．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是
．
12．（4分）已知反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，点A
（x ，y ）和点B（x ，y ）在函数的图象上，当x ＜x ＜0时，可得y y ．（填
1 1 2 2 1 2 1 2
“＞”、“=”、“＜”）．
13．（4分）一次抽奖活动设置了翻奖牌（图展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽
奖时，你只能看到正面，你可以在9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一
副球拍的概率是 ，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率
是 ．这个事件是 ．
14．（4分）正八边形的中心角等于 度．
第2页（共29页）15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果 = = ，那么
△ADE与△ABC周长的比是 ．
16．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的
成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图
中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是 ．
17．（4分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径
OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升 cm（结果保
留π）．
18．（4分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与
点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知
BC= ，AC=5，那么△DBF的面积等于 ．
第3页（共29页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）﹣3+（﹣1）2017+ ﹣3sin60°．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y=
的图象交于点A（m，4）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为
B，求∠ABO的正弦值．
22．（10分）上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路
申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交
车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内
行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5
分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，
BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE=∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果AE=EG，求证：AC2=BC•BG．
第4页（共29页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2x+m（m＞0）的对
称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图
象与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点
的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．
25．（14分）如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑
动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．
（1）求证：EO=OF；
（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；
（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，
问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们
的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．
第5页（共29页）第6页（共29页）2017 年上海市普陀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a3=a C．3a+3b=3ab D．（a3）2=a6
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据幂的运算法则和同类项的定义判断可得．
【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项错误；
B、a3÷a3=1，此选项错误；
C、3a与3b不是同类项，不能合并，此选项错误；
D、（a3）2=a6，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的运算和同类项的定义，熟练掌握的幂的运算法则是解
题的关键．
2．（4分）如果下列二次根式中有一个与 是同类二次根式，那么这个根式是（
）
A． a B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】先化简各式，再根据同类二次根式的定义判断可得．
【解答】解：A、 a的被开方数是2，不是同类二次根式；
B、 = |a|，被开方数是3，不是同类二次根式；
C、 =a ，被开方数是a，是同类二次根式；
D、 =a2，不是同类二次根式，
故选：C．
第7页（共29页）【点评】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义：把几个二
次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做
同类二次根式是解题的关键．
3．（4分）在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛
成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解
这11名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
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【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入
前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，
要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意
义．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么
∠1+∠2的大小为（ ）
A．130° B．180° C．230° D．260°
【考点】K7：三角形内角和定理．
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【分析】根据三角形的外角性质可得∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，再根据已
知和三角形内角和等于180°即可求解．
【解答】解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2
=∠A+∠ADE+∠A+∠AED
=∠A+（∠ADE+∠A+∠AED）
第8页（共29页）=50°+180°
=230°．
故选：C．
【点评】考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．
5．（4分）如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设 = ， = ，那么向量 用
向量 、 表示为（ ）
A． + B． + C． + D． +
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
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【分析】利用三角形的重心性质得到：AO= AD；结合平面向量的三角形法则解答
即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AD是中线， = ，
∴ = = ．
∴ = + = + ．
又∵点O是△ABC的重心，
∴AO= AD，
∴ = = + ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出AO= AD
第9页（共29页）是解题的关键．
6．（4分）在△ABC中，AB=AC=6，cos∠B= ，以点B为圆心，AB为半径作圆B，以
点C为圆心，半径长为13作圆C，圆B与圆C的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】解直角三角形得到BC=8，得到6+13＞8，于是得到结论．
【解答】解：∵AB=AC=6，cos∠B= ，
∴BC=8，
∵以点B为圆心，AB为半径作圆B，以点C为圆心，半径长为13作圆C，
∴6+13＞8，
∴圆B与圆C的位置关系是相交，
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，熟悉5种位置关系，是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）分解因式：a3﹣4a= a （ a + 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2﹣4）
=a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
8．（4分）方程x= 的根是 x=1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要
进行检验，本题得以解决．
【解答】解：x= 两边平方，得
x2=4﹣3x，
第10页（共29页）解得，x=1或x=﹣4，
检验：当x=﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x=1，
故答案为：x=1
【点评】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后
要检验．
9．（4分）不等式组 的解集是 0 ≤ x ＜ ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣3＜0，得：x＜ ，
解不等式3x≥0，得：x≥0，
∴不等式组的解集为0≤x＜ ，
故答案为：0≤x＜ ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
10．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 5 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣5≠0，
解得x≠5．
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，
考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
第11页（共29页）11．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是
．
【考点】AA：根的判别式；C6：解一元一次不等式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根，
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＜0，
解得：m＞ ，
故答案为：m＞ ．
【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，
能根据题意得出（﹣3）2﹣4×1×m＜0是解此题的关键．
12．（4分）已知反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，点A
（x ，y ）和点B（x ，y ）在函数的图象上，当x ＜x ＜0时，可得y ＜ y ．（填
1 1 2 2 1 2 1 2
“＞”、“=”、“＜”）．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】先根据题意判断出k符号，再由反比例函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，
∴k＜0，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵x ＜x ＜0，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（4分）一次抽奖活动设置了翻奖牌（图展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽
奖时，你只能看到正面，你可以在9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一
第12页（共29页）副球拍的概率是 ，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率
是 ．这个事件是 抽中一张唱片 ．
【考点】X3：概率的意义．
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【分析】直接利用标有一张唱片的张数除以总数，进而得出答案．
【解答】解：∵标有一张唱片的有3张，总数有9张，
∴抽中一张唱片的概率为： ．
故答案为：抽中一张唱片．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的意义是解题关键．
14．（4分）正八边形的中心角等于 4 5 度．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求
法．
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果 = = ，那么
△ADE与△ABC周长的比是 1 ： 3 ．
第13页（共29页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据已知条件可证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可得到
△ADE与△ABC的周长之比．
【解答】解：∵AD：DB=AE：EC=1：2，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∴∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∴△ADE与△ABC的周长之比=1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的周长比等于相
似比是解答此题的关键．
16．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的
成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图
中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是 80% ．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得
出答案．
【解答】解：∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6=45人，其中成绩高于60分的学生
有12+11+7+6=36人，
第14页（共29页）∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是 ×100%=80%，
故答案为：80%．
【点评】本题主要考查频数分布直方图，根据频数分布直方图明确各分组人数是
解题的关键．
17．（4分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径
OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升 π cm（结果
保留π）．
【考点】MN：弧长的计算；R2：旋转的性质．
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【分析】求得半径为10cm，圆心角为120°的弧长，即可得出答案．
【解答】解：l=
= πcm；
故答案为 π．
【点评】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式l= 以及旋转的性质是解题的关
键．
18．（4分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与
点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知
BC= ，AC=5，那么△DBF的面积等于 ．
第15页（共29页）【考点】R2：旋转的性质；S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形的性质得到 ，∠CBD=∠A，得到CD=2，AD=3，根据
旋转的性质得到∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，得到∠EBF=∠A，根据
平行线的判定和性质得到∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，
根据等腰三角形的判定得到EF=BF，AF=DF，得到AB=DE=AC=5，根据相似三角
形的性质得到 = ，过A 作AH⊥BC于H，于是得到结论．
【解答】解：∵△BDC∽△ABC，
∴ ，∠CBD=∠A，
∴CD= ，
∵BC= ，AC=5，
∴CD=2，
∴AD=3，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，
∴∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，
∴∠EBF=∠CBD，
∴∠EBF=∠A，
∴BE∥AC，
∴∠ADF=∠E，
∴∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，
∴EF=BF，AF=DF，
∴AF+BF=EF+DF，
即AB=DE=AC=5，
第16页（共29页）∵AD∥BE，
∴△ADF∽△BEF，
∴ = = ，
∴ = ，
过A 作AH⊥BC于H，
∴AH= = ，
∵S =S = × × = ，
△BDE △ABC
∴△DBF的面积= S = ．
△ABC
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）﹣3+（﹣1）2017+ ﹣3sin60°．
【考点】6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先利用负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，再分母有理化，然后合
并即可．
【解答】解：原式=8﹣1+2+ ﹣3×
=9﹣ ．
第17页（共29页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后
进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合
题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x+2y）2=9，即x+2y=3或x+2y=﹣3．这
样原方程组可变形为关于x、y的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组
的解就是原方程组的解．
【解答】解：
由②得：（x+2y）2=9，
即：x+2y=3或x+2y=﹣3
所以原方程组可化为 ； ．
解方程组 ；得 ；
解方程组 ．得 ．
∴原方程组的解是得 ；得 ．
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次
方程组是解决本题的关键．解决此类问题通常利用公式或因式分解，把其中的
一个或两个高次方程降次为一元一次方程，再重新结合得到关于未知数的一
元一次方程组．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y=
第18页（共29页）的图象交于点A（m，4）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为
B，求∠ABO的正弦值．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）由于点A经过（m，4）所以可求出m=2，再将A（2，4）代入反比例函数
中即可求出k的值．
（2）先求平移后的直线l的解析式，然后求出B的坐标，利用勾股定理可求出AB
的长度，利用正弦的定义即可求出∠ABO的正弦值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y= 的图象经过A（m，4），
∴4= ，解得m=2．
∴点A的坐标为（2，4）．
设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数的图象经过点A（2，4），
∴可得 4=2k，解得k=2．
∴正比例函数的解析式是y=2x
（2）∵正比例函数向下平移6个单位得到直线l，
∴直线l的表达式为y=2x﹣6
∵直l与x轴的交点为B，
∴点B的坐标是（3，0）
∴由勾股定理可知：AB= ．
∴sin∠ABO= =
【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，解直角三角
形，勾股定理，锐角三角形灯知识，本题属于中等题型．
22．（10分）上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路
申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交
车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内
第19页（共29页）行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5
分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x千米/时．则非专用
车道内行驶的平均速度是（x﹣6）千米/时，根据“单程可节省时间22.5分钟”
列出方程并解答．
【解答】解：设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x千米/时．
根据题意，可列方程 ﹣ = ．
整理得 x2﹣6x﹣280=0．
解得 x =20，x =﹣14．
1 2
经检验x =20，x =﹣14都是原方程的解．
1 2
因为速度不能负数，所以取x=20．
答：71路在专用车道内行驶的平均车速20千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解
决问题的关键．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，
BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE=∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果AE=EG，求证：AC2=BC•BG．
【考点】L5：平行四边形的性质；LD：矩形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与
性质．
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【分析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以只要证明∠BAD=90°，即可得到
第20页（共29页）四边形ABCD是矩形；
（2）连接 AG，由平行四边形的性质和矩形的性质以及结合已知条件可证明
△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明
AC2=BC•BG．
【解答】解：
（1）证明：
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°．
∴∠ABE+∠BAF=90°．
∵∠ABE=∠CAD．
∴∠CAD+∠BAF=90°．
即∠BAD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接AG．
∵AE=EG，
∴∠EAG=∠EGA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠ABG=∠BGC．
∴∠CAD=∠BGC．
∴∠AGC=∠GAC．
∴CA=CG．
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
∴∠ACB=∠BGC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCG=90°．
∴∠BCG=∠ABC，
第21页（共29页）∴△BCG∽△ABC．
∴ ．
∴AC2=BC•BG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判断和性质、等腰三角形的判断和
性质以及相似三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等，熟记相似
三角形的各种判断方法是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2x+m（m＞0）的对
称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图
象与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点
的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式，则可求得A点坐标；
第22页（共29页）（2）可求得B点坐标，再由OC=3OB可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线
AC的表达式；
（3）当AB为菱形的边时，则BE=AB或AE=AB，设出E点坐标，可表示出BE的长，
可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，由AB∥EF，则可求得F点的坐
标；当AB为对角线时，则EF被AB垂直平分，则可求得E的纵坐标，从而可求
得E点坐标，利用对称性可求得F点的坐标．
【解答】解：
（1）由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1，反比例函数解析式是y= ，
把x=1代入y= ，得y=5，
∴点A的坐标为（1，5）；
（2）由题意可得点B的坐标为（1，0），
∵OC=3OB，
∴OC=3，
∵m＞0，
∴m=3，
可设直线AC的表达式是y=kx+3，
∵点A在直线AC上，
∴k=2，
∴直线AC的表达式是y=2x+3；
（3）当AB、BE为菱形的边时，如图1，
第23页（共29页）设E（x，2x+3），则BE= ，
∵四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=5，
∴ =5，解得x=1（E、A重合，舍去）或x=﹣3，
此时E（﹣3，﹣3），
∵EF∥AB且EF=AB，
∴F（﹣3，2），
当AB、AE为边时，则AE=AB=5，
同理可求得AE= ，
∴ =5，解得x=1﹣ （此时F点在第三象限，舍去）或x=1+
，
∴E（1+ ，5+2 ），
∵EF∥AB且EF=AB，
∴F（1+ ，2 ）；
当AB为对角线时，如图2，
第24页（共29页）则EF过AB的中点，
∵A（1，5），B（1，0），
∴AB的中点为（1， ），
∵EF⊥AB，
∴EF∥x轴，
∴E点纵坐标为 ，代入y=2x+3可得 =2x+3，解得x=﹣ ，
∴E（﹣ ， ），
∴F（ ， ）；
综上可知F点的坐标为（﹣3，2）或（1+ ，2 ）或（ ， ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、勾股定理、方
程思想及分类讨论思想等．在（1）中确定出A点的横坐标是解题的关键，在
（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键，
注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25．（14分）如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑
动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．
（1）求证：EO=OF；
（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；
第25页（共29页）（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，
问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们
的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH=DH，证得EC∥OH∥FD，
即可得出结论；
（ 2 ） 由 勾 股 定 理 求 出 OH= ═ 4 ， 由 平 行 线 的 性 质 得 出
∠ECO=∠COH≠45°；分两种情况讨论：
①当∠EOC=45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出
EM=OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM=CH：OH=3：4．设EM=3m，
CM=4m．则OM=3m，EO= OM=3 m，由CM+OM=OC，得出方程4m+3m=5，
解方程得出m= ，即可得出EO= ，EF=2EO= ．
②当∠CEO=45°时，过点 O 作 ON⊥EC 于 N；．在 Rt△CON 中，ON=CH=3，
CN=OH=4．在Rt△EON中，EO=3 ．得出EF=2OE=6 即可．
（3）证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD=2OH=8，由梯
形面积公式得出S= （EC+FD）•CD=OH•CD=244×6=24（0＜x＜8）；作FG⊥EC
于G，则GC=FD=8﹣x，GF=CD=6，求出EG=EC﹣GC=2x﹣8，由勾股定理得出EF=
=2 ， 得 出 四 边 形 CDFE 周 长
l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2 +14（0＜x＜8）．
【解答】（1）证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示：
则CH=DH，
第26页（共29页）∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，
∴EC∥OH∥FD，
∵CH=DH，
∴EO=FO；
（2）解：∵OH⊥CD，OC= AB=5，
∴CH= CD=3，
∴OH= = =4，
∵EC∥OH，
∴∠ECO=∠COH≠45°；
①当∠EOC=45°时，过点E作EM⊥OC于M，
则△OEM是等腰直角三角形，
∴EM=OM，
∵∠ECM=∠COH，∠CME=∠OHC=90°，
∴△ECM∽△COH，
∴EM：CM=CH：OH=3：4．
在Rt△ECM中，设EM=3m，CM=4m．则OM=3m，EO= OM=3 m，
∵CM+OM=OC，
∴4m+3m=5，
解得：m= ，
∴EO= ，
EF=2EO= ．
②当∠CEO=45°时，过点O作ON⊥EC于N；．
在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．
在Rt△EON中，EO=3 ．
∴EF=2OE=6 ．
第27页（共29页）综上所述，线段EF的长等于 或6 ．
（3）解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量；
四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下：
由①得：EO=FO，CH=DH，
∴OH是梯形EFDC的中位线，
∴EC+FD=2OH=8，
∴四边形CDFE面积为S= （EC+FD）•CD=OH•CD=4×6=24（0＜x＜8）（是一个常值
函数）；
作FG⊥EC于G，则GC=FD=8﹣x，GF=CD=6，
∴EG=EC﹣GC=x﹣（8﹣x）=2x﹣8，
∴EF= = =2 ，
∴四边形CDFE周长l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2 +14（0＜x＜8），
即l═2 +14（0＜x＜8）．
第28页（共29页）【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质、梯形中
位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、梯形面积的计算等知识；本题综合
性强，有一定难度．
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日期：2018/12/24 0:09:00；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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