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2017 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的】
1．（4分）如果数轴上表示2和﹣4的两点分别是点A和点B，那么点A和点B之
间的距离是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6．
2．（4分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜ C． ＜m＜1 D．m＜ 或m＞1
3．（4分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C=36°，那么∠ABE的大小是（ ）
A．18° B．24° C．36° D．54°．
4．（4分）已知直线y=ax+b（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（0，2），那么关于x的
方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣1 C．x=0 D．x=2
5．（4分）某校开展“阅读季”活动，小明调查了班级里40名同学计划购书的花
费情况，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，根据图中相关信息，这次调
查获取的样本数据的众数和中位数分别是（ ）
A．12和10 B．30和50 C．10和12 D．50和30．
6．（4分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到
F，使得EF=DE，那么四边形ADCF是（ ）
第1页（共28页）A．等腰梯形 B．直角梯形 C．矩形 D．菱形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077m，0.0000077用科学记数
法表示为 ．
8．（4分）方程 = 的解是 ．
9．（4分）如果反比例函数y= （k≠0）的图象经过点P（﹣1，4），那么k的范围是
．
10．（4分）如果关于x的方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值
范围是 ．
11．（4分）将抛物线y=x2﹣2x+1向上平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是
．
12．（4分）在实数 ，π，3°，tan60°，2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概
率是 ．
13．（4分）甲，乙，丙，丁四名跳高运动员赛前几次选拔赛成绩如表所示，根据表
中的信息，如果要从中，选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，那么
应选 ．
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.9 8.2
14．（4分）如果t是方程x2﹣2x﹣1=0的根，那么代数式2t2﹣4t的值是 ．
15．（4分）如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，
点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG
的周长是 ．
第2页（共28页）16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，
AD=4，BF=3，∠EAF=60°，设 = ，如果向量 =k （k≠0），那么k的值是
．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，
那么AD的长是 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=α（90°＜α＜180°），将△ABC绕着点A逆时针
旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED，其中点E、D分别和点B、C对应，联结CD，如
果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子 ．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷ ﹣ （其中a= ）
20．（10分）解方程组： ．
第3页（共28页）21．（10分）某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种足球比
甲种足球每只贵20元，该校分别花费2000元、1400元购买甲、乙两种足球，
这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球的单
价各是多少元？
22．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，
AD=CD，AB=3，BC=5．求：
（1）tan∠ACD的值；
（2）梯形ABCD的面积．
23．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC
上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB
交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y
轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO=∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．
第4页（共28页）25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是边BC上的动点，以点O
为圆心，OB为半径作圆O，交AB边于点D，过点D作∠ODP=∠B，交边AC于点
P，交圆O与点E．设OB=x．
（1）当点P与点C重合时，求PD的长；
（2）设AP﹣EP=y，求y关于x的解析式及定义域；
（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位
置关系．
第5页（共28页）2017 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的】
1．（4分）如果数轴上表示2和﹣4的两点分别是点A和点B，那么点A和点B之
间的距离是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6．
【考点】13：数轴．
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【分析】本题可以采用两种方法：（1）在数轴上直接数出表示﹣4和表示2的两点
之间的距离．
（2）用较大的数减去较小的数．
【解答】解：根据较大的数减去较小的数得：2﹣（﹣4）=6，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离的计算方法是解题的关键．
2．（4分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜ C． ＜m＜1 D．m＜ 或m＞1
【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．
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【分析】根据坐标系内点的横纵坐标符号特点列出关于m的不等式组求解可得．
【解答】解：根据题意，可得： ，
解不等式①，得：m＜ ，
解不等式②，得：m＜1，
∴m＜ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
第6页（共28页）答此题的关键．
3．（4分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C=36°，那么∠ABE的大小是（ ）
A．18° B．24° C．36° D．54°．
【考点】IJ：角平分线的定义；JA：平行线的性质．
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【分析】先根据平行线的性质，得出∠ABC=36°，再根据BE平分∠ABC，即可得出
∠ABE= ∠ABC．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C=36°，
∴∠ABC=36°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC=18°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．（4分）已知直线y=ax+b（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（0，2），那么关于x的
方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣1 C．x=0 D．x=2
【考点】FC：一次函数与一元一次方程．
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【分析】直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值即为关于x的方程ax+b=0的解．
【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）经过点A（﹣3，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=﹣3．
故选：A．
【点评】本题本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方
程都可以转化为ax+b=0（ a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以
转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当
于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
5．（4分）某校开展“阅读季”活动，小明调查了班级里40名同学计划购书的花
第7页（共28页）费情况，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，根据图中相关信息，这次调
查获取的样本数据的众数和中位数分别是（ ）
A．12和10 B．30和50 C．10和12 D．50和30．
【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数．
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【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断，中位数就是大小处于中间位
置的数，根据定义判断．
【解答】解：这组数据中30元出现次数最多，故众数是：30元；
40个数据中位数是第20个数据50元与第21个数据50元的平均数，故中位数是
50元．
故选：B．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据．
6．（4分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到
F，使得EF=DE，那么四边形ADCF是（ ）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．矩形 D．菱形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LI：直角梯形．
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【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
第8页（共28页）∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE= BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形
中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077m，0.0000077用科学记数
法表示为 7. 7 × 1 0 ﹣ 6 ．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000077=7.7×10﹣6，
故答案为：7.7×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（4分）方程 = 的解是 x =2 ， x =﹣1 ．
1 2
【考点】AG：无理方程．
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【分析】将方程两边平方整理得到关于x的一元二次方程，然后求解即可．
【解答】解：方程两边平方得，x2﹣x=2，
整理得，x2﹣x﹣2=0，
解得x =2，x =﹣1，
1 2
经检验，x =2，x =﹣1都是原方程的根，
1 2
所以，方程的解是x =2，x =﹣1．
1 2
第9页（共28页）故答案为：x =2，x =﹣1．
1 2
【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是
解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形
式进行解答，需要同学们仔细掌握．
9．（4分）如果反比例函数y= （k≠0）的图象经过点P（﹣1，4），那么k的范围是
﹣ 4 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】直接把点P（﹣1，4）代入反比例函数y= （k≠0），求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点P（﹣1，4），
∴4= ，解得k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．（4分）如果关于x的方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值
范围是 k ＞ ﹣ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=32﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣ ．
故答案为k＞﹣ ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方
程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．（4分）将抛物线y=x2﹣2x+1向上平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是
第10页（共28页）（ 1 ， 2 ） ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减左加右减的原则得出解析式，
最后确定顶点坐标即可．
【解答】解：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
平移后的解析式为y=（x﹣1）2+2，
∴顶点的坐标为（1，2），
故答案为（1，2）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握用配方法把一般式化为顶
点式以及顶点坐标的求法是解题的关键．
12．（4分）在实数 ，π，3°，tan60°，2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概
率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】先找出大于2的数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：在实数 ，π，3°，tan60°，2中，大于2的数有 ，π，
则抽得的数大于2的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
13．（4分）甲，乙，丙，丁四名跳高运动员赛前几次选拔赛成绩如表所示，根据表
中的信息，如果要从中，选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，那么
应选 甲 ．
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.9 8.2
【考点】W2：加权平均数；W7：方差．
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【分析】先确定平均数较大的运动员，再选出方差较小的运动员．
【解答】解：因为甲的平均数较大，且甲的方差较小，比较稳定，
第11页（共28页）所以选择甲参加比赛．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度
越小，稳定性越好
14．（4分）如果t是方程x2﹣2x﹣1=0的根，那么代数式2t2﹣4t的值是 2 ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到t2﹣2t﹣1=0，则t2﹣2t=1，然后利用整
体代入的方法计算代数式2t2﹣4t的值．
【解答】解：当x=t时，t2﹣2t﹣1=0，则t2﹣2t=1，
所以2t2﹣4t=2（t2﹣2t）=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值是一元二次方程的解．
15．（4分）如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，
点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG
的周长是 3 6 ．
【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．
【解答】解：∵DG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴DE=6，
∴DG=2DE=12，
∴矩形DEFG的周长=2×（6+12）=36．
第12页（共28页）故答案为：36．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形
的判定和性质是解题的关键．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，
AD=4，BF=3，∠EAF=60°，设 = ，如果向量 =k（k≠0），那么k的值是 ﹣
．
【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【分析】根据AE⊥CD、AF⊥BC及∠EAF=60°可得∠C=120°，由平行四边形得出
∠B=∠D=60°、AB∥CD且AB=CD，利用三角函数求得DE=2、AB=6，CE=4，最后可
得 = =﹣ =﹣ ．
【解答】解：∵AE⊥CD、AF⊥BC，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠C=360°﹣∠AEC﹣∠AFC=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，
∴DE=ADcosD=4× =2，AB= = =6，
则CE=CD﹣DE=AB﹣DE=6﹣2=4，
∵AB∥CD，且AB=CD，
∴ = =﹣ =﹣ =﹣ ，
故答案为：﹣ ．
第13页（共28页）【点评】本题主要考查四边形内角和、平行四边形的性质、三角函数的应用及平面
向量的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，
那么AD的长是 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据题意得到△ACD∽△BCA，然后根据题目中的数据即可求得AD的长．
【解答】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ABD，
∴∠ABC=∠CAD，
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
∵BD=AD，AB=3，AC=2，
∴ ，
解得，AD= ，CD= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出三
角形相似的条件．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=α（90°＜α＜180°），将△ABC绕着点A逆时针
旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED，其中点E、D分别和点B、C对应，联结CD，如
果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子 α + β=180 ° ．
第14页（共28页）【考点】K7：三角形内角和定理；KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．
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【分析】先过A作AF⊥CD，根据旋转的性质，得出∠ADE=∠ACB=α，AC=AD，
∠ CAD=2β ， 再 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 即 可 得 到 Rt△ ADF 中 ，
∠DAF+∠ADF=β+α﹣90°=90°，据此可得α与β的等量关系．
【解答】解：如图，过A作AF⊥CD，
由旋转可得，∠ADE=∠ACB=α，
∵CD⊥DE，
∴∠ADC=α﹣90°，
由旋转可得，AC=AD，∠CAD=2β，
∴∠DAF=β，
∴Rt△ADF中，∠DAF+∠ADF=90°，即β+α﹣90°=90°，
∴α+β=180°．
故答案为：α+β=180°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质
的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据等腰三角形三
线合一的性质进行计算．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷ ﹣ （其中a= ）
【考点】6D：分式的化简求值．
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第15页（共28页）【分析】先算除法，再算减法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式= • ﹣
=（a﹣1）﹣3
=a﹣1﹣3
=a﹣4．
当a= 时，原式= ﹣4= ﹣3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找
到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把
此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】由②得出（2x﹣3y）2=16，求出2x﹣3y=±4，把原方程组转化成两个二元一
次方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：
由②得：（2x﹣3y）2=16，
2x﹣3y=±4，
即原方程组化为 和 ，
解得： ， ，
即原方程组的解为： ， ．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解
此题的关键．
21．（10分）某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种足球比
甲种足球每只贵20元，该校分别花费2000元、1400元购买甲、乙两种足球，
第16页（共28页）这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球的单
价各是多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设购买一个甲品牌的足球需x元，则购买一个乙品牌的足球需（x+20）元，
根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需要x元，
= ×2，
解得，x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，
所以x+20=70（元），
答：购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程．
22．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，
AD=CD，AB=3，BC=5．求：
（1）tan∠ACD的值；
（2）梯形ABCD的面积．
【考点】LH：梯形；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，证出DE⊥AC，由等腰三角形的性
质得出AM=CM，证明四边形ABED是平行四边形，得出DE=AB=3，在Rt△ABC
中，由勾股定理求出AC=4，得出AM=CM=2，由平行线分线段成比例定理得出
DM=EM= DE= ，即可求出tan∠ACD= = ；
（2）梯形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，如图所示：
∵AB⊥AC，DE∥AB，
∴DE⊥AC，
第17页（共28页）∵AD=CD，
∴AM=CM，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=3，
在Rt△ABC中，AC= = =4，
∴AM=CM=2，
∵AD∥BC，
∴DM：EM=AM：CM=1：1，
∴DM=EM= DE= ，
∴tan∠ACD= = = ；
（2）梯形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×3×4+ ×4× =9．
【点评】本题考查了梯形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、平
行线分线段成比例定理、梯形和三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有
一定难度．
23．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC
上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB
交边BC于N．
第18页（共28页）（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．
【考点】LA：菱形的判定与性质．
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【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD即
可证明．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．
【解答】证明：（1）如图2中，
∵AM=ME．AD=DB，
∴DM∥BE，
∴∠GDN+∠DNE=180°，
∵∠GDN=∠AEB，
∴∠AEB+∠DNE=180°，
∴AE∥DN，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵DM= BE，EM= AE，AE=BE，
∴DM=EM，
∴四边形DMEN是菱形．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．
第19页（共28页）由（1）可知四边形EMDF是菱形，
∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，
∴∠GDN=∠AEB，
∴∠MDF=∠GDN，
∴∠MDG=∠FDN，
∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、
在Rt△ACE中，∵AM=ME，
∴CM=ME，
∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，
∴∠DMG=∠DFN，
∴△DMG≌△DFN，
∴DG=DN．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边
中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问
题，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y
轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO=∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．
第20页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先确定出抛物线解析式，①设出点D坐标，用三角形ABD的面积建立
方程即可得出点D坐标；
②分点M在OD上方，利用内错角相等，两直线平行，即可得出点M的纵坐标，即
可得出M的坐标，带你M在OD下方时，求出直线DG的解析式，和抛物线解
析式联立求出直线和抛物线的交点即可判断不存在；
（2）设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE，OF求和即可得出
结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），
∴A（﹣2，0），4a+4=0，
∴a=﹣1，AB=4，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4，
①设D（m，﹣m2+4），
∵△ABD的面积为4，
∴4= ×4（﹣m2+4）
∴m=± ，
∵点D在第一象限，
∴m= ，
∴D（ ，2），
②如图1，点M在OD上方时，
∵∠MDO=∠BOD，∴DM∥AB，
∴M（﹣ ，2），当M在OD下方时，
设DM交x轴于G，设G（n，0），
∴OG=n，
第21页（共28页）∵D（ ，2），
∴DG= ，
∵∠MDO=∠BOD，
∴OG=DG，
∴ ，
∴n= ，
∴G（ ，0），
∵D（ ，2），
∴直线DG的解析式为y=﹣2 x+6①，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+4②，
联立①②得，x= ，y=2，此时交点刚好是D点，
所以在OD下方不存在点M．
（2）OE+OF的值不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，
∴OF∥DH，
∴ ，
设D（b，﹣b2+4），
∴AH=b+2，DH=﹣b2+4，
∵OA=2，
∴ ，
∴OF= ，
同理：OE=2（2+b），
∴OE+OF=2（2﹣b）+2（2+b）=8．
第22页（共28页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的判定，平行线
分线段成比例定理，解（1）的关键是求出抛物线解析式，难点是分情况求出点
M的坐标，解（2）的关键是作出辅助线．
25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是边BC上的动点，以点O
为圆心，OB为半径作圆O，交AB边于点D，过点D作∠ODP=∠B，交边AC于点
P，交圆O与点E．设OB=x．
（1）当点P与点C重合时，求PD的长；
（2）设AP﹣EP=y，求y关于x的解析式及定义域；
（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位
置关系．
【考点】MR：圆的综合题．
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第23页（共28页）【分析】（1）如图1中，首先求出cos∠B，cos∠A，如图2中，当点P与C重合时，
只要证明PA=PD即可；
（2）如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．分两种情形①当 ≤x≤ 时，如
图4中．②当 ＜x＜ 时，如图5中，作PG⊥AB于G．
（3）如图6中，连接OP．根据cos∠C=cos∠B= = ，列出方程，求出两圆的半径，
圆心距即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，
∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，AH=4，
∵ •BC•AH= •AB•CG，
∴CG= ，AG= = ，
∴cos∠B= ，cos∠BAC= ，
如图2中，当点P与C重合时，
第24页（共28页）∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=∠ACB，
∵∠ADO=∠B+∠BOD=∠CDO+∠ADP，∠ODP=∠B，
∴∠ADP=∠BOD=∠BAC，
∴PA=PD=5；
（简单解法：易知∠A=180°﹣2∠B，只要证明∠ADP=180°﹣2∠B即可解决问题）
（2）如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．
∵AD=2AG= ，
∵BD=2BH=2OB•cos∠B= x，
∴ x+ =5，
∴x= ，
如图3中，当P、E重合时，作EG⊥AD于G．
第25页（共28页）根据对称性可知，B、E关于直线OD对称，
∴DB=DE=AE= x，
∵cos∠A= = ，
∴ = ，
解得x= ，
当点D与A重合时 x=5，
∴x= ，
当 ≤x≤ 时，如图4中，
第26页（共28页）∵y=PA﹣PE=PD﹣PE=DE=BD= x，
∴y= x，
当 ＜x＜ 时，如图5中，作PG⊥AB于G．
∵BD=DE= x，DG=AG= （5﹣ x），
∴AP=AG÷cos∠A= （5﹣ x），
∴y=AP﹣EP= （5﹣ x）﹣[ x﹣ （5﹣ x）]=﹣ x+ ，
第27页（共28页）综上所述，y= ．
（3）如图6中，连接OP．
连接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，设ON=4k，则易知OB=DO=5k．
BN=DN=3k，
DK= = k，OP= k，
由△DOK∽△OPM可得OM= k，PM= k，可得PC= k，
∵OD+PC=5k+ k= k＞ k，
∴以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交．
【点评】本题考查圆综合题、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是寻找特殊点解决问题，学会构建方程的解决问题，学会用分类讨论
的思想思考问题，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:08:32；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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