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2017 年上海市徐汇区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的】
1．（4分）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A． = B． =3 C． = D． =
2．（4分）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛
物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2
C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能
判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DE∥BC B．∠AED=∠B
C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC
5．（4分）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么
此时飞机与监测点的距离是（ ）
A．6000米 B．1000 米 C．2000 米 D．3000 米
6．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值
范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．
8．（4分）点C是线段AB延长线的点，已知 = ， = ，那么 = ．
9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．
第1页（共29页）10．（4分）如果两个相似三角形的对应中线比是 ：2，那么它们的周长比是
．
11．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于
线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是： ．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么
∠A的正弦值是 ．
13．（4分）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于
F，如果DE=1，那么AF= ．
14．（4分）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那
么a= ．
15．（4分）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每
两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是 ．
16．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积
分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是 ．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将
△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 ．
18．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边
CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、
Q，那么 的值为 ．
第2页（共29页）三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25
题14分，满分78分）
19．（10分）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+ ．
20．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴
正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD
的面积．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分
∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设 = ， = ．求：
（1）向量 （用向量 、 表示）；
（2）tanB的值．
22．（10分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A
处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向
的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根
号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达
小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）
第3页（共29页）23．（12分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满
足AE•CD=AD•CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：
DF=AF．
24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交
于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．
25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D
作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延
第4页（共29页）长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．
第5页（共29页）2017 年上海市徐汇区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的】
1．（4分）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A． = B． =3 C． = D． =
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x=3y，
∴ = ，
∴选项A不正确；
∵2x=3y，
∴ = ，
∴ = =3，
∴选项B正确；
∵2x=3y，
∴ = ，
∴ = = ，
∴选项C不正确；
∵2x=3y，
第6页（共29页）∴ = ，
∴ = = ，
∴∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
2．（4分）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股
定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα=i= = ，
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
则斜边= =13x，
则cosα= = ．
故选：D．
【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比
是解决问题的关键．
3．（4分）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛
物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2
C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得
第7页（共29页）答案．
【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的
表达式为y=2（x﹣1）2，
抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式
y=2（x+1）2﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的
规律．
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能
判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DE∥BC B．∠AED=∠B
C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：如图，
A、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；
B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；
D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几
种判定定理．
5．（4分）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么
第8页（共29页）此时飞机与监测点的距离是（ ）
A．6000米 B．1000 米 C．2000 米 D．3000 米
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．
【解答】解：如图所示：
由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，
在Rt△ABC中，∵sin∠A= ，
∴AC= = =2000 米．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角
三角形，并结合三角函数解直角三角形．
6．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值
范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关
于x的不等式，可求得答案．
【解答】解：
∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即
第9页（共29页）在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．
【解答】解：若b是a、c的比例中项，
即b2=ac．则b= = =6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
8．（4分）点C是线段AB延长线的点，已知 = ， = ，那么 = ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量 、 的方向相反进行解答．
【解答】解：如图，向量 、 的方向相反，且 = ， = ，
所以 = + = ﹣ ．
故答案是： ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．
9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，
∴CE=3.5，
第10页（共29页）AB∥CD∥EF，
∴ ，
∴BD= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比
例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
10．（4分）如果两个相似三角形的对应中线比是 ：2，那么它们的周长比是
： 2 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是 ：2，
∴它们的周长比为 ：2．
故答案为： ：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、
对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．
11．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于
线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是： AP 2 =BP•AB ．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金分割的概念解答即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP2=BP•AB，
故答案为：AP2=BP•AB．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC
（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么
∠A的正弦值是 ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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第11页（共29页）【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出sin∠BCD即可．
【解答】解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
由勾股定理得：BC=5，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴sinA=sin∠BCD= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题
的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA= ，cosA= ，tanA= ．
13．（4分）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于
F，如果DE=1，那么AF= ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线
的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出
△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出 = =3，结合
AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，
第12页（共29页）∴△ABF∽△DEF，
∴ = =3，
∵AF+DF=AD=3，
∴AF= AD= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及
邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．
14．（4分）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那
么a= ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可
列方程求得a的值．
【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，
则顶点坐标是（2，﹣4a），
则﹣4a=﹣2，
解得a= ．
故答案是： ．
【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．
15．（4分）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每
第13页（共29页）两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是 ．
【考点】JC：平行线之间的距离；LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利
用勾股定理可以求AB的长．
【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△ABE∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
∴BE= ，
在Rt△ABE中，AB= = ，
故答案为： ．
第14页（共29页）【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及
勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
16．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积
分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是 1 6 ．
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出
△AOD∽△COB，可得 =（ ）2，因为 = ，得到 =（ ）2，解方程
即可．
【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴ =（ ）2，
∵ = ，
∴ =（ ）2，
解得x=1或16（舍弃），
∵S =S =1，
△ABD △ADC
第15页（共29页）∴S =S =3，
△AOB △DOC
∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，
故答案为16．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将
△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 ．
【考点】KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E
在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，
∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，
∴AB=4，
由旋转得：EC=AC=5，
∴BE=5﹣3=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= = =2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两
边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可
以利用勾股定理求第三边．
18．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边
CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、
第16页（共29页）Q，那么 的值为 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作
DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据 •AP•BE= •DF•AQ，利用勾
股定理求出BE、DF即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，
作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴S =S = S ，
△ABE △ADF 平行四边形ABCD
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，
∴CH=a，DH= a，
在Rt△DFH中，DF= = =2 a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG= a，GE= a，
在Rt△BEG中，BE= = = a，
∴ •AP•BE= •DF•AQ，
第17页（共29页）∴ = = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关
键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，
属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25
题14分，满分78分）
19．（10分）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+ ．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝
对值，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=2× ﹣| 1|+ ，
= +1+ ，
=﹣2 ﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴
正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD
的面积．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用
配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；
（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S =S ﹣S ﹣S 求解．
△BCD 梯形AOBD △BOC △ADC
【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣
4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．
y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
则D的坐标是（2，﹣9）．
第18页（共29页）在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，
则C的坐标是（0，﹣5），
令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
则B的坐标是（5，0）；
（2）过D作DA⊥y轴于点A．
则S =S ﹣S ﹣S = （2+5）×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15．
△BCD 梯形AOBD △BOC △ADC
【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交
点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关
键．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分
∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设 = ， = ．求：
（1）向量 （用向量 、 表示）；
（2）tanB的值．
【考点】LH：梯形；LM：*平面向量；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出 = = ，
= = ， = + ．
第19页（共29页）（2）由△DFC∽△BAC，推出 = = ，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据
AC= = =2 ，由tanB= ，即可解决问题．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AC平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵DE∥AB，AB⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴AF=CF，
∴BE=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∴ = = ， = = ，
∴ = + ．
（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，
∴△DFC∽△BAC，
∴ = = ，
∵CD=AD=3，∴BC=6，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，
∴AC= = =2 ，
∴tanB= = = ．
第20页（共29页）【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股
定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．
22．（10分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A
处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向
的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根
号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达
小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得
到CD的长度即可；
（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意，得∠ACD=30°．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，
∴cos∠ACD= ，
∴CD=AC•cos30°=120× =60 （海里）；
（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，
∴cos∠BCD= ，
∴BC= = =60 ≈60×2.44=146.4（海里），
第21页（共29页）∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．
答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60 海
里；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达
小岛C的航行时间约为7.3小时．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角
三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．（12分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满
足AE•CD=AD•CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：
DF=AF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据已知条件得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到
AD=BD，等量代换即可得到结论；
（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，
推出 = ，根据相似三角形的性质得到 = =1，于是得到结论．
【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，
第22页（共29页）∴ ，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴ ，
∴DE∥AB；
（2）∵BD是DF和AB的比例中项，
∴BD2=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD2=DF•AB，
∴ = ，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴ = =1，
∴DF=AF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性
质是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交
于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．
第23页（共29页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线
的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；
（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相
似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据
勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：（0，3），
∵OB=OC，
∴点B的坐标为：（3，0），
∴﹣9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）如图1，作DH⊥y轴于H，
则CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC= = =3；
第24页（共29页）（3）﹣x2+2x+3=0，
解得，x =﹣1，x =3，
1 2
∴点A的坐标为：（﹣1，0），
∴ = ，又 = ，
∴ = ，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
设直线CA的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得， ，
则直线CA的解析式为：y=3x+3，
设点M的坐标为（x，3x+3），
则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，
解得，x =0（舍去），x =﹣ ，
1 2
x =﹣ 时，y=﹣ ，
2
∴点M的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
第25页（共29页）【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次
函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D
作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延
长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．
【考点】KY：三角形综合题；LJ：等腰梯形的性质；S4：平行线分线段成比例；S9：相
似三角形的判定与性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得
第26页（共29页）EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，进而根据DF∥AC，求得y= ，定义域为：
0＜x＜3；
（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当
PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；
（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出
= ，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出 = ，即 = ，求得x的值即可．
【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则
根据QE=2DQ，可得
= = ，
又∵DE∥BC，
∴ = =1，
∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，
∵DF∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴y= ，定义域为：0＜x＜3；
（2）∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，
①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，
∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），
解得y= ，
∴ = ，
第27页（共29页）解得x= =BD；
②当PC=BC=2时，AP=y=1，
∴ =1，
解得x= =BD；
③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；
（3）∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互补，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四边形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴ = ，即2DQ2=x2，
∴DQ= ，DE= ，
∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得x= ．
第28页（共29页）【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形
的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用
相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用
图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
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日期：2018/12/24 0:12:34；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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