文档内容
2017 年上海市宝山区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知∠A=30°，下列判断正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
2．（4分）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度
为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）二次函数y=x2+2x+3的定义域为（ ）
A．x＞0 B．x为一切实数
C．y＞2 D．y为一切实数
4．（4分）已知非零向量 、 之间满足 =﹣3 ，下列判断正确的是（ ）
A． 的模为3 B． 与 的模之比为﹣3：1
C． 与 平行且方向相同 D． 与 平行且方向相反
5．（4分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，
甲船在乙船的（ ）
A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向
6．（4分）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（
）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
第1页（共26页）7．（4分）已知2a=3b，则 = ．
8．（4分）如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为 ．
9．（4分）如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中
是AD和AB的比例中项．
10．（4分）如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=
．
11．（4分）计算：2（ +3 ）﹣5 = ．
12．（4分）如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为
．
13．（4分）二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位
长度，得到的函数解析式是 ．
14．（4分）如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛
物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ．
15．（4分）已知A（2，y ）、B（3，y ）是抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的图象上两点，则
1 2
y y ．（填不等号）
1 2
16．（4分）如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜
坡的坡度i= ．
第2页（共26页）17．（4分）数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如
y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该
抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征
数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为 ．
18．（4分）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果
△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA= ，那
么CF：DF= ．
三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣cos30°+（2017﹣π）0．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=
BC．
（1）如果AC=6，求CE的长；
（2）设 = ， = ，求向量 （用向量 、 表示）．
21．（10分）如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼
的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的
仰角为30°，求大楼AB的高．
第3页（共26页）22．（12分）直线l：y=﹣ x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物
线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解
析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．
23．（12分）如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重
合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．
（1）求证：△CAF∽△CBE；
（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．
24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣ x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积
为S，求S关于m的函数关系；
（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点
的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．
第4页（共26页）25．（12分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B
出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以
2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面
积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部
分，其余各部分均为线段）．
（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；
（2）求出线段BC、BE、ED的长度；
（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；
（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果
△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时
C、I两点之间的距离．
第5页（共26页）2017 年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知∠A=30°，下列判断正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可
【解答】解：∵∠A=30°，
∴sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ，
故选：A．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，数记30°的四个三角函数值是解题的
关键．
2．（4分）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度
为（ ）
A． B． C． D．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金比值是 计算即可．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，
∴AC= AB= ，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC
（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题
的关键．
3．（4分）二次函数y=x2+2x+3的定义域为（ ）
A．x＞0 B．x为一切实数
第6页（共26页）C．y＞2 D．y为一切实数
【考点】H1：二次函数的定义．
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【专题】11：计算题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】找出二次函数的定义域即可．
【解答】解：二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数，
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
4．（4分）已知非零向量 、 之间满足 =﹣3 ，下列判断正确的是（ ）
A． 的模为3 B． 与 的模之比为﹣3：1
C． 与 平行且方向相同 D． 与 平行且方向相反
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量的长度和方向，可得答案．
【解答】解：A、由 =﹣3 ，得| |=3| |，故A错误；
B、由 =﹣3 ，得| |=3| |，| |：| |=3：1，故B错误；
C、由 =﹣3 ，得 =﹣3 方向相反，故C错误；
D、由 =﹣3 ，得 =﹣3 平行且方向相反，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
5．（4分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，
甲船在乙船的（ ）
A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向
【考点】IH：方向角．
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【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．
【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，
∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，
∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．
故选：A．
第7页（共26页）【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．
6．（4分）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（
）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【考点】F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象．
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【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数
y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一
次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知2a=3b，则 = ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
第8页（共26页）【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到 的结果
【解答】解：∵2a=3b，∴ = ．
【点评】根据比例的基本性质能够熟练进行比例式和等积式的相互转换．
8．（4分）如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为 1 ： 1 6 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解
得．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的面积比为1：16．
故答案为1：16．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对
应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
9．（4分）如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中 AC
是AD和AB的比例中项．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据
相似三角形的性质，可得答案．
【解答】解：在△ACD与△ABC中，
∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ = ，
∴AC是AD和AB的比例中项．
故答案为AC．
第9页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例线段，得出△ACD∽△ABC是
解题的关键．
10．（4分）如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=
．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据
锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．
【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BDC∽△CDA，
∴CD2=BD•AD，
∴CD=6，
∴tanA= =
故答案为：
【点评】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质．
11．（4分）计算：2（ +3 ）﹣5 = 2 + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】可根据向量的加法法则进行计算，可得答案．
【解答】解：2（ +3 ）﹣5 =2 +6 ﹣5 =2 + ，
故答案为：2 + ．
【点评】本题难度中等，考查向量的知识．
12．（4分）如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为 8
第10页（共26页）．
【考点】K5：三角形的重心；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．
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【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形
的性质求出BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可．
【解答】解：延长AG交BC于D，
∵G为△ABC的重心，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BD= BC=5，AD⊥BC，
由勾股定理得，AD= =12，
∵G为△ABC的重心，
∴AG= AD=8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离与重
心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
13．（4分）二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位
长度，得到的函数解析式是 y= 5 （ x﹣2 ） 2 + 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
第11页（共26页）【解答】解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得
y=5（x﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．
故答案为y=5（x﹣2）2+2．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加
下减．
14．（4分）如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛
物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴．
【解答】解：
∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，
∴其对称轴为x= =2
故答案为：x=2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数中，函数值相等的点到抛物
线对称轴的距离相等是解题的关键．
15．（4分）已知A（2，y ）、B（3，y ）是抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的图象上两点，则
1 2
y ＞ y ．（填不等号）
1 2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】先确定其对称轴，利用增减性进行判断；也可以将A、B两点的坐标分别代
入求出纵坐标，再进行判断．
【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，
∵﹣ ＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y ＞y ，
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数的增减性，二次函数的增减性与二次项系数a和对
称轴有关：①a＞0时，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随
x的增大而减小；②a＜0时，对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对称轴的左
第12页（共26页）侧，y随x的增大而增大；这一性质运用上有难度，要认真理解．
16．（4分）如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜
坡的坡度i= 1 ： 2. 4 ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水
平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．
【解答】解：设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x
米，
根据勾股定理，得x2+52=132，
解得：x=12，
故该斜坡坡度i=5：12=1：2.4．
故答案为：1：2.4．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么
是坡度，难度不大．
17．（4分）数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如
y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该
抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征
数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为 （ 2 ，﹣ 1 ） ．
【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质．
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【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得答案．
【解答】解：
∵特征数为{1、﹣4、3}，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在
y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
18．（4分）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果
△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA= ，那
第13页（共26页）么CF：DF= 6 ： 5 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．
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【专题】16：压轴题；4A：面积法．
【分析】先根据DE⊥AB，tanA═ ，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2 ，DE= ，再过
点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根
据△CFG∽△DFH，得到 = = = 即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，tanA═ ，
∴DE= AD，
∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═ ，
∴BC=4，AB= =4 ，
又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，
∴AD=BD=2 ，DE= ，
∴Rt△ADE中，AE= =5，
∴CE=8﹣5=3，
∴Rt△BCE中，BE= =5，
如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则
Rt△BDE中，DH= =2，
第14页（共26页）Rt△BCE中，CG= = ，
∵CG∥DH，
∴△CFG∽△DFH，
∴ = = = ．
故答案为：6：5．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理和解直角三角形的应用，解决问题
的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意面积法的灵活运用．
三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣cos30°+（2017﹣π）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣ +1= + ﹣ +1= + +1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=
BC．
（1）如果AC=6，求CE的长；
（2）设 = ， = ，求向量 （用向量 、 表示）．
第15页（共26页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得
答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可
得答案．
【解答】解：（1）由DE∥BC，得
△ADE∽△ABC， = ．
又DE= BC且AC=6，得
AE= AC=4，
CE=AC﹣AE=6﹣4=2；
（2）如图 ，
由DE∥BC，得
△ADE∽△ABC， = ．
又AC=6且DE= BC，得
AE= AC，AD= AB．
= = ， = = ．
= ﹣ = ﹣ ．
第16页（共26页）【点评】本题考查了向量的运算，利用向量的减法运算是解题关键．
21．（10分）如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼
的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的
仰角为30°，求大楼AB的高．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过点P作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形PDBE是矩形，再
由∠EPB=45°可知BE=PE=36m，由AE=PE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论
【解答】解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，
∵PD⊥AB，DB⊥AB，
∴四边形PDBE是矩形，
∵BD=36m，∠EPB=45°，
∴BE=PE=36m，
∴AE=PE•tan30°=36× =12 （m），
∴AB=12 +36（m）．
答：建筑物AB的高为 米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助
第17页（共26页）线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．（12分）直线l：y=﹣ x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物
线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解
析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点；HC：二次函
数与不等式（组）．
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【分析】先根据函数的解析式求出A、B两点的坐标，再求出点C的坐标，利用待定
系数法求出抛物线m的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．
【解答】解：∵y=﹣ x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，
∴x=0时，y=6，
∴A（0，6），
y=0时，x=8，
∴B（8，0），
∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，
∴C（3，0）．
设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），
将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，
∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣ x+6；
函数图象如右：
当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．
第18页（共26页）【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数的解析式，一次函
数图象上点的坐标特征，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
23．（12分）如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重
合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．
（1）求证：△CAF∽△CBE；
（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）利用 AA 证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用 SAS 证明
△CAF∽△CBE
（2）证出∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC= ，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=
AC= ，得出BF=BC﹣FC= ，由三角函数即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
第19页（共26页）∴∠FEC=90°=∠ABC，
又∵∠FCE=∠ACB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
又∵∠ACF=∠BCE，
∴△CAF∽△CBE；
（2）∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF=∠CBE，
∵∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BAF=∠BEF，
设EC=1，则EF=1，FC= ，
∵AE：EC=2：1，
∴AC=3，
∴AB=BC= AC= ，
∴BF=BC﹣FC= ，
∴tan∠BEF=tan∠BAF= = ．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函
数等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣ x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积
为S，求S关于m的函数关系；
（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点
的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．
第20页（共26页）【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；HF：二次函数综合题；L5：平行四边形的性
质．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据
A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；
（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积
=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得 S关于m
的函数关系；
（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E
与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的
所有点E的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣ x+2（a≠0）的图象上，
∴0=16a+6+2，
解得a=﹣ ，
∴抛物线的函数解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得 ，
第21页（共26页）∴直线AC的函数解析式为： ；
（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，﹣ m2﹣ m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣ m2﹣ m+2，AH=m+4，HO=﹣m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S= （m+4）×（﹣ m2﹣ m+2）+ （﹣ m2﹣ m+2+2）×（﹣m），
化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；
（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，
∴|y |=|y |=2，
E C
∴y =±2．
E
当y =2时，解方程﹣ x2﹣ x+2=2得，
E
x =0，x =﹣3，
1 2
∴点E的坐标为（﹣3，2）；
当y =﹣2时，解方程﹣ x2﹣ x+2=﹣2得，
E
x = ，x = ，
1 2
∴点E的坐标为（ ，﹣2）或（ ，﹣2）；
②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，
∴y =y =2，
E C
∴点E的坐标为（﹣3，2）．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（ ，﹣2）、（ ，﹣
2）．
第22页（共26页）【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求出直线及抛物
线的解析式、抛物线上点的坐标特征、解一元二次方程、平行四边形的性质、抛
物线的性质等知识的综合应用，运用割补法及配方法是解决问题的关键，解题
时注意运用分类讨论的思想．
25．（12分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B
出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以
2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面
积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部
分，其余各部分均为线段）．
（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；
（2）求出线段BC、BE、ED的长度；
（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；
（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果
△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时
C、I两点之间的距离．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣
第23页（共26页）4=6在Rt△ABE中，AB= = =8，如图1中，作PM⊥BC于M．
由△ABE∽△MPB，得 = ，求出PM，根据△BPQ的面积y= •BQ•PM计算
即可问题．
（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．
（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由
△GBH∽△CBI，可得 = ，由此只要求出GH即可解决问题．
【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10
﹣4=6
在Rt△ABE中，AB= = =8，
如图1中，作PM⊥BC于M．
∵△ABE∽△MPB，
∴ = ，
∴ = ，
∴PM= t，
当0＜t≤5时，△BPQ的面积y= •BQ•PM= •2t• t= t2．
（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．
（3）①当P在BE上时，点Q在C处时，
第24页（共26页）∵BE=BC=10，
∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE全等（也相似），
∴t=6．
②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．
③当点P在DC上时，设PC=a，
当 = 时，∴ = ，
∴a= ，
此时t=10+4+（8﹣ ）=14.5，
∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．
（4）如图3中，设EG=m，GH=n，
∵DE∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
∴m= ，
在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，
∴（ ）2=62+（8+n）2，
∴n=﹣8+ 或﹣8﹣ （舍弃），
∵∠BIG=∠BCG=90°，
∴B、I、C、G四点共圆，
第25页（共26页）∴∠BGH=∠BCI，
∵∠GBF=∠HBI，
∴∠GBH=∠CBI，
∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出
∠BGH=∠BCI）
∴ = ，
∴ = ，
∴IC= ﹣ ．
【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、四点
共圆、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确
寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:12:18；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
