文档内容
2017 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）如果a表示不为0的任意一个实数，那么下列四个算式中，正确的是（
）
A．3a3﹣2a2=0 B．a3•a =a
C．a3÷a2=a D．（a2） =a
2．（4分）在解答“一元二次方程 x2﹣ x+a=0的根的判别式为”的过程中，某班
同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（ ）
A． ﹣2a≥0 B． ﹣2a C．1﹣8a≥0 D．1﹣8a
3．（4分）如果函数y=ax2+2x+1的图象不经过第四象限，那么实数a的取值范围为
（ ）
A．a＜0 B．a=0 C．a＞0 D．a≥0
4．（4分）从概率统计的角度解读下列诗词所描述的事件．其中属于确定事件的是
（ ）
A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙
B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开
C．水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯
D．一夜北风紧，开门雪尚飘
5．（4分）已知⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为5，如果⊙A与⊙B内含，那么圆
心距AB的长度可以为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
6．（4分）将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互
相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形”下个定义，那么下面四
种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（ ）
第1页（共26页）A．有两组邻边相等的四边形称为“筝形”
B．有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”
C．两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”
D．以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（ ）﹣1= ．
8．（4分）已知 ≈1.73，那么 ≈ ．（保留两个有效数字）．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）方程 =x的根是 ．
11．（4分）已知点A（x ，y ）、点B（x ，y ）在反比例函数y=﹣ 的图象上．如果x ＜
1 1 2 2 1
0＜x ，那么y 与y 的大小关系为：y y（从“＜”、“=”、“＞”中选
2 1 2 1 2
择）．
12．（4分）某校学生综合素质评价方案中有这样一段话：“学生自评、同学互评
与班级评定小组评价在学生综合素质评价中所占的权重分别为 10%、30%、
60%”．如果甄聪明同学的自评分数、同学互评分数、班级评定小组给出的分数
分别为96分、95分、95分，那么甄聪明同学的综合素质评价分数为 分
13．（4分）一名射击运动员连续打靶9次，假如他打靶命中环数的情况如图所示，
那么该射击运动员本次打靶命中环数的中位数为 环．
第2页（共26页）14．（4分）如果非零向量 与向量 的方向相反，且2| |=3| |，那么向量 为
．（用向量 表示）．
15．（4分）从山底A点测得位于山顶B点的仰角为30°，那么从B点测得A点的俯
角为 度．
16．（4分）已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积
为 ．
17．（4分）命题“相等的角不一定是对顶角”是 命题（从“真”或“假”
中选择）．
18．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosA= （如图），将△ABC绕着点
C 旋转，点 A、B 的对应点分别记为 A′、B′，A′B′与边 AB 相交于点 E．如果
A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： + ﹣ ，其中x= ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）将大小相同，形状也相同的三个菱形按照如图的方式拼接在一起（其
中，点B、C、F、G在同一条直线上），AB=3．联结AG，AG与EF相交于点P．
（1）求线段EP的长；
第3页（共26页）（2）如果∠B=60°，求△APE的面积．
22．（10分）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：
行驶路程x（千米） … 100 150 …
油箱内剩余油量y（升） … 52 48 …
（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，
求y 关于x的函数解析式（不需要写出它的定义域）；
（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速
行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公
路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少需要
有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．
23．（12分）已知：正方形ABCD，点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，且
∠FCE=∠CBE．
（1）如图1，当点E为CD边的中点时，求证：CF=2EF；
（2）如图2，当点F位于线段AD的延长线上，求证： = ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知点A的坐标为（3，1），点B的
坐标为（6，5），点C的坐标为（0，5）；某二次函数的图象经过点A、点B与点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点Q在该函数图象的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点Q
的坐标；
第4页（共26页）（3）如果第一象限内的点P在（1）中求出的二次函数的图象上，且tan∠PCA= ，
求∠PCB的正弦值．
25．（14分）已知：AB=8，⊙O经过点A、B，以AB为一边画平行四边形ABCD，另一
边CD经过点O（如图1），一点B为圆心，BC为半径画弧，交线段OC于点E（点
E不与点O，点C重合）．
（1）求证：OD=OE；
（2）如果⊙O的半径长为5（如图2），设OD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式，并
写出它的定义域；
（3）如果⊙O的半径长为5，联结AC，当BE⊥AC时，求OD的长．
第5页（共26页）2017 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）如果a表示不为0的任意一个实数，那么下列四个算式中，正确的是（
）
A．3a3﹣2a2=0 B．a3•a =a
C．a3÷a2=a D．（a2） =a
【考点】2F：分数指数幂；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据同底数幂的除法、乘法，以及分数指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵3a3﹣2a2=a2，
∴选项A不符合题意；
∵a3•a = ，
∴选项B不符合题意；
∵a3÷a2=a，
∴选项C符合题意；
∵（a2） =a，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法，以及分数指数幂的运算方法，要
熟练掌握．
2．（4分）在解答“一元二次方程 x2﹣ x+a=0的根的判别式为”的过程中，某班
第6页（共26页）同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（ ）
A． ﹣2a≥0 B． ﹣2a C．1﹣8a≥0 D．1﹣8a
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接利用判别式的定义计算．
【解答】解：△=（﹣ ）2﹣4× a= ﹣2a．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有
两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．（4分）如果函数y=ax2+2x+1的图象不经过第四象限，那么实数a的取值范围为
（ ）
A．a＜0 B．a=0 C．a＞0 D．a≥0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】由于二次系数是参数，故需要分两种情况进行讨论．
【解答】解：当a=0时，此时y=2x+1，不经过第四象限，满足题意；
当a≠0时，此时抛物线y=ax2+2x+1的对称轴为：x=﹣ ，
由于抛物线必过（0，1）且不经过第四象限，
所以 ，
故a＞0，
综上所述：a≥0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图
象与性质，本题属于基础题型．
4．（4分）从概率统计的角度解读下列诗词所描述的事件．其中属于确定事件的是
（ ）
A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙
第7页（共26页）B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开
C．水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯
D．一夜北风紧，开门雪尚飘
【考点】X1：随机事件．
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【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙是随机事件，故A不符合题意；
B、人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开是随机事件，故B不符合题意；
C、水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯是不可能事件，故C符合题意；
D、一夜北风紧，开门雪尚飘是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随
机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指
在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下
可能发生也可能不发生的事件．
5．（4分）已知⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为5，如果⊙A与⊙B内含，那么圆
心距AB的长度可以为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】利用内含圆心距小于两个半径之和确定正确的答案．
【解答】解：∵⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为5，⊙A与⊙B内含，
∴AB＜5﹣2=3，
A选项符合，
故选：A．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别
为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；
内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．
6．（4分）将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互
相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形”下个定义，那么下面四
种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（ ）
第8页（共26页）A．有两组邻边相等的四边形称为“筝形”
B．有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”
C．两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”
D．以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”
【考点】KH：等腰三角形的性质；P2：轴对称的性质．
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【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】根据等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题；
【解答】解：由题意：“筝形”的一条对角线是另一条对角线的垂直平分线，
所以：“筝形”是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，所以中考常考题型．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（ ）﹣1= 2 ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【分析】根据负整指数幂的意义，可得答案．
【解答】解：原式=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数．
8．（4分）已知 ≈1.73，那么 ≈ 0.58 ．（保留两个有效数字）．
【考点】1H：近似数和有效数字；22：算术平方根．
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【分析】根据算术平方根的定义就是即可．
【解答】解：∵ ≈1.73，那么 ≈0.58，
第9页（共26页）故答案为：0.58．
【点评】此题考查了算术平方根，实数的计算．近似数和有效数字，知道算术平方
根的意义是解题的关键．
9．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
由①得x＜ ，
由②得x＞﹣1，
故不等式组的解集是﹣1＜x＜ ．
故答案为：﹣1＜x＜ ．
【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法
则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
10．（4分）方程 =x的根是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2=x2，解此一元二次方程得
到x =2，x =﹣1，把它们分别代入原方程得到x =﹣1是原方程的增根，由此得
1 2 2
到原方程的根为x=2．
【解答】解：方程两边平方得，x+2=x2，
解方程x2﹣x﹣2=0得x =2，x =﹣1，
1 2
经检验x =﹣1是原方程的增根，
2
所以原方程的根为x=2．
故答案为x=2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
第10页（共26页）的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
11．（4分）已知点A（x ，y ）、点B（x ，y ）在反比例函数y=﹣ 的图象上．如果x ＜
1 1 2 2 1
0＜x ，那么y 与y 的大小关系为：y ＞ y（从“＜”、“=”、“＞”中选择）．
2 1 2 1 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】反比例函数y=﹣ 中，当k=﹣2＜0，双曲线在第二，四象限，根据x ＜0＜
1
x 即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y ＞y ．
2 1 2
【解答】解：∵k=﹣2＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x ＜0＜x ，
1 2
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y ＞y ；
1 2
故答案为＞．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y= 图象和性
质是解题的关键，即当k＞0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增
大而减小，当k＜0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增
大．
12．（4分）某校学生综合素质评价方案中有这样一段话：“学生自评、同学互评
与班级评定小组评价在学生综合素质评价中所占的权重分别为 10%、30%、
60%”．如果甄聪明同学的自评分数、同学互评分数、班级评定小组给出的分数
分别为96分、95分、95分，那么甄聪明同学的综合素质评价分数为 95.1 分．
【考点】W2：加权平均数．
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【分析】根据加权平均数的定义可得．
【解答】解：根据题意，甄聪明同学的综合素质评价分数为96×10%+95×30%
+95×60%=95.1（分），
故答案为：95.1．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
13．（4分）一名射击运动员连续打靶9次，假如他打靶命中环数的情况如图所示，
那么该射击运动员本次打靶命中环数的中位数为 9 环．
第11页（共26页）【考点】W4：中位数．
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【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：根据题意一共打靶9次，
则其中位数为第5个数据，即中位数为9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．
14．（4分）如果非零向量 与向量 的方向相反，且2| |=3| |，那么向量 为 =
﹣ ．（用向量 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平面向量的定义，以及已知条件即可解决问题．
【解答】解：∵非零向量 与向量 的方向相反，且2| |=3| |，
∴ =﹣ ，
故答案为﹣ ．
【点评】本题考查平面向量的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用知识解决问
题，属于基础题．
15．（4分）从山底A点测得位于山顶B点的仰角为30°，那么从B点测得A点的俯
角为 3 0 度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据仰角，俯角的概念，平行线的性质可求俯角．
【解答】解：如图，A、B两点的水平线分别为AM、BN，
依题意，得AM∥BN，∠BAM=30°，
由平行线的性质可知，∠ABN=∠BAM=30°，
第12页（共26页）即从B点测得A点的俯角为30°．
故答案为30．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握概念：仰角是向上
看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角，以及正确画
出图形是解题关键．
16．（4分）已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积
为 8 ．
【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．
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【分析】直接根据扇形的面积公式S = lR进行计算．
扇形
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
S = lR= ×8×2=8．
扇形
故答案为：8．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形
面积的计算公式．
17．（4分）命题“相等的角不一定是对顶角”是 真 命题（从“真”或“假”
中选择）．
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
【解答】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角不一定是对顶角”是真命题．
故答案为：真．
【点评】此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
18．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosA= （如图），将△ABC绕着点
C 旋转，点 A、B 的对应点分别记为 A′、B′，A′B′与边 AB 相交于点 E．如果
第13页（共26页）A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】设A′B′交AC于F．在Rt△ABC中，求出AC、BC，在Rt△A′CB′中，求出AF、
A′F，利用EF∥CB，推出 = ，求出EF即可解决问题．
【解答】解：设A′B′交AC于F．
∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosA= ，
∴AC=6，BC=8，
∵CF⊥A′B′，
∴CF= = ，AF=6﹣ = ，
A′F= = ，
∵EF∥CB，
∴ = ，
∴ = ，
第14页（共26页）∴EF= ，
∴B′E=10﹣ ﹣ = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形．平行线分线段成比例定理等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： + ﹣ ，其中x= ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．
【解答】解： + ﹣
=
=
=
=
= ，
当x= 时，原式= ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】34：方程思想．
【分析】用代入法即可解答，把①化为x=1+y，代入②得（1+y）2+2y+3=0即可．
第15页（共26页）【解答】解：
由①得y=x﹣2③
把③代入②，得x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2=0，
即x2﹣4x+3=0
解这个方程，得x =3，x =1
1 2
代入③中，得 或 ．
∴原方程组的解为 或 ．
【点评】考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知
数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方
程中即可．
21．（10分）将大小相同，形状也相同的三个菱形按照如图的方式拼接在一起（其
中，点B、C、F、G在同一条直线上），AB=3．联结AG，AG与EF相交于点P．
（1）求线段EP的长；
（2）如果∠B=60°，求△APE的面积．
【考点】L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△GPF，根据相似三角形的
性质得到 = =2，代入计算即可；
（2）过点P作PH⊥AE，根据平行四边形的性质得到∠PEH=∠B=60°，根据正弦的
概念求出PH，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意得四边形ABGH、ABFE是平行四边形，
第16页（共26页）∴AE∥FG，EF=AB=3，
∴△APE∽△GPF，
∴ = =2，即 =2，
解得，EP=2；
（2）过点P作PH⊥AE，垂足为H，
∵四边形ABFE是平行四边形，∠B=60°，
∴∠PEH=∠B=60°，
在Rt△PEH中，∠PHE=90°，∠PEH=60°，EP=2，
∴PH=EP×sin60°= ，
∴△APE的面积为： ×AE×PH= ×6× =3 ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质以及解直角三角形
的知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（10分）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：
行驶路程x（千米） … 100 150 …
油箱内剩余油量y（升） … 52 48 …
（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，
求y 关于x的函数解析式（不需要写出它的定义域）；
（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速
行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公
路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少需要
有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．
【考点】C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数解析式，然后根据题目中的数据即可
求得相应的函数解析式；
（2）根据表格中的数据可以求得每千米耗油量，从而可以求得300千米的耗油量，
第17页（共26页）从而可以解答本题．
【解答】解：（1）该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数解
析式是y=kx+b，
，
解得， ，
即y 关于x的函数解析式是y= ；
（2）张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油，
理由：由题意可得，每千米消耗汽油：4÷（150﹣100）=4÷50=0.08升，
则行驶300千米需要消耗的汽油为：300×0.08=24（升），
即张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明
确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的思想解答．
23．（12分）已知：正方形ABCD，点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，且
∠FCE=∠CBE．
（1）如图1，当点E为CD边的中点时，求证：CF=2EF；
（2）如图2，当点F位于线段AD的延长线上，求证： = ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据正方形的性质得到CD=BC，由点E为CD边的中点，得到CE=
CD= BC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
第18页（共26页）（2）根据正方形的性质得到DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，根据平行线分线段成比例
定理得到 = ，等量代换得到 ，①根据相似三角形的性质得到 =
②，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，
∵点E为CD边的中点，
∴CE= CD= BC，
∵∠FCD=∠CBE，∠F=∠F，
∴△FCE∽△FBC，
∴ ，
又∵CE= BC，
∴ = ．
即CF=2EF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，
∵点F位于线段AD的延长线上，DE∥AB，
∴ = ，
又∵AD=CD，
∴ ，①
∵AF∥BC，
∴∠DFE=∠CBE．
又∵∠DCF=∠CBE，
∴∠DFE=∠DCF，
又∵∠FDE=∠CDF，
第19页（共26页）∴△FDE∽△CDF，
∴ = ②，
由①②得， = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知点A的坐标为（3，1），点B的
坐标为（6，5），点C的坐标为（0，5）；某二次函数的图象经过点A、点B与点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点Q在该函数图象的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点Q
的坐标；
（3）如果第一象限内的点P在（1）中求出的二次函数的图象上，且tan∠PCA= ，
求∠PCB的正弦值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，再计算出AC=5，讨论：
当AQ=AC=5时，以A为圆心，5为半径画弧，与直线x=3的交点即为Q点；当
CQ=CA=5时，点Q与点A关于直线BC对称，利用对称性可确定此时Q点的坐
标；当QA=QC时，设Q（3，t），利用两点间的距离公式得到（t﹣1）2=32+（t﹣5）
2，然后解方程求出t即可得到此时Q点坐标；
第20页（共26页）（3）PC交直线x=3于M，BC交直线x=3于H，作MN⊥AC于N，如图2，先证明
Rt△AMN∽Rt△ACH，利用相似比得到 = = ，则可设MN=3k，AN=4k，
AM=5k，再利用tan∠MCN= = 得到CN=6k，所以10k=5，解得k= ，则AM=
，所以HM= ，然后在Rt△CHM中利用勾股定理计算出CM后利用正弦的定义
求解即可．
【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（3，1），B（6，5），C（0，5）代入得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为y= x2﹣ x+5；
（2）如图1，
∵点B与点C为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，点A为抛物线的顶点，
∵C（0，5），A（3，1），
∴AC= =5，
当AQ=AC=5时，点Q的坐标为（3，6）或（3，﹣4）；
当CQ=CA=5时，点Q与点A关于直线BC对称，则Q点的坐标为（3，9）；
当QA=QC时，设Q（3，t），则（t﹣1）2=32+（t﹣5）2，解得t= ，则Q点坐标为（3，
）；
综上所述，满足条件的Q点的坐标为（3，6）或（3，﹣4）或（3，9）或（3， ）；
（3）PC交直线x=3于M，BC交直线x=3于H，作MN⊥AC于N，如图2，
第21页（共26页）易得CH=3，AH=4，AC=5，
∵∠MAN=∠CAH，
∴Rt△AMN∽Rt△ACH，
∴ = = ，即 = = ，
设MN=3k，则AN=4k，AM=5k，
在Rt△CMN中，∵tan∠MCN= = ，
∴CN=6k，
∴CA=6k+4k=10k，
∴10k=5，解得k= ，
∴AM= ，
∴HM=4﹣ = ，
在Rt△CHM中，CM= = ，
∴sin∠HCM= = = ，
即∠PCB的正弦值为 ．
第22页（共26页）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形
的判定；会利用待定系数法求二次函数的解析式；能利用相似比表示线段之间
的关系，会解直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；灵活
应用分类讨论的思想解决数学问题．
25．（14分）已知：AB=8，⊙O经过点A、B，以AB为一边画平行四边形ABCD，另一
边CD经过点O（如图1），一点B为圆心，BC为半径画弧，交线段OC于点E（点
E不与点O，点C重合）．
（1）求证：OD=OE；
（2）如果⊙O的半径长为5（如图2），设OD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式，并
写出它的定义域；
（3）如果⊙O的半径长为5，联结AC，当BE⊥AC时，求OD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）如图1，连接OA，OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，根
据平行四边形的性质得到AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠C，根据全等三角形的性
质即可得到结论；
第23页（共26页）（2）如图2，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到AH= AB=4，连接OA，根据勾
股定理得到 OH= =3，过 D作DG⊥AB 于G，根据矩形的性质得到
DG=OH=3，GH=x，根据勾股定理即可得到结论；
（3）如图3，过D作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到
BH=AE，由（2）知，OD=x，BC=y，AG=4﹣x，DG=CH=3，根据相似三角形的性质即
可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠C，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BC=BE，
∴AD=BE，
∴∠C=∠BEC，
∴∠DAB=∠ABE，
∴∠DAO=∠EBO，
在△ADO与△BEO中， ，
∴∠ADO≌△BEO，
∴OD=OE；
（2）如图2，过O作OH⊥AB于H，
∴AH= AB=4，
连接OA，
∵OA=5，
∴OH= =3，
第24页（共26页）过D作DG⊥AB于G，
∴四边形DGHO是矩形，
∴DG=OH=3，GH=x，
∴AG=4﹣x，
∵AD=BC=y，
∴y2=32+（4﹣x）2，
∴y= （0＜x＜4）；
（3）如图3，过D作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，
在Rt△ADG与Rt△BCH中， ，
∴Rt△ADG≌Rt△BCH，
∴BH=AG，
由（2）知，OD=x，BC=y，AG=4﹣x，DG=CH=3，
∴BH=4﹣x，
∴AH=8+4﹣x=12﹣x，
∵CD∥AB，
∴CH⊥CD，AC⊥BE，
∴∠ECA+∠HCB=∠ECA+∠CEB=90°，
∴∠BEC=∠ACH，
∴∠DAG=∠ACH，
∴△ADG∽△ACH，
∴ ，即 = ，
∴x=3，x=13（不合题意，舍去），
∴DO=3．
第25页（共26页）【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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日期：2018/12/24 0:11:12；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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