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2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷
一、选择题（每题4分）
1．（4分）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
2．（4分）下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x（x+1）
C．y= D．y=（x﹣2）2﹣x2
3．（4分）如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC分别交l 、l 、l 与点A、B、C，直线DF分别交
1 2 3 1 2 3
l 、l 、l 与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么 的值
1 2 3
等于（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线x=0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定
△ADC和△BAC相似的是（ ）
第1页（共27页）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2=BC•CD D． =
6．（4分）下列说法中，错误的是（ ）
A．长度为1的向量叫做单位向量
B．如果k≠0，且 ≠ ，那么k 的方向与 的方向相同
C．如果k=0或 = ，那么k =
D．如果 = ， = ，其中 是非零向量，那么 ∥
二、填空题（每题2分）
7．（2分）如果x：y=4：3，那么 = ．
8．（2分）计算：3 ﹣4（ + ）= ．
9．（2分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是 ．
10．（2分）抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是 ．
11．（2分）若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为 ．
12．（2分）已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长
的线段AP的长等于 厘米．
13．（2分）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放
大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是
．
14．（2分）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是
．
15．（2分）如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A
的方向是 ．
16．（2分）在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的
面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： （结果保留π，不要求
第2页（共27页）写出定义域）
17．（2分）如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于
．
18．（2分）如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是
线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果 = ，那么S ：S 的值是
△DPQ △CPE
．
三、解答题
19．（6分）计算：cos245°+ ﹣ •tan30°．
20．（8分）如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，
AE=BC=16，求⊙O的直径．
21．（10分）如图，已知向量 ， ， ．
（1）求做：向量 分别在 ， 方向上的分向量 ， ：（不要求写作法，但要在
图中明确标出向量 和 ）．
（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设 = ， = ，那么
试用 ， 表示向量 ， （请直接写出结论）
第3页（共27页）22．（10分）一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i =1：
1
2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比
i （结果保留根号）
2
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC= ，CE=a，
AC=b，求证：
（1）△DEC∽△ADC；
（2）AE•AB=BC•DE．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣
c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新
抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．
（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐
标．
第4页（共27页）25．（14分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB= ，点O是AB
的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线
于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．
（1）当CM=2时，求线段CD的长；
（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．
第5页（共27页）2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分）
1．（4分）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【考点】S5：相似图形．
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【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选：A．
【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的
图形，难度不大．
2．（4分）下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x（x+1）
C．y= D．y=（x﹣2）2﹣x2
【考点】H1：二次函数的定义．
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【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A错误；
B、y=2x（x+1）是二次函数，故B正确；
C、y= 不是二次函数，故C错误；
D、y=（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
3．（4分）如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC分别交l 、l 、l 与点A、B、C，直线DF分别交
1 2 3 1 2 3
l 、l 、l 与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么 的值
1 2 3
等于（ ）
第6页（共27页）A． B． C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．
【解答】解：∵直线l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ，
∵AH=2，BH=1，BC=5，
∴AB=AH+BH=3，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件．
4．（4分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线x=0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x=0或x=1时，y=6
可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．
第7页（共27页）【解答】解：
当x=﹣2时，y=0，
∴抛物线过（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；
当x=0时，y=6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；
当x=0和x=1时，y=6，
∴对称轴为x= ，故C错误；
当x＜ 时，y随x的增大而增大，
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的图象与坐标轴的交点及
对称轴的求法是解题的关键．
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定
△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2=BC•CD D． =
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形
相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能
推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的
两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
第8页（共27页）①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
② = ；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是
解决问题的关键．
6．（4分）下列说法中，错误的是（ ）
A．长度为1的向量叫做单位向量
B．如果k≠0，且 ≠ ，那么k 的方向与 的方向相同
C．如果k=0或 = ，那么k =
D．如果 = ， = ，其中 是非零向量，那么 ∥
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．
【解答】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项错误；
B、当k＞0且 ≠ 时，那么k 的方向与 的方向相同，故本选项正确；
C、如果k=0或 = ，那么k = ，故本选项错误；
D、如果 = ， = ，其中 是非零向量，那么向量a与向量b共线，即 ∥ ，故
本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌
握平面向量的性质是解此题的关键．
二、填空题（每题2分）
7．（2分）如果x：y=4：3，那么 = ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．
【解答】解：∵x：y=4：3，
∴x= y，
第9页（共27页）∴ = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是比例的性质，根据比例的性质用一个字母表示另一个字母
是解题的关键．
8．（2分）计算：3 ﹣4（ + ）= ﹣ ﹣ 4 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．
【解答】解：3 ﹣4（ + ）=3 ﹣4 ﹣4 =﹣ ﹣4 ．
故答案是：﹣ ﹣4 ．
【点评】本题考查平面向量．熟记计算法则即可解题，属于基础题．
9．（2分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是 m ＞ 1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．
【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，
所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．
【点评】解答此题要掌握二次函数图象的特点．
10．（2分）抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是 （ 0 ， 0 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】令x=0可求得y=0，可求得答案．
【解答】解：
在y=4x2﹣3x中，令x=0可得y=0，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，掌握求函数图象与坐标
轴的交点的方法是解题的关键．
11．（2分）若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为 1 2 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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第10页（共27页）【专题】33：函数思想．
【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，
∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，
∴n=9+6﹣3=12，即n=12，
故答案是：12．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所经过的点，
均能满足该函数的解析式．
12．（2分）已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长
的线段AP的长等于 5 ﹣5 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金比值是 计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP= AB=（5 ﹣5）厘米，
故答案为：5 ﹣5．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞
BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
13．（2分）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放
大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是
1 ： 4 ．
【考点】S5：相似图形．
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【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边
三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4，故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形
周长的比是三角形边长的比来解答．
14．（2分）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是 x
＞ 5 ．
第11页（共27页）【考点】M8：点与圆的位置关系．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．
【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，
∴OP＞5，即x＞5．
故答案为x＞5．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半
径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置
关系．
15．（2分）如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A
的方向是 北偏西 52 ° ．
【考点】IH：方向角．
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【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1=∠2=52°，
∴从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．
故答案为：北偏西52°．
【点评】此题主要考查了方向角，正确画出方位角，根据平行线的性质解答是解题
关键．
16．（2分）在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的
面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： y=﹣π x 2 + 16π （结果保留
π，不要求写出定义域）
【考点】E3：函数关系式；E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据圆的面积公式，可得答案．
【解答】解：由题意得
在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为 x厘米的圆面，剩下部分的面积为 y
平方厘米，
第12页（共27页）y=﹣πx2+16π，
故答案为：y=﹣πx2+16π．
【点评】本题考查了函数关系式，利用圆的面积公式是解题关键．
17．（2分）如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于
．
【考点】KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，在
Rt△AEC中，根据cos∠C= = = ，即可解决问题．
【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，
，
在Rt△AEC中，cos∠C= = = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形锐角三角函数等知识，解题的
关键是熟练掌握所学知识，掌握等腰三角形中的常用辅助线，属于中考常考题
型．
18．（2分）如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是
线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果 = ，那么S ：S 的值是
△DPQ △CPE
．
第13页（共27页）【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】连接QE，由DE∥BC、DE过△ABC的重心即可得出 = ，设DE=4m，则
BC=6m，结合 = 即可得出DP=m，PE=3m，由△DPQ与△QPE有相同的高即
可得出 = = ，再根据 DE∥BC，利用平行线的性质即可得出
∠QDP=∠QBC，结合公共角∠DQP=∠BQC即可得出△QDP∽△QBC，依据相似
三角形的性质即可得出 = = ，进而得出 = ，结合三角形的面积即可得
出 = = ，将 与 相乘即可得出结论．
【解答】解：连接QE，如图所示．
∵DE∥BC，DE过△ABC的重心，
∴ = ．
设DE=4m，则BC=6m．
∵ = ，
∴DP=m，PE=3m，
∴ = = ．
∵DE∥BC，
∴∠QDP=∠QBC，
第14页（共27页）∵∠DQP=∠BQC，
∴△QDP∽△QBC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = • = × = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的重心、平行线的性质以及相似三角形的判定与性质，
根据三角形的面积找出 = 、 = 是解题的关键．
三、解答题
19．（6分）计算：cos245°+ ﹣ •tan30°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=（ ）2+ ﹣ ×
= + ﹣1
第15页（共27页）= ．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．（8分）如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，
AE=BC=16，求⊙O的直径．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即
可．
【解答】解：
连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，
∵AD⊥BC，BC=16，
∴∠OEB=90°，BE= BC=8，
由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，
R2=（16﹣R）2+82，
解得：R=10，
即⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，能根据垂径定理求出BE的长是
解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．
21．（10分）如图，已知向量 ， ， ．
第16页（共27页）（1）求做：向量 分别在 ， 方向上的分向量 ， ：（不要求写作法，但要在
图中明确标出向量 和 ）．
（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设 = ， = ，那么
试用 ， 表示向量 ， （请直接写出结论）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，分别过P作OA、OB的平行线，交
OA于D，交OB于E；
（2）易得△OAQ∽△PEQ，根据相似三角形对应边成比例得出 = = = ，那
么 =2 =﹣2 ， = = ．再求出 = = ﹣2 ，然后根据 = ﹣ 即
可求解．
【解答】解：（1）如图，分别过P作OA、OB的平行线，交OA于D，交OB于E，
则向量 分别在 ， 方向上的分向量是 ， ；
（2）如图，∵四边形ODPE是平行四边形，
∴PE∥DO，PE=DO，
∴△OAQ∽△PEQ，
∴ = = ，
∵点A是线段OD的中点，
第17页（共27页）∴OA= OD= PE，
∴ = = = ，
∴ =2 =﹣2 ， = = ．
∵ = ﹣ = ﹣2 ，
∴ = = ﹣2 ，
∴ = ﹣ = ﹣2 ﹣ = ﹣2 ．
【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌
握向量加法的平行四边形法则正确作出图形是解题的关键．
22．（10分）一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i =1：
1
2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比
i （结果保留根号）
2
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】作DE⊥AB，可得∠BDE=∠BAC，即可知tan∠BAC=tan∠BDE，即 = = ，
设DC=2x，由角平分线性质得DE=DC=2x，再分别表示出BD、AC的长，最后由坡
比定义可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
第18页（共27页）∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠BDE，即 = = ，
设DC=2x，
∵∠DAC=∠DAE，∠DEB=∠C=90°，
∴DE=DC=2x，
则BE=x，BD= = x，
∴BC=CD+BD=（2+ ）x，
∴AC=2BC=（4+2 ）x，
∴新坡面AD的坡比i = = =1：（ ）．
2
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡角坡比问题，根据题意表示出所
需线段的长度是解题的切入点和关键．
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC= ，CE=a，
AC=b，求证：
（1）△DEC∽△ADC；
（2）AE•AB=BC•DE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行
证明即可；
第19页（共27页）（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA， = ，再根据两组对应边的
比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵DC= ，CE=a，AC=b，
∴CD2=CE×CA，
即 = ，
又∵∠ECD=∠DCA，
∴△DEC∽△ADC；
（2）∵△DEC∽△ADC，
∴∠DAE=∠CDE，
∵∠BAD=∠CDA，
∴∠BAC=∠EDA，
∵△DEC∽△ADC，
∴ = ，
∵DC=AB，
∴ = ，即 = ，
∴△ADE∽△CAB，
∴ = ，
即AE•AB=BC•DE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组
对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣
c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新
抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．
（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐
第20页（共27页）标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先根据点B（0，2）向上平移6个单位得到点B（' 0，8），将A（4，0），
B（' 0，8）分别代入y=ax2+2x﹣c，得原抛物线为y=﹣x2+2x+8，向下平移6个单位
后所得的新抛物线为y=﹣x2+2x+2，据此求得顶点C的坐标；
（2）根据A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，进而得出
AB2=AC2+BC2，根据∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；
（3）先设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，根据 = = ，求得PH= AH= ，
进而得到P（1， ），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点Q在点C下方时，
∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ与△ACP相似分两种情况，根据相似三角形的性质
即可得到点Q的坐标．
【解答】解：（1）点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），
将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax2+2x﹣c，得
，
解得 ，
∴原抛物线为 y=﹣x2+2x+8，向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为 y=﹣
x2+2x+2，
∴顶点C的坐标为（1，3）；
（2）如图2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得
AB2=20，AC2=18，BC2=2，
第21页（共27页）∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠CAB= = = ；
（3）如图3，设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，
由 = = ，得PH= AH= ，
∴P（1， ），
由HA=HC=3，得∠HCA=45°，
∴当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，
因此△BCQ与△ACP相似分两种情况：
①如图3，当 = 时， = ，
解得CQ=4，
此时Q（1，﹣1）；
第22页（共27页）②如图4，当 = 时， = ，
解得CQ= ，
此时Q（1， ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的平移、直角三角形
的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性质的综合应用，解题时注意：第
（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下，要分类讨论，以免漏
解．
25．（14分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB= ，点O是AB
的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线
于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．
第23页（共27页）（1）当CM=2时，求线段CD的长；
（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1）如图1中，作OH⊥BC于H．只要证明△DCM≌△OHM，即可得出
CD=OH=3．
（2）如图2中，作NG⊥OB于G．首先证明∠1=∠2，根据tan∠1=tan∠2，可得 =
，由此即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，②如图4
中，当OM=MN时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB= ，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=OB，OH∥AC，
第24页（共27页）∴CH=HB=4，OH=3，
∵CM=2，
∴CM=HM=2，
在△DCM和△OHM中，
，
∴△DCM≌△OHM，
∴CD=OH=3．
（2）如图2中，作NG⊥OB于G．
∵∠HOB=∠A=∠MON，
∴∠1=∠2，
在Rt△BNG中，BN=y，sibB= ，
∴GN= y，BG= y，
∵tan∠1=tan∠2，
∴ = ，
∴ = ，
第25页（共27页）∴y= ，（0＜x＜4）．
（3）①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，
∴BN=CM=x，
∵△OMH≌△ONG，
∴NG=HM=4﹣x，
∵sinB= ，
∴ = ，
∴CM=x= ．
②如图4中，当OM=MN时．连接CO，
∵OA=OB，OM=MN，
∴CO=OA=OB，
∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，
第26页（共27页）∴△MON∽△OAC，
∴∠AOC=∠OMN，
∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，
∴△CMO∽△COB，
∴ = ，
∴8x=52，
∴x= ．
综上所述，△OMN是以OM为腰的等腰三角形时，线段CM的长为 或 ．
【点评】本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、相
似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学
会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:13:20；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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