文档内容
2017 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：
用电量（度） 140 160 180 200
户数 1 3 4 2
那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，180 B．180，160 C．160，180 D．160，160
5．（4分）已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是（
）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．（4分）如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边
AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判
定△DEF与△ABC一定相似的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
第1页（共26页）7．（4分）计算：a•a2= ．
8．（4分）因式分解：x2﹣2x= ．
9．（4分）方程 =﹣x的根是 ．
10．（4分）函数f（x）= 的定义域是 ．
11．（4分）如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
12．（4分）计算：2 + （ + ） ．
13．（4分）将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标
是 ．
14．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除了颜色外无其
他的差异，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是 ．
15．（4分）正五边形的中心角的度数是 ．
16．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所
在圆的半径是 米．
17．（4分）如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，
我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形
ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= ．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关
于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|2﹣ |﹣8 +2﹣2+ ．
第2页（共26页）20．（10分）解不等式组： ．
21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、
C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sin∠AOC= ，反比
例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D．
求：（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）四边形OABC的面积．
22．（10分）某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中
价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二
次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分
别获得的销售利润恰好相等．
（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；
（2）在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这
个增长率．
（注：利润增长率= ×100%）
23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分
别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．
（1）求证：AB=BF；
（2）如果BE=2EC，求证：DG=GE．
第3页（共26页）24．（12分）已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7，﹣3），与x轴正半轴交于点B
（m，0）、C （6m、0）两点，与y轴交于点D．
（1）求m的值；
（2）求这条抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐
标．
25．（14分）如图所示，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于
点A、PB⊥ON于点B，且PB=2 ．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点
D．
（1）求证：∠ADB=∠OPB；
（2）设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；
（3）分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．
第4页（共26页）第5页（共26页）2017 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
【考点】26：无理数．
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【专题】12：应用题．
【分析】A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数，其中有开方开
不尽的数”即可判定选择项．
【解答】解：A、B、D中3.14， ， =3是有理数，C中 是无理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中：
（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如
5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．
（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．
（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用
分数来表示；而无限不循环小数不能化为分数，它是无理数．
2．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判
断即可．
【解答】解：A、 与 不是同类二次根式；
B、 = |a|与 不是同类二次根式；
第6页（共26页）C、 =a 与 是同类二次根式；
D、 =a2与 不是同类二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，判断两个二次根式是否是同类二次
根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
3．（4分）函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象一定经过第一、三，四象限，不经过
第二象限．
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1（常数k＞0），b=﹣1＜0，
∴一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象一定经过第一、三，四象限，不经过第二
象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，
满足解析式的点在函数图象上．并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要
熟记的内容．
4．（4分）某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：
用电量（度） 140 160 180 200
户数 1 3 4 2
那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，180 B．180，160 C．160，180 D．160，160
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：由表可知180出现次数最多，故众数为180，
∵共有1+3+4+2=10个数据，
∴中位数为第5、6个数据的平均数，即 =180，
故选：A．
第7页（共26页）【点评】本题主要考查众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
5．（4分）已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是（
）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由两圆半径分别是1和5，圆心距为4，两圆位置关系与圆心距d，两圆半
径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆半径分别是1和5，圆心距为4，
又∵5﹣1=4，
∴这两个圆的位置关系内切．
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题难度不大，解题的关键是掌握两圆位
置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
6．（4分）如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边
AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判
定△DEF与△ABC一定相似的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由 =
得到△ABC∽△EDF；利用 = 或 = 可根据两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似先判断△DEF∽△AEG，再利用有两组角对应相等
的两个三角形相似判定△AEG∽△ABC，从而得到△ABC∽△EDF，于是可对各
选项进行判断．
第8页（共26页）【解答】解：当 = 时，则 = ，而∠B=∠AEG，所以△ABC∽△EDF；
当 = ，则 = ，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以
∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF；
当 = ，则 = ，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以
∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的
两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算：a•a2= a 3 ．
【考点】46：同底数幂的乘法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
am•an=am+n计算即可．
【解答】解：a•a2=a1+2=a3．
故答案为：a3．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
8．（4分）因式分解：x2﹣2x= x （ x﹣2 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式提取x即可得到结果．
【解答】解：原式=x（x﹣2），
故答案为：x（x﹣2）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本
题的关键．
9．（4分）方程 =﹣x的根是 x=﹣4 ．
【考点】AG：无理方程．
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第9页（共26页）【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即
可得到无理方程的解．
【解答】解：两边平方得：8﹣2x=x2，
整理得：（x+4）（x﹣2）=0，
可得x+4=0或x﹣2=0，
解得：x=﹣4或x=2，
经检验x=2是增根，无理方程的解为x=﹣4．
故答案为：x=﹣4
【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要检验．
10．（4分）函数f（x）= 的定义域是 x ≠ ﹣ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式有意义的条件分母不为0计算即可．
【解答】解：由x+2≠0得，x≠﹣2；
故答案为x≠﹣2．
【点评】本题考查了自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
11．（4分）如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是 m ≤ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，即可得判别式△≥0，继而可求得m的
取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故答案为：m≤1．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式．此题比较简单，注意方程x2﹣
2x+m=0有两个实数根，即判别式△≥0．
12．（4分）计算：2 + （ + ） + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量的加法运算法则进行计算即可得解．
第10页（共26页）【解答】解：2 + （ + ），
=2 + + ，
= + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查了平面向量的运算，比较简单，熟记运算法则是解题的关键．
13．（4分）将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标
是 （﹣ 1 ， 2 ） ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】将抛物线解析式整理成顶点式形式，求出顶点坐标，再根据向上平移纵坐
标加求解即可．
【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∵向上平移4个单位后，
∴平移后抛物线顶点横坐标不变，纵坐标为﹣2+4=2，
∴所得新抛物线的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右
减，上加下减．
14．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除了颜色外无其
他的差异，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，共有4个球，再根据概率公
式即可得出答案．
【解答】解：∵不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，共有4个球，
∴从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是 ．
第11页（共26页）故答案为： ．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
15．（4分）正五边形的中心角的度数是 72 ° ．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为 ，则代入
求解即可．
【解答】解：正五边形的中心角为： =72°．
故答案为：72°．
【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
16．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所
在圆的半径是 1 0 米．
【考点】M3：垂径定理的应用．
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【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【解答】解：设圆弧形桥拱所在圆心为O，连接BO，DO，
可得：AD=BD，OD⊥AB，
∵AB=16米，拱高CD=4米，
∴BD=AD=8m，
设BO=xm，则DO=（x﹣4）m，
根据题意可得：BD2+DO2=BO2，
即82+（x﹣4）2=x2，
解得：x=10，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是10m．
故答案为：10．
第12页（共26页）【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解
题关键．
17．（4分）如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，
我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形
ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
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【专题】23：新定义．
【分析】由三角形的中位线定理证得EF= AB，根据题意得出CD= AB，从而证得
△ABC是直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长．
【解答】解：∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF= AB，
∵CD=EF，
∴CD= AB，
∵AD=BD，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵AB=3，AC=2，
∴BC= = = ，
故答案为： ．
第13页（共26页）【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，三角形中位线定理，直角三角形的判定，
证得是△ABC是直角三角形是解题关键．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关
于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= 3 ．
【考点】LB：矩形的性质；MC：切线的性质；P2：轴对称的性质．
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【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB
是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，由B、F关于EH对称，
推出HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，根据
EF2=EH2+HF2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2，
第14页（共26页）∴42+x2=（14﹣3x）2，
解得x=3或 （舍弃），
∴AE=3，
故答案为3．
【点评】本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考
常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|2﹣ |﹣8 +2﹣2+ ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|2﹣ |﹣8 +2﹣2+
=2﹣ ﹣2+ + +1
=1
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在
进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再
算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右
的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．（10分）解不等式组： ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得x＞﹣1，
第15页（共26页）解不等式②得x≤1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，应遵循的原则：同大取较大，同小取较
小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、
C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sin∠AOC= ，反比
例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D．
求：（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）四边形OABC的面积．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G7：待定系数法求反比例函数解析式；
L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾
股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；
（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据
平行四边形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）
过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，
∵OC=2 ，sin∠AOC= = ，
第16页（共26页）∴MC=4，
由勾股定理得：OM= =2，
∴C的坐标为（2，4），
代入y= 得：k=8，
所以这个反比例函数的解析式是y= ；
（2）
过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，
∵D为AB的中点，
∴DN= =2，AN= =1，
把y=2代入y= 得：x=4，
即ON=4，
∴OA=4﹣1=3，
∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，解
直角三角形等知识点，能求出OA的值是解（2）的关键．
22．（10分）某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中
价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二
次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分
别获得的销售利润恰好相等．
（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；
（2）在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这
第17页（共26页）个增长率．
（注：利润增长率= ×100%）
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元，根据总利润=单本利润×
数量结合两次销售总利润相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得
出结论；
（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y，根据涨价前单本利润已经连续两
次涨价后的单本利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可．
【解答】解：（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元，
根据题意得：（8.25﹣2）×36=（x﹣2）×25，
解得：x=11．
答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元．
（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y，
根据题意得：（8.25﹣2）（1+y）2=11﹣2，
解得：y =0.2=20%，y =﹣2.2（舍去）．
1 2
答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键
是：（1）根据总利润=单本利润×数量结合两次销售总利润相等，列出关于x的
一元一次方程；（2）根据涨价前单本利润已经连续两次涨价后的单本利润，列
出关于y的一元二次方程..
23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分
别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．
（1）求证：AB=BF；
（2）如果BE=2EC，求证：DG=GE．
第18页（共26页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LI：直角梯形；S9：相似三角形的判定与性
质．
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【分析】（1）先证△BCF≌△DCE，再证四边形 ABED是平行四边形，从而得
AB=DE=BF．
（2）延长AF交BC延长线于点M，从而CM=CF，又由AD∥BC可以得到 = =1，
从而DG=GE．
【解答】证明：（1）∵BC=CD，BE=DF，
∴CF=CE，
在△BCF与△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE，
∴BF=DE，
∵AD∥BC，BE=AD，
∴四边形ABED是平行四边形；
∴AB=DE，
∴AB=BF．
（2）延长AF交BC延长线于点M，则CM=CF；
∵AD∥BC，
∴ = ，
∵BE=2EC，
∴ = =1，
第19页（共26页）∴DG=GE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质
等知识，根据已知得出△BCF≌△DCE是解题关键．
24．（12分）已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7，﹣3），与x轴正半轴交于点B
（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．
（1）求m的值；
（2）求这条抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐
标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x﹣m）（x﹣6m），
把点D和点A的坐标代入可求得m的值；
（2）由6am2=﹣3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；
（3）过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为（a，0）则OQ=﹣a，然后证明
△ODQ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=﹣2a．，则P的坐标
为（a+6，﹣2a），将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．
【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣3，
第20页（共26页）∴D（0，﹣3）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣m）（x﹣6m）．
把点D和点A的坐标代入得：6am2=﹣3①，a（7﹣m）（7﹣6m）=﹣3②，
∴a（7﹣m）（7﹣6m）=6am2．
∵a≠0，
∴（7﹣m）（7﹣6m）=m2．
解得：m=1．
（2）∵6am2=﹣3，
∴a=﹣ =﹣ ．
将a=﹣ ，m=1代入得：y=﹣ x2+ x﹣3．
∴抛物线的表达式为y=﹣ x2+ x﹣3．
（3）如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．
设点Q的坐标为（a，0）则OQ=﹣a
﹣∵∠DQP=90°，
∴∠PQO+∠OQD=90°．
又∵∠ODQ+∠DQO=90°，
∴∠PQE=∠ODQ．
又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，
第21页（共26页）∴△ODQ∽△EQP．
∴ = = = ，即 = = ，
∴QE=6，PE=﹣2a．
∴P的坐标为（a+6，﹣2a）
将点P的坐标代入抛物线的解析式得：﹣ （a+6）2+ （a+6）﹣3=﹣2a，整理得：
a2+a=0，
解得a=﹣1或a=0．
当a=﹣1时，Q（﹣1，0），P（5，2）；当a=0时，Q（0，0），P（6，0）．
综上所述，Q（﹣1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，用含a的式子表示出点P
的坐标是解题的关键．
25．（14分）如图所示，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于
点A、PB⊥ON于点B，且PB=2 ．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点
D．
（1）求证：∠ADB=∠OPB；
（2）设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；
（3）分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）先判断出∠DAE=∠POB，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用等腰直角三角形的性质得出OB=BF= （x+2），同理得出OA=x+4，即可
得出AE，OE，进而得出DE，最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化简即可
得出结论；
第22页（共26页）（3）先利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形外角的性质判断出
△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠OBC+∠ABP=45°，再用△ABD与△CPB
得出，∠ABD=∠PBC，即∠OBC=∠ABP= ×45°=22.5°，进而得出OP是∠MON
的平分线即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：如图，∵PA⊥OM，CO=CP，
∴CO=CP=CA，
∴∠CAO=∠COA，
过A作AE⊥OB于E，
∵∠MON=45°，
∴∠AOE=∠OAE=45°，
∴∠POB=∠DAE，
∵PB⊥OB，
∴∠ADB=∠OPB；
（2）如图1，
延长BP交OM于F，
∵BP⊥ON，PA⊥OM，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵∠MON=45°，
∴∠AFB=45°，
在Rt△APF中，AP=x，∠OFB=45°，
∴PF= x，
∴BF=PF+PB= x+2 = （x+2），
在Rt△OBF中，OB=BF= （x+2）
延长AP交ON于G，
同理：PG= PB=4，
∴OA=AG=AP+PG=x+4，
过点A作AE⊥ON，
第23页（共26页）∴OE=AE= OA= （x+4），
∴DE=OE﹣OD= （x+4）﹣y
由（1）知，∠ADE=∠OPB，
∵∠AED=∠OBP=90°，
∴△ADE∽△OPB，
∴ ，
∴ ，
∴y=
（3）如图2，
在Rt△OAP中，点C是OP中点，
∴AC=OC= OP，
在Rt△OBP中，点C是OP中点，
∴BC=OC= OP，
∴AC=BC，
∵AC=OC，
∴∠ACP=2∠AOP，
∵OC=BC，
∴∠BCP=2∠BOP，
∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，
∴∠BAC=∠CAB=45°，
∵∠OBP=90°，
∴∠OBC+∠ABP=45°
∵当△ABD与△CPB相似时，
第24页（共26页）∵∠ADB=∠CPB，
∴∠ABD=∠PBC，
∴∠OBC=∠ABP= ×45°=22.5°，
∵OC=BC，
∴∠BOC=∠OBC=22.5°，
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP是∠MON的角平分线，
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA=PB=2 ．
第25页（共26页）【点评】此题是相似形综合题，主要考查直角三角形的性质，同角的余角相等，等
腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质，解（2）的关键是得出OB，
DE，AE，解（3）的关键是判断出∠OBC+∠ABP=45°，是一道很好的中考常考题．
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日期：2018/12/24 0:08:52；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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