文档内容
2016 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（
）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，点D、E分别在AB、AC上，以下能推得DE∥BC的条件是（ ）
A．AD：AB=DE：BC B．AD：DB=DE：BC
C．AD：DB=AE：EC D．AE：AC=AD：DB
4．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
5．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（
）
A．AC2=AD•AB B．CD2=CA•CB C．CD2=AD•DB D．BC2=BD•BA
第1页（共26页）6．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7.已知，那么.
7．（4分）已知 ，那么 = ．
8．（4分）计算：2 ﹣3（ + ）= ．
9．（4分）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，
上海与杭州的图上距离约 厘米．
10．（4分）某滑雪运动员沿着坡比为1： 的斜坡向下滑行了100米，则运动员下
降的垂直高度为 米．
11．（4分）将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是
．
12．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线
与x轴的一个交点为（6，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ．
13．（4分）已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心， = ，那么用向量 表
示向量 为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且
∠CAD=∠B，那么CD的长是 ．
第2页（共26页）15．（4分）如图，直线AA ∥BB ∥CC ，如果 ，AA =2，CC =6，那么线段BB 的
1 1 1 1 1 1
长是 ．
16．（4分）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，
在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射
后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，
BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是 米．
17．（4分）若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，
c），则称△ABC为“抛物三角形”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“倒抛
物三角形”时，a、c应分别满足条件 ．
18．（4分）在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一
点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE= ．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
20．（10分）二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 5 …
y … 7 0 ﹣5 ﹣8 ﹣9 7 …
（1）求此二次函数的解析式；
第3页（共26页）（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．
21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交
CD的延长线于点F，交AC于点G．
（1）若FD=2， ，求线段DC的长；
（2）求证：EF•GB=BF•GE．
22．（10分）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车XRS在这段限速为
80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点A、B、C，P是一个观测
点，PC⊥l，PC=60米，tan∠APC= ，∠BPC=45°，测得该车从点A行驶到点B所
用时间为1秒．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）试说明该车是否超过限速．
23．（12分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC
交AD于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：FC=3EF．
第4页（共26页）24．（12分）如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（A在
B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为M．
（1）求a、c的值；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P
为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明
理由．
25．（14分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与
点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，
交CD于点M．
（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出DE：CG的值；
（2）联结EG，如图2，若设AE=x，EG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定
义域；
（3）当M为边DC的三等分点时，求S 的面积．
△EGF
第5页（共26页）2016 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（
）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来
解答．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：4，
又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应中线之比为1：4．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、
角平分线、中线的比等于相似比；
②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据正弦的定义解得即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA= = ，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（4分）如图，点D、E分别在AB、AC上，以下能推得DE∥BC的条件是（ ）
第6页（共26页）A．AD：AB=DE：BC B．AD：DB=DE：BC
C．AD：DB=AE：EC D．AE：AC=AD：DB
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．
【解答】解：∵AD：DB=AE：EC，
∴DE∥BC，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确根据平行线的判定定理证
明平行线是解题的关键．
4．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称
轴x=﹣ ＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．
【解答】解：根据二次函数图象的性质，
∵开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴交于正半轴，
第7页（共26页）∴c＞0，
又∵对称轴x=﹣ ＜0，
∴b＜0，
所以A正确．
故选：A．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
5．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（
）
A．AC2=AD•AB B．CD2=CA•CB C．CD2=AD•DB D．BC2=BD•BA
【考点】SE：射影定理．
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【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2=AD•AB，CD2=DA•DB，BC2=BD•BA．
故选：B．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射
影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中
项．
6．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判
定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．
【解答】解：A、有一个顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错
第8页（共26页）误；
B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；
C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7.已知，那么.
7．（4分）已知 ，那么 = ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据比例的性质及合比定理解答．
【解答】解：∵ 的两个内项是y、1，两个外项是x、3，
∴ ，
根据合比定理，知 = =4；
又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了比例的性质：在比例式中，两个内项之积等于两个外项之
积．
8．（4分）计算：2 ﹣3（ + ）= ﹣ 3 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
第9页（共26页）【解答】解：2 ﹣3（ + ）=2 ﹣ ﹣3 = ﹣3 ．
故答案为： ﹣3 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意去括号时符号的变化．
9．（4分）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，
上海与杭州的图上距离约 4 厘米．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】设上海与杭州的图上距离为 x厘米，根据比例尺的意义列出方程 x：
20000000=1：5000000，解方程即可．
【解答】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米．
200千米=20000000厘米，
x：20000000=1：5000000，
解得x=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键．注意单位要统一．
10．（4分）某滑雪运动员沿着坡比为1： 的斜坡向下滑行了100米，则运动员下
降的垂直高度为 5 0 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了 x米．
根据勾股定理可得：x2+（ x）2=1002．
解得：x=50，
即它距离地面的垂直高度下降了50米．
故答案为：50．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题的关键是用同一未知数表示出下
降高度和水平前进距离．
11．（4分）将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是
y= （ x + 1 ） 2 ﹣2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
第10页（共26页）【分析】先由二次函数的性质得到抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根
据点平移的规律，点（﹣1，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），然后根
据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把（﹣1，0）向下平移2个单
位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式是y=（x+1）2
﹣2．
故答案为y=（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
12．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线
与x轴的一个交点为（6，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （﹣ 2 ， 0 ）
．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】求出点（6，0）关于x=2的对称点即可．
【解答】解：（6，0）关于x=2的对称点是（﹣2，0）．
故答案是（﹣2，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴
对称是关键．
13．（4分）已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心， = ，那么用向量 表
示向量 为 ﹣ ．
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
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第11页（共26页）【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，直接求
得向量的值．
【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍
∴ =﹣ ．
∴用向量 表示向量 为﹣ ．
【点评】考查了三角形的重心的性质．注意要求的向量和已知的向量方向相反．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且
∠CAD=∠B，那么CD的长是 4 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由∠C=∠C，∠CAD=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得
△ACD∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，易求得CD的长．
【解答】解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，
∴△ACD∽△BCA，
∴ = ，
即 = ，
∴CD的长是4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意有两角对应相等的三角形相
似，相似三角形的对应边成比例．
15．（4分）如图，直线AA ∥BB ∥CC ，如果 ，AA =2，CC =6，那么线段BB 的
1 1 1 1 1 1
长是 3 ．
第12页（共26页）【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】过A 作AE∥AC，交BB 于D，交CC 于E，得出四边形ABDA 和四边形
1 1 1 1
BCED 是平行四边形，求出 AA =BD=CE=2，EC =6﹣2=4， = = ，根据
1 1
BB ∥CC 得出 = ，代入求出DB =1即可．
1 1 1
【解答】解：如图：
过A 作AE∥AC，交BB 于D，交CC 于E，
1 1 1
∵直线AA ∥BB ∥CC ，
1 1 1
∴四边形ABDA 和四边形BCED是平行四边形，
1
∴AA =2，CC =6，
1 1
∴AA =BD=CE=2，EC =6﹣2=4， = = ，
1 1
∴∵BB ∥CC ，
1 1
∴ = ，
∴ = ，
∴DB =1，
1
∴BB =2+1=3，
1
故答案为：3．
第13页（共26页）【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是
解此题的关键．
16．（4分）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，
在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射
后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，
BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是 2 4 米
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得 = ，解答即可．
【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，
则Rt△ABP∽Rt△CDP，
故 = ，
解得：CD= =24（米）．
故答案为：24．
【点评】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出
△ABP∽△CDP是解题关键．
17．（4分）若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，
c），则称△ABC为“抛物三角形”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“倒抛
物三角形”时，a、c应分别满足条件 a ＜ 0 ， c ＞ 0 ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【专题】23：新定义．
【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn＜0，则c的符号即可确定，然后根据抛物
线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴，
∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，
∴mn＜0，
第14页（共26页）又∵mnc＜0，
∴c＞0，即抛物线与y轴的正半轴相交，
又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），
∴函数开口向下，
∴a＜0．
故答案是：a＜0，c＞0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关
键．
18．（4分）在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一
点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE= 2 ， ，
．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再分类
讨论：当△ABC∽△CDE，如图 1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，所以
CE=AE，根据等腰三角形得 CE= AC=2；当△ABC∽△DCE，如图 2，则
∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，接着证明CD⊥AB，利用面积法可计算出CD=
， 利 用 相 似 比 可 计 算 出 CE= ； 当 △ ABC∽ △ CED ， 如 图 3 ，
∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，证明CD为斜边上的中线，则CD=DA=DB= AB=
，然后利用相似比可计算出CE= ，综上所述，CE的长为2， ， ．
【解答】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
第15页（共26页）∴CE=AE，
∴CE= AC=2；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，
而∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD= = ，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD=BC：CE，即5： =3：CE，
∴CE= ；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴DC=DA，
∵∠A+∠B=90°，∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴DB=DC，
∴CD=DA=DB= AB= ，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB=CD：AC，即CE：5= ：4，
∴CE= ，
综上所述，CE的长为2， ， ．
故答案为2， ， ．
第16页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相
等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对
应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积
的比等于相似比的平方．也考查了分类讨论的思想．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式= • +6× ﹣2×
= +1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 5 …
第17页（共26页）y … 7 0 ﹣5 ﹣8 ﹣9 7 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c中，根据待定系数
法即可求得；
（2）把解析式化成顶点式即可求得．
【解答】解：（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c得
，解得 ，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣8；
（2）∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9），对称轴为直线x=1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标和
对称轴，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交
CD的延长线于点F，交AC于点G．
（1）若FD=2， ，求线段DC的长；
（2）求证：EF•GB=BF•GE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由平行线得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例求出FC，即可得出
DC的长；
第18页（共26页）（2）由平行线得出△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，得出对应边成比例 ，
，由已知条件得出AE=DE，因此 ，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ = ，
∴FC=3FD=6，
∴DC=FC﹣FD=4；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴ ， ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE，
∴ ，
∴EF•GB=BF•GE．
【点评】本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，
证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
22．（10分）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车XRS在这段限速为
80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点A、B、C，P是一个观测
点，PC⊥l，PC=60米，tan∠APC= ，∠BPC=45°，测得该车从点A行驶到点B所
用时间为1秒．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）试说明该车是否超过限速．
第19页（共26页）【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】（1）由三角函数求出AC，证出△BCP是等腰直角三角形，得出BC=PC=60
米，求出AB=AC﹣BC=20米即可；
（2）求出该车从点A行驶到点B的速度为20米/秒=72千米/小时＜80千米/小时
即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
（1）∵PC⊥l，PC=60米，tan∠APC= = ，
∴AC=80米，
∵∠BPC=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BC=PC=60米，
∴AB=AC﹣BC=20米，
答：A、B两点间的距离为20米；
（2）该车不超过限速；理由如下：
由题意得：该车从点A行驶到点B所用时间为1秒，
∴该车从点A行驶到点B的速度为20米/秒=72千米/小时＜80千米/小时，
∴该车不超过限速．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌
握解直角三角形，由三角函数求出AC是解决问题（1）的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC
交AD于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
第20页（共26页）（2）求证：FC=3EF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由AD=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，利用
两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得到 ，由D是BC边的中点，得到BC=2CD，于是
得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到
△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到 = ，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠B=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵△ABC∽△FCD，
∴ ，
∵D是BC边的中点，
∴BC=2CD，
∴AD=AC=2FD，
∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，
∴∠EAD=∠ACE，
∴△EAF∽△ECA，
∴ = ，
第21页（共26页）∴EC=2EA=4EF，
∴FC=3EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似
三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（A在
B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为M．
（1）求a、c的值；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P
为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明
理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据勾股定理及逆定理，可得直角三角形，再根据正切函数等于对边比邻边，
可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得PC的长，根据等腰直角三角形的性质，可得PH
与CH的长，可得P点坐标．
【解答】解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，顶点坐标M为（﹣1，﹣4）．
又A（﹣3，0），C（0，﹣3），
AC=3 ．MC= ，AM=2 ．
第22页（共26页）∵AC2+MC2=AM2，
∴∠ACM=90°，
tan∠MAC= = =
（3）∠PCO=∠BAC=45°，
如图 ，
①当△PCO∽△BAC时， = ，即 = ，
解得PC=2 ．
过P作PH⊥y轴于H点，△PHC为等腰直角三角形，
PH=HC=2，﹣3+2=﹣1，
∴P（﹣2，﹣1）；
②当△PCO∽△CAB时， = ，即 = ，
解得PC= ．
过P作PH⊥y轴于H点，△PHC为等腰直角三角形，
PH=HC= ，﹣3+ =﹣ ，
P（﹣ ，﹣ ）．
综上所述：存在点P使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，出P点的坐
标（﹣2，﹣1），（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定
理及逆定理得出直角三角形是解题关键；利用相似三角形的性质得出PC的长
第23页（共26页）是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
25．（14分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与
点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，
交CD于点M．
（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出DE：CG的值；
（2）联结EG，如图2，若设AE=x，EG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定
义域；
（3）当M为边DC的三等分点时，求S 的面积．
△EGF
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）根据正方形的性质得到∠EDB=∠GCB=45°，∠ABD=∠CBD=45°，根据
相似三角形的判定定理证明即可；
（2）作EH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似三角形的性质
得到y关于x的函数解析式；
（3）分CM= CD和CM= CD两种情况，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB=∠GCB=45°，∠ABD=∠CBD=45°，又∠EBM=45°，
∴∠GBC+∠DBM=45°，∠EBD+∠DBM=45°，
∴∠GBC=∠EBD，又∠EDB=∠GCB=45°，
∴△DEB∽△CGB，
∴DE：CG=BD：BC= ；
（2）如图2，作EH⊥AC于H，
则AH=EH= x，
∵△DEB∽△CGB，
第24页（共26页）∴ = = ，
∴CG= （6﹣x），
∴HG=AC﹣AH﹣CG=3 ，
∵EG2=EH2+HG2，
∴y= （0＜x＜6）；
（3）当CM= CD=2时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴ = = ，
∴CG= ，
∴DE=3，则AE=3，
∴AH=EH= ，
∵AD∥BC，
∴ = = ，
∴AF=2 ，
∴GF=AC﹣AF﹣CG= ，
∴S = ×FG×EH= ，
△EGF
当CM= CD=4时，
= = ，
∴CG= ，
第25页（共26页）∴DE= ，则AE= ，
AH=EH= ，
∵ ，
∴AF= ，
∴GF=AC﹣AF﹣CG= ，
∴S = ×FG×EH= ．
△EGF
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质的应用、正方形的性质的应用，正
确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运
用．
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日期：2018/12/24 0:16:36；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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