文档内容
2016 年上海市松江区中考数学一模试卷
一.选择题
1．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
2．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2
C．y=2x2﹣7 D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若四边形ABCD的对角线交于点O，且有 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
6．（3分）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截
△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的
“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的
△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二.填空题
7．（4分）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c= ．
第1页（共26页）8．（4分）已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为 cm．
9．（4分）二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为 ．
10．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB= ，那么AB= ．
11．（4分）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水
平距离x（米）的函数解析式为y=﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点
离地面的距离为 米．
12．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF， ，DE=6，那么EF的值是 ．
13．（4分）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=
．
14．（4分）若点A（﹣3，y ）、B（0，y ）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，
1 2
那么y 与y 的大小关系是 （填y ＞y 、y =y 或y ＜y ）．
1 2 1 2 1 2 1 2
15．（4分）将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是
．
16．（4分）如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等
于 cm．
17．（4分）已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对
称轴为直线 ．
18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC
沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD= ．
第2页（共26页）三.解答题
19．（10分）已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．
20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设 = ，
= ；
（1）求向量 （用向量 、 表示）；
（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作
图中表示结论的向量）
21．（10分）如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高
度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台
B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求
旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA= ，点D在边AB上，AD：DB=3：1，
求cot∠DCB的值．
第3页（共26页）23．（10分）已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且
BD2=BE•BC；
（1）求证：∠BDE=∠C；
（2）求证：AD2=AE•AB．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，O是坐
标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合
条件的点D的坐标．
25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P
是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E
和点G；
（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；
（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，
第4页（共26页）并写出它的定义域；
（3）当线段DG= 时，求AE的值．
第5页（共26页）2016 年上海市松江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【考点】S7：相似三角形的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比
的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，
相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2
C．y=2x2﹣7 D．
【考点】H1：二次函数的定义．
菁优网版权所有
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数
y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）
第6页（共26页）A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作
出判断．
【解答】解：在直角△ABC中，AC= = = ．
则sinA= = ，故A错误；
cosA= = ，故B正确；
tanA= = = ，故C错误；
cotA= = = ，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．（3分）若四边形ABCD的对角线交于点O，且有 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出图形，然后由 ，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得
△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 OA：OC=OB：
OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．
【解答】解：A、∵ ，
∴AB∥CD，AB=2DC，
∴△OAB∽△OCD，
∴OA：OC=AB：DC=2：1，
∴OA=2OC，
∴ =2 ；故正确；
第7页（共26页）B、| |不一定等于| |；故错误；
C、 ≠ ，故错误；
D、 = ；故错误．
故选：A．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证
得△AOB∽△COD是解此题的关键．
5．（3分）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利
用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
第8页（共26页）∴c＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上
开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对
称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与
y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与
x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，
抛物线与x轴没有交点．
6．（3分）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截
△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的
“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的
△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】S8：相似三角形的判定．
菁优网版权所有
【专题】23：新定义．
【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出
对应角相等即可得出．
【解答】解：如图所示：
当PD∥BC时，△APD∽△ACB；
当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；
当PF⊥AB时，△APF∽△ABC
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
∵∠CPE不可能为60°，
∴当∠CPE=60°时，相似的这种情形不存在．
理由：连接PB，
∵∠CPB=∠A+∠ABP，
∴PB＞PC，PC=PA，
∴PB＞PA，
第9页（共26页）∴∠PBA＜∠A，
∴∠CPB＜60°，
∴∠CPE不可能为60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作
出辅助线是解题关键．
二.填空题
7．（4分）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c= 8 ．
【考点】S1：比例的性质．
菁优网版权所有
【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求
代数式的值．
【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，
∴设a=k，则b=3k，c=2k，
又∵a+b+c=24，
∴k+3k+2k=24，
∴k=4，
∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．
故答案是：8．
【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题
的关键．
8．（4分）已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为 4 cm．
【考点】S2：比例线段．
菁优网版权所有
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
第10页（共26页）设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．
故答案为4．
【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负
数．
9．（4分）二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为 （ 0 ， 3 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】把x=0代入即可求得．
【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，
所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），
故答案为（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解
题的关键．
10．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB= ，那么AB= 6 ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：∵sinB= ，
∴AB= = =6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关
键．
11．（4分）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水
平距离x（米）的函数解析式为y=﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点
离地面的距离为 3 米．
【考点】HE：二次函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：由题意可得：
第11页（共26页）y=﹣
=﹣ （x2﹣8x）+
=﹣ （x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．
12．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF， ，DE=6，那么EF的值是 4 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
菁优网版权所有
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，即可得出结果．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ，
∴ = ，
即 ，
解得：EF=4
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例．
13．（4分）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i= 1 ： 2
．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水
第12页（共26页）平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．
【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，
根据勾股定理，得x2+12=52，
解得， （舍去），
故该斜坡坡度i=1：2 ．
故答案为：1：2 ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么
是坡度．
14．（4分）若点A（﹣3，y ）、B（0，y ）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，
1 2
那么y 与y 的大小关系是 y ＜ y （填y ＞y 、y =y 或y ＜y ）．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x=﹣3时，y =﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；
1
当x=0时，y =﹣2（x﹣1）2+3=1；
2
∵﹣29＜1，
∴y ＜y ，
1 2
故答案为：y ＜y ．
1 2
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．也考查了二次函数的性质．
15．（4分）将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是 y =
（ x﹣2 ） 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得
函数解析式为：y=（x﹣2）2．
故答案为：y=（x﹣2）2．
【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是
解题关键．
16．（4分）如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等
第13页（共26页）于 4 cm．
【考点】K5：三角形的重心．
菁优网版权所有
【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答
案．
【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，
∵△ABC的重心G，DE∥BC，
∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，
∴ = = ，
∴ = ，
解得：DG=2，
∴DE=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长
是解题关键．
17．（4分）已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对
称轴为直线 x=2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两
点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．
第14页（共26页）【解答】解：∵二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，
∴该二次函数的图象对称轴为直线：x= ，
故答案为：x=2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数
的图象关于对称轴对称．
18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC
沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD= ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD⊥AB，D就是垂足，根据三角形的面
积公式求得 CD 的长，然后在直角△ACD 中利用勾股定理求得 AD，再根据
sin∠A′CD=sin∠ACD求解．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
在直角△ABC中，AB= = =5，
∵S = AB•CD= BC•AC，
△ABC
∴CD= = = ，
在直角△ACD中，AD= = ，
∴sin∠A′CD=sin∠ACD= = = ．
故答案是： ．
【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解∠ACD=∠A′CD是
关键．
第15页（共26页）三.解答题
19．（10分）已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．
菁优网版权所有
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程
求得b的值即可；
（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答
即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），
∴8=（﹣1）2﹣b+3，
解得b=﹣4，
∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；
（2）作AH⊥BM于点H，
∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，
点M的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（2，0），
∴BM=1，
∵对称轴为直线x=2，
∴AH=3，
∴△ABM的面积 = ．
第16页（共26页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的
关键是正确求出抛物线的解析式．
20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设 = ，
= ；
（1）求向量 （用向量 、 表示）；
（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作
图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，又由点M、N
是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量 ；
（2）首先平移向量 ，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．
【解答】解：（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵点M、N分别为DC、BC的中点，
∴ ， ，
∴ ．
方法二：∵ ， ，
∴ ，
∵点M、N分别为DC、BC的中点，
∴ ；
第17页（共26页）（2）作图：结论： 、 是向量 分别在 、 方向上的分向量．
【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的
性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
21．（10分）如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高
度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台
B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求
旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
菁优网版权所有
【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角
形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得
MH的长度，则MN=AB+BH．
【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，
由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，
设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，
∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，
解得x=8.75，
则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）
答：旗杆MN的高度度约为9.75米．
第18页（共26页）【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造
直角三角形并解直角三角形．
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA= ，点D在边AB上，AD：DB=3：1，
求cot∠DCB的值．
【考点】T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【专题】2B：探究型．
【分析】作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA= ，点D在边AB上，AD：DB=3：1，
可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB
的值．
【解答】解：过D点作DH⊥BC于点H，如下图所示：
∵∠ACB=90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BAC，
∴∠BDH=∠A，
∵AD：DB=3：1，
∴BH：BC=BD：BA=1：4，
第19页（共26页）设BH=x，则BC=4x，CH=3x，
∵∠C=90°， ，∠BDH=∠A，
∴DH=2x，
∵DH⊥BC，
∴cot∠DCB= ，
即cot∠DCB= ．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所
求角的三角函数值．
23．（10分）已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且
BD2=BE•BC；
（1）求证：∠BDE=∠C；
（2）求证：AD2=AE•AB．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE•BC，得到 ，
推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得
△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD2=BE•BC，
∴ ，
第20页（共26页）∴△EBD∽△DBC，
∴∠BDE=∠C；
（2）∵∠BDE=∠C，
∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，
∴∠DBC=∠ADE，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADE，
∴△ADE∽△ABD，
∴ ，
即AD2=AE•AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三
角形的性质即可得到结论．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，O是坐
标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合
条件的点D的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x
的方程，根据解方程，可得答案；
第21页（共26页）（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，
根据解方程，可得答案．
【解答】解（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=3，
∴OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），
又点B（3，0），∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵∠PAB=∠CAB，
∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，
∵点P在x轴上方，
设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），
∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，
得x=﹣1（舍去）或x=6，
当x=6时，y=21，
∴点P的坐标为（6，21）；
（3）如图 ，
设点D的坐标为（0，y），
易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，
∴∠DCB=45°，
∴∠ABC=∠DCB，
第22页（共26页）∵AB=4，BC= ，DC=y+3，
①如果 = ，则 = ，
∴y=1，即点D（0，1），
②如果 = 则 = ，
∴y= ，即点D （0， ）．
1
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数
得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；
利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于 y的方程是
解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P
是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E
和点G；
（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；
（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，
并写出它的定义域；
（3）当线段DG= 时，求AE的值．
【考点】SO：相似形综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；55D：图形的相似．
【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三
角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即
为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC
平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得
到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；
（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三
第23页（共26页）角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函
数解析式，并求出定义域即可；
（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所
示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP
与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，
求出DE的长，根据AD+DE求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3
所示，同理求出DE的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．
【解答】解：（1）作AH⊥BC于点H，如图1所示：
∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，
∴BH=AH= （BC﹣AD）= ×（9﹣3）=3，
∴BH=AH=3，
根据勾股定理得：AB= =3 ，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，
∴AC= =3 ，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
又∠APE=∠B，
∴△ADP∽△CAB，
∴ = ，即 = ，
∴AP= ；
（2）如图2所示，
第24页（共26页）∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
∵∠APE=∠B，
∴△APE∽△CBA，
∴ = ，即 = ，
∴y= x﹣3（ ＜x≤3 ）；
（3）分两种情况考虑：
①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，
由（1），同理可得AM= ，
∴CM= ，
∵DG= ，CD=AB=3 ，
∴CG=2 ，
∵GP∥DM，
∴ = ，即 = ，
∴MP= ，
∵DM∥EP，
∴ = ，即 = ，
解得：DE= ，
第25页（共26页）∴AE=AD+DE=3+ = ；
②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，
同①可得DE= ，
∴AE=AD﹣DE=3﹣ = ．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯
形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性
质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:17:08；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
