文档内容
2016 年上海市松江区中考数学二模试卷
一、选择题
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．16
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
4．某班一个小组7名同学的体育测试成绩（满分30分）依次为：27，29，27，25，
27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．27，25 B．25，27 C．27，27 D．27，30
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件
可以是（ ）
A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC=BD
6．已知⊙O 的半径r =6，⊙O 的半径为r ，圆心距O O =3，如果⊙O 与⊙O 有交
1 1 2 2 1 2 1 2
点，那么r 的取值范围是（ ）
2
A．r ≥3 B．r ≤9 C．3＜r ＜9 D．3≤r ≤9
2 2 2 2
二、填空题
7．因式分解：2a2﹣3a= ．
8．函数 的定义域是 ．
9．计算：2（ ﹣ ）+3 = ．
10．关于x的一元二次方程 x2﹣2x+m=0有两个实数根，则 m的取值范围是
．
第1页（共24页）11．不等式组： 的解集为 ．
12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的
抛物线的解析式为 ．
13．反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，2），A（x ，y ），B（x ，y ）是图象上另两点，
1 1 2 2
其中x ＜x ＜0，则y 、y 的大小关系是 ．
1 2 1 2
14．用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于y
的整式方程，那么这个整式方程是 ．
15．某服装厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有2件
不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为 万件．
16．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为 3的倍数的概率是
．
17．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分
率为x，那么根据题意可列关于x的方程是 ．
18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E是AB上一点，将
△BCE沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE= ．
三、解答题
19．计算：（ ）﹣2 +（π﹣3.14）0+ ．
20．解方程组： ．
21．已知气温的华氏度数y是摄氏度数x的一次函数，如图所示是一个家用温度
表的表盘，其左边为摄氏温度的刻度和度数（单位：℃），右边为华氏温度的刻
度和度数（单位：℉），观察发现表示﹣40℃与﹣40℉的刻度线恰好对齐（左一
第2页（共24页）条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？
22．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于D，O为AD上一点，以O为圆
心，OA为半径的圆交AB于G，交BC于E、F．且AG=AD．
（1）求EF的长；
（2）求tan∠BDG的值．
23．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．
（1）求证：∠CAD=∠ECB；
（2）点F是AC的中点，连结DF，求证：BD2=FC•BE．
24．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x
轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
第3页（共24页）（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．
25．已知，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，
tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在
射线FE和线段CD上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关
于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．
第4页（共24页）2016 年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．16
【考点】26：无理数．
菁优网版权所有
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、 是有理数，故A错误；
B、 是无理数，故B正确；
C、 是有理数，故C错误；
D、16是有理数，故D错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个
0）等形式．
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
菁优网版权所有
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或
因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开的尽的因数，故B错误；
C、被开方数含开的尽的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数
第5页（共24页）不含开的尽的因数或因式．
3．在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】根据k，b的符号判断直线所经过的象限．
【解答】解：由已知，得：k=1＞0，b=﹣1＜0，
故图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象的四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大
而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大
而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增
大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增
大而减小．
4．某班一个小组7名同学的体育测试成绩（满分30分）依次为：27，29，27，25，
27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．27，25 B．25，27 C．27，27 D．27，30
【考点】W4：中位数；W5：众数．
菁优网版权所有
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以
不止一个．
【解答】解：在这一组数据中27是出现次数最多的，故众数是27；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是27，这组数据的中
位数是27．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大
第6页（共24页）（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做
这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列
可能会求得错误答案．
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件
可以是（ ）
A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC=BD
【考点】L9：菱形的判定．
菁优网版权所有
【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作
出选择即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，
∴平行四边形ABCD不是，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴四边形ABCD是矩形，不是菱形．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理
有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
6．已知⊙O 的半径r =6，⊙O 的半径为r ，圆心距O O =3，如果⊙O 与⊙O 有交
1 1 2 2 1 2 1 2
点，那么r 的取值范围是（ ）
2
A．r ≥3 B．r ≤9 C．3＜r ＜9 D．3≤r ≤9
2 2 2 2
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
菁优网版权所有
第7页（共24页）【分析】由⊙O 的半径r =6，⊙O 的半径为r ，圆心距O O =3，根据两圆位置关系
1 1 2 2 1 2
与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系，可求得内切时，r 的值，继而求得答案．
2
【解答】解：∵⊙O 的半径r =6，⊙O 的半径为r ，圆心距O O =3，
1 1 2 2 1 2
∴若⊙O 与⊙O 内切，则r =3或r =9，
1 2 2 2
∵⊙O 与⊙O 有交点，
1 2
∴r 的取值范围是：3≤r ≤9．
2 2
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
二、填空题
7．因式分解：2a2﹣3a= a （ 2a﹣3 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
菁优网版权所有
【分析】直接找出公因式a，提取公因式得出答案．
【解答】解：2a2﹣3a=a（2a﹣3）．
故答案为：a（2a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．函数 的定义域是 x ≠ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
菁优网版权所有
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x﹣
1≠0，解可得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意，有x﹣1≠0，
解可得x≠1．
故答案为x≠1．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．
9．计算：2（ ﹣ ）+3 = ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】先去括号，然后进行向量的加减即可．
【解答】解：2（ ﹣ ）+3 =2 ﹣2 +3 =2 + ．
故答案为：2 + ．
第8页（共24页）【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．
10．关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是
m ≤ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范
围即可．
【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜
0 方 ⇔ 程没有实数根是本题的关键． ⇔
⇔
11．不等式组： 的解集为 x ＞ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣ x≤0，得：x≥0，
解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
则不等式组的解集为：x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的
抛物线的解析式为 y = （ x + 3 ） 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【专题】46：几何变换．
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），再根
第9页（共24页）据点平移的规律得到点（0，﹣2）平移后所得对应点的坐标为（﹣3，0），然后根
据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向左平移3个单位
长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣3，0），所以平移后的
抛物线的解析式为y=（x+3）2．
故答案为y=（x+3）2．
【点评】本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a
不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线
上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的
顶点坐标，即可求出解析式．
13．反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，2），A（x ，y ），B（x ，y ）是图象上另两点，
1 1 2 2
其中x ＜x ＜0，则y 、y 的大小关系是 y ＜ y ．
1 2 1 2 1 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】先代入点（﹣1，2）求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，
再根据x ＜x ＜0判断出A（x ，y ）、B（x ，y ）所在的象限，根据此函数的增减性
1 2 1 1 2 2
即可解答．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，2），
∴k=﹣2，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x ＜x ＜0，
1 2
∴A（x ，y ）、B（x ，y ）两点均位于第二象限，
1 1 2 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：y ＜y ．
1 2
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质
是解答此题的关键．
14．用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于y
的整式方程，那么这个整式方程是 y 2 + y﹣3=0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
菁优网版权所有
第10页（共24页）【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，设 =y，则 = ，代入分式方程，整理可得整式方程．
【解答】解：由题意，设 =y，则 = ，
∴原方程化为：y﹣ +1=0，
∴整理得：y2+y﹣3=0．
故答案为y2+y﹣3=0．
【点评】本题考查用换元法将分式方程化为整式方程，用换元法解一些复杂的分
式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，在解方程时能
够使问题简单化．
15．某服装厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有2件
不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为 19.6 万件．
【考点】V5：用样本估计总体．
菁优网版权所有
【分析】抽取的100件进行质检，发现其中有2件不合格，那么合格的有98件，由
此即可求出这类产品的合格率是98%，然后利用样本估计总体的思想，即可知
道合格率是98%，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数．
【解答】解：∵某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，
发现其中有2件不合格，
∴合格的有98件，
∴合格率为98÷100=98%，
∴估计该厂这20万件产品中合格品约为20×98%=19.6万件．
故答案为：19.6．
【点评】此题主要考查了样本估计总体的思想，关键是利用样本的合格率去估计
总体的合格率．
16．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是
．
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【分析】由从1到10的十个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式
第11页（共24页）求解即可求得答案．
【解答】解：∵从1到10的十个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，
∴随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
17．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分
率为x，那么根据题意可列关于x的方程是 28 9 （ 1﹣ x ） 2 =256 ．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
菁优网版权所有
【专题】123：增长率问题．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照
增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次
降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，
即方程为289（1﹣x）2=256．
故答案为：289（1﹣x）2=256．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a
（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的
增长率．
18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E是AB上一点，将
△BCE沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE= ．
【考点】LH：梯形；PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】如图作DM⊥BC于M，先证明四边形ABMD是矩形，在RT△DMC中求出
第12页（共24页）DM，再在△AED中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图作DM⊥BC于M．
∵∠A=∠B=∠DMB=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AD=BM=2，AB=DM，
∵BC=CD=5，
在RT△DMC中，∵CM=BC﹣BM=3，CD=5，
∴DM=AB= = =4，
设BE=DE=x，
在RT△AED中，∵AE2+AD2=ED2，
∴（4﹣x）2+22=x2，
∴x= ，
∴BE= ，
故答案为 ．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是
添加辅助线，利用勾股定理解决问题，学会转化的思想，把问题转化为方程解
决，属于中考常考题型．
三、解答题
19．计算：（ ）﹣2 +（π﹣3.14）0+ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出
第13页（共24页）算式的值是多少即可．
【解答】解：（ ）﹣2 +（π﹣3.14）0+
=9﹣（ ﹣1）+1+ ×2
=9 +1+1+
=11．
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，
再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到
有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指
数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为
正指数．
（3）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
20．解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
菁优网版权所有
【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一
个方程，即可组成方程组，即可求解．
【解答】解：由（2）得（x﹣y）（x﹣2y）=0．
∴x﹣y=0或x﹣2y=0．（4分）
原方程组可化为 （4分）
解这两个方程组，得原方程组的解为 （2分）
另解：由（1）得x=12﹣2y．（3）（2分）
第14页（共24页）把（3）代入（2），得（12﹣2y）2﹣3（12﹣2y）y+2y2=0．（2分）
整理，得y2﹣7y+12=0．（2分）
解得y =4，y =3．（2分）
1 2
分别代入（3），得x =4，x =6．（1分）
1 2
∴原方程组的解为 （1分）
【点评】本题主要考查了高次方程组的解法，解决的基本思想是降次．
21．已知气温的华氏度数y是摄氏度数x的一次函数，如图所示是一个家用温度
表的表盘，其左边为摄氏温度的刻度和度数（单位：℃），右边为华氏温度的刻
度和度数（单位：℉），观察发现表示﹣40℃与﹣40℉的刻度线恰好对齐（左一
条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？
【考点】FH：一次函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，根据给定两组数据得出关于k和
b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）将y=104带入（1）得出的函数关系式中，得出关于x的一元一次方程，解方程
即可得出结论．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
由已知得： ，
第15页（共24页）解得： ．
故y关于x的函数关系式为y= x+32．
（2）令y=104，则有 x+32=104，
解得：x=40．
故当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为40℃．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及用待定系数法求函数解析式，解题的关
键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）将y=104代入函数解析式．本题属
于基础题，难度不大，只要掌握了待定系数法求函数解析式的方法即可解决该
题型题目．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于D，O为AD上一点，以O为圆
心，OA为半径的圆交AB于G，交BC于E、F．且AG=AD．
（1）求EF的长；
（2）求tan∠BDG的值．
【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直
角三角形．
菁优网版权所有
【分析】（1）连接AF，GE，根据等腰三角形的性质得到BD=CD= BC=6，由勾股定
理得到AG=AD= =8，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（2）作GH⊥BC于H，推出AD∥GH，由相似三角形的性质得到 ，根
据三角形函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AF，GE，
第16页（共24页）∵AD⊥BC，AB=AC，圆心在AD上，
∴BD=CD= BC=6，ED=FD，
∴BE=CF，
∴AG=AD= =8，BG=AB﹣AD=2，
设BE=CF=x，则BF=BC﹣BE=12﹣x，
∵四边形AGEF内接于⊙O，
∴∠BEG=∠BAF，∠BGE=∠BFA，
∴△BEG∽△BAF，
∴ ，
∴x（12﹣x）=20，
∴x=2，x=10（不合题意舍去），
∴EF=BC﹣2x=8；
（2）作GH⊥BC于H，
∵D⊥BC，GH⊥BC，
∴AD∥GH，
∴△BGH∽△BAD，
∴ ，
∴tan∠BDG═ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角函数的定义，勾
股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．
（1）求证：∠CAD=∠ECB；
第17页（共24页）（2）点F是AC的中点，连结DF，求证：BD2=FC•BE．
【考点】KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）由三线合一定理可证得∠BAD=∠CAD，由 CE⊥AB，得到
∠ECB=∠BAD，由等量代换可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，∠B=∠ACD，根据直角三角形斜边上的中
线定理证得 FD=FC，BD=ED，于是有∠B=∠BED=∠ACD=∠CDF，从而证得
△BDE∽△CFD，由相似三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB=∠BAD=90°﹣∠B，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠B=∠ACD，
∵CE⊥AB，
∴BD=FD，
∵F是AC的中点，
∴FD=FC，
∴∠B=∠BED，
∴∠B=∠BED=∠ACD=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，
第18页（共24页）∴BD•CD=BE•FC，
∴BD2=FC•BE．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判
定和性质，能证得△BDE∽△CFD是解决问题的关键．
24．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x
轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）由一次函数的解析式求出A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标求出
b、c即可确定二次函数解析式；
（2）根据二次函数的解析式求出P点坐标，然后计算三角形APC的面积；
（3）分两种情况讨论：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．
【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，
∴A（5，0），C（0，5），
∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B，
∴b=4，c=5，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x+5．
（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴P（2，9），
过点P作PD∥y轴交AC于点D，如图，
第19页（共24页）则D（2，3），
∴ =15；
（3）①若△ABC∽△AOQ，如图，
此时，OQ∥BC，
由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：y=5x+5，
∴OQ的解析式为：y=5x，
由 解得： ，
∴Q（ ， ）；
②若△ABC∽△AQO，如图，
第20页（共24页）此时， ，
∵AB=6，AO=5，AC= ，
∴AQ=3 ，
∴Q（2，3）．
综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q（ ， ）或Q（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定
系数法求二次函数解析式，铅垂高法求三角形面积、相似三角形的判定与性质
难度中等．分类讨论思想的应用是解答（3）问的关键．
25．已知，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，
tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在
射线FE和线段CD上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关
于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．
【考点】LO：四边形综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）过A作AH⊥BC，于是得到AH=CD=6，解直角三角形即可得到结论；
第21页（共24页）（2）过M作MP⊥CD于P，MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，解
直角三角形求得MK=2x=PC，NP=y﹣2x，MP=CK=5﹣x=QD，于是得到AQ=8﹣（5
﹣x）=3+x，QM=6﹣2x，推出△AMQ∽△PMN，根据相似三角形的性质列方程即
可得到结论；
（3）①当M在线段EF上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到QM=MP，列
方程得到6﹣2x=5﹣x，解方程即可得到结论；②当M在FE的延长线上时，根据
已知条件得到△AQM≌△MNH，由全等三角形的性质得到AQ=MH，由（2）知
FK=x，CK=5﹣x=MH，MK=2x=CH，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC，
∴AH=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴ ，
∴BH=3，
∴CH=AD=8，
∴AE= ，
∴CF=5；
（2）过M作MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，在Rt△FMK中，
FM•cos∠EFC=FK=x，
∵∠EFC=∠B，
∴tan∠EFC=2，
∴MK=2x=PC，NP=y﹣2x，MP=CK=5﹣x=QD
，∴AQ=8﹣（5﹣x）=3+x，QM=6﹣2x，
∵∠AMN=90°，
∵∠AMQ=∠PMN，∠AQM=∠MPN=90°，
∴△AMQ∽△PMN，
∴ ，
第22页（共24页）解得：y= （0≤x≤1）；
（3）①当M在线段EF上时，
∵AM=MN，△AMQ≌△NMP，
∴△AMQ≌△NMP，
∴QM=MP，
∴6﹣2x=5﹣x，
∴x=1，
∴FM= ，
②当M在FE的延长线上时，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMQ+∠NMH=∠NMH+∠MNH=90°，
∴∠AMQ=∠MNH，
在△AMQ与△NMH中， ，
∴△AQM≌△MNH，
∴AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5﹣x=MH，MK=2x，=CH，
∴AQ=DH=2x﹣6，∴2x﹣6=5﹣x，∴ ，
∴FM= = ，
第23页（共24页）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函
数的定义，求函数的解析式，证明△AQM≌△MNH是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:20:06；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第24页（共24页）
