文档内容
2016 年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，
80016000用科学记数法表示是（ ）
A．8.0016×106 B．8.0016×107 C．8.0016×108 D．8.0016×109
2．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2=a8 B．（a4）2=a6
C．（ab）2=a2b2 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．（4分）下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（ ）
A．折线图 B．扇形图
C．条形图 D．频数分布直方图
4．（4分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）
A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高
B．等边三角形的面积与它的边长
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．长方形的长确定，它的面积与宽
5．（4分）如图，已知l ∥l ∥l ，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是（ ）
1 2 3
A．BC：EF=1：1 B．BC：AB=1：2 C．AD：CF=2：3 D．BE：CF=2：3
6．（4分）如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的
边长最大不能超过（ ）
A．2cm B．2 cm C．4cm D．4 Cm
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）分解因式：ma2﹣mb2= ．
8．（4分）方程 =x的根是 ．
第1页（共27页）9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2+x+a﹣ =0有两个相等的实数根，那么a的值等于
．
11．（4分）函数y= 的定义域是 ．
12．（4分）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时
飞机离控制点之间的距离是 米．
13．（4分）一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口
袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么
两次摸出小球的数字的和为素数的概率是 ．
14．（4分）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果
，那么 = ．（用 表示）
15．（4分）如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数
据中，中位数是 ．
16．（4分）已知点A（x ，y ）和点B（x ，y ）在反比例函数y= 的图象上，如果当0
1 1 2 2
＜x ＜x ，可得y ＜y ，那么k ．（填“＞”、“=”、“”＜）
1 2 1 2
第2页（共27页）17．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于
点G，如果BE=5，BF=3，那么FG：EF的比值是 ．
18．（4分）如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折
痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的
△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，
BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为 ．
二、解答题：（本大题共7题，满分78）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC
上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值．
22．（10分）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施
条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米
的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．
以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的
第3页（共27页）车速太快了，平均每小时比我快 20千米，比我少用 30分钟就行驶完了全
程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有
超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？
23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD
平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．
（1）求证：四边形ABFD是菱形；
（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y= +bx+c的图象与y
轴交于点A，与双曲线y= 有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线
l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，
求出点D坐标；如果不存在，说明理由．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA= ，点D是边AC上一点，
AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边
AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．
第4页（共27页）（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；
（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定
义域；
（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G
与圆E可能产生的各种位置关系．
第5页（共27页）2016 年上海市普陀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，
80016000用科学记数法表示是（ ）
A．8.0016×106 B．8.0016×107 C．8.0016×108 D．8.0016×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】数据＞10时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数．
【解答】解：80016000=8.0016×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2=a8 B．（a4）2=a6
C．（ab）2=a2b2 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
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【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，即可解答．
【解答】解：A、a4•a2=a6，故错误；
B、（a4）2=a8，故错误；
C、（ab）2=a2b2，正确；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，解决本
题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式．
3．（4分）下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（ ）
A．折线图 B．扇形图
C．条形图 D．频数分布直方图
第6页（共27页）【考点】VE：统计图的选择．
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【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所
占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事
物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【解答】解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，
故选：A．
【点评】本题考查了统计图的选择，利用统计图的特点选择是解题关键．
4．（4分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）
A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高
B．等边三角形的面积与它的边长
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．长方形的长确定，它的面积与宽
【考点】F2：正比例函数的定义．
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【分析】先列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义回答即可．
【解答】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，故A错误；
B、设等边三角形的边长为a，则面积S= = ，故B错误；
C、周长=2倍的长+2倍的宽，故C错误；
D、长方形的面积=长×宽，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据题意列出函数关系是解题的
关键．
5．（4分）如图，已知l ∥l ∥l ，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是（ ）
1 2 3
A．BC：EF=1：1 B．BC：AB=1：2 C．AD：CF=2：3 D．BE：CF=2：3
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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第7页（共27页）【分析】由平行线分线段成比例定理得出 = = ，由比例的性质得出 = ，即
可得出结论．
【解答】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ = = = ，
∴ = ，
∴BC：AB=1：2；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比
例定理得出 = 是解决问题的关键．
6．（4分）如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的
边长最大不能超过（ ）
A．2cm B．2 cm C．4cm D．4 Cm
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为8cm的圆内接正六边形的
边长．
【解答】解：已知圆内接半径r为4cm，
则OB=4cm，
∴BD=OB•sin30°=4× =2（cm）．
则BC=2×2=4（cm）．
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的计算，所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含
义，即求圆内接正六边形的边长．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
第8页（共27页）7．（4分）分解因式：ma2﹣mb2= m （ a + b ）（ a﹣b ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ma2﹣mb2，
=m（a2﹣b2），
=m（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利
用平方差公式进行因式分解．
8．（4分）方程 =x的根是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2=x2，解此一元二次方程得
到x =2，x =﹣1，把它们分别代入原方程得到x =﹣1是原方程的增根，由此得
1 2 2
到原方程的根为x=2．
【解答】解：方程两边平方得，x+2=x2，
解方程x2﹣x﹣2=0得x =2，x =﹣1，
1 2
经检验x =﹣1是原方程的增根，
2
所以原方程的根为x=2．
故答案为x=2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
9．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得x＜2，
解②得x＞﹣1，
第9页（共27页）则不等式组的解集是：﹣1＜x＜2．
故答案是：﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
10．（4分）如果关于x的方程x2+x+a﹣ =0有两个相等的实数根，那么a的值等于
2 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据方程x2+x+a﹣ =0有两个相等的实数根可得△=12﹣4（a﹣ ）=0，求
出a的值即可．
【解答】解：∵关于的方程x2+x+a﹣ =0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴12﹣4（a﹣ ）=0，
∴a=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：△=0 方程有两个相等的实数根，此题难度不
大．
⇔
11．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 0 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，4x≠0，
解得x≠0．
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第10页（共27页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时
飞机离控制点之间的距离是 2400 米．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】由题意得，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，用正弦函数计算即可．
【解答】解：根据题意，飞机到控制点的距离是 =2400（米）．
故答案是：2400．
【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三
角形．
13．（4分）一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口
袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么
两次摸出小球的数字的和为素数的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次
摸出小球的数字的和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次摸出小球的数字的和为素数的有2种情况，
∴两次摸出小球的数字的和为素数的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
14．（4分）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果
第11页（共27页），那么 = ﹣ ．（用 表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半表示出 、 ，
然后再利用三角形法则求解即可．
【解答】解：∵点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴ = = ， = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的
一半，熟练掌握向量的三角形法则是解题的关键．
15．（4分）如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数
据中，中位数是 2 2 ．
【考点】VC：条形统计图；W4：中位数．
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【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：这组数据一共有30个，中位数是第15和第16个数据平均数，
由图可知，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22，
故答案为：22．
第12页（共27页）【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
16．（4分）已知点A（x ，y ）和点B（x ，y ）在反比例函数y= 的图象上，如果当0
1 1 2 2
＜x ＜x ，可得y ＜y ，那么k ＜ ．（填“＞”、“=”、“”＜）
1 2 1 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】31：数形结合．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y = ，y = ，则 ＜ ，然
1 2
后利用0＜x ＜x 可确定k的符号．
1 2
【解答】解：∵点A（x ，y ）和点B（x ，y ）在反比例函数y= 的图象上，
1 1 2 2
∴y = ，y = ，
1 2
∵y ＜y ，
1 2
∴ ＜ ，
而0＜x ＜x ，
1 2
∴k＜0．
故答案为＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
17．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于
点G，如果BE=5，BF=3，那么FG：EF的比值是 ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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第13页（共27页）【分析】作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，由正方形的性质得出∠ABD=∠CBD=45°，
由角平分线的性质得出GM=GN，得出 = ，即可得出结果．
【解答】解：作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴GM=GN，
∴ = ，
∴ = = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质、三角形的面积关系、角平分线的性质；熟练掌
握正方形的性质，通过作辅助线得出三角形的面积关系是解决问题的关键．
18．（4分）如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折
痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的
△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，
BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为 （ ， 2 ） ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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第14页（共27页）【专题】23：新定义．
【分析】如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=ED=x，在RT△ABE中
利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x，则AE=4﹣x，
在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，
∴（4﹣x）2+22=x2，
∴x= ，
∴BE=ED= ，AE=AD﹣ED= ，
∴点E坐标（ ，2）．
故答案为（ ，2）．
【点评】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚什
么时候△BFE面积最大，属于中考常考题型．
二、解答题：（本大题共7题，满分78）
19．（10分）计算： ．
【考点】6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先对式子进行化简，然后再合并同类项即可解答本题．
【解答】解：
=﹣9+2﹣ +9﹣
=﹣9+2﹣
第15页（共27页）=﹣9+2﹣
=1﹣2 ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数，解题
的关键是明确它们各自的计算方法、算出相应的数值，需要注意的是仔细认真
计算．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】将方程②因式分解后可得x=y或x=2y，分别代入方程①可得方程组的两
组解．
【解答】解： ，
由②可得：（x﹣y）（x﹣2y）=0，即x﹣y=0或x﹣2y=0，
可得x=y或x=2y，
将x=y代入①，得：2y=5，y= ，
故 ；
将x=2y代入①，得：3y=5，y= ，
则x= ，
故 ；
综上， 或 ．
【点评】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次
第16页（共27页）数较高可通过分解等方法降幂求解即可．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC
上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由AP2=AD•AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC，由相似三角形的性质得到
∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三
角函数的定义可得结论，
【解答】解：∵AP2=AD•AB，AB=AC，
∴AP2=AD•AC，
，
∵∠PAD=∠CAP，
∴△ADP∽△APC，
∴∠APD=∠ACB=∠ABC，
作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE= ×24=12，
∴AE= =5
∴sin∠APD=sin∠ABC= ，
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，
正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施
第17页（共27页）条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米
的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．
以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的
车速太快了，平均每小时比我快 20千米，比我少用 30分钟就行驶完了全
程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有
超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】由题意可知：王师傅行驶全程的时间﹣李师傅行驶全程的时间=0.5小时，
根据等量关系列方程解答即可．
【解答】解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则王师傅的平均速度为（x﹣20）千
米/时．
根据题意，得： ﹣ =0.5，
解得：x =100，x =﹣80，
1 2
经检验，x =100，x =﹣80都是所列方程的根，但x =﹣80不符合题意，舍去．
1 2 2
则x=100，
李师傅的最大时速是：100×（1+15%）=115千米/时＜120千米/时．
答：李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法．
【点评】此题考查分式方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的
等量关系是解决问题的关键．
23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD
平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．
（1）求证：四边形ABFD是菱形；
（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．
【考点】LA：菱形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
第18页（共27页）【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形，由角平分线的定义得
到∠ABD=∠DBC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，等量代换得到
∠ADB=∠ABD，证得AB=AD，即可得到结论；
（2）连接AF，OF，根据菱形的性质得到BD垂直平分AF，线段垂直平分线的性质得
到AO=OF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠FAC，推出△ABC∽△EOF，根据
相似三角形的性质得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABFD是菱形；
（2）连接AF，OF，
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，
∴∠CEF=∠BAC=90°，
∵四边形ABFD是菱形，
∴BD垂直平分AF，
∵AB⊥AC，
∴∠OAF+∠AOB=∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠ABD，
∵BD垂直平分AF，
∴AO=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠FOE=2∠FAO=2∠ABD=∠ABC，
∴△ABC∽△EOF，
第19页（共27页）∴ ，
∴AC•OE=AB•EF．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y= +bx+c的图象与y
轴交于点A，与双曲线y= 有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线
l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，
求出点D坐标；如果不存在，说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先求得点A与点B的坐标，然后依据待定系数法可求得抛物线的解
析式；
（2）先求得抛物线的对称轴为x=﹣1，依据点B与点C关于x=﹣1对称，可求得点
C的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）①当CD∥AB时，AC=BC，故点D不存在；②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜
第20页（共27页）AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D 点，依据点
1
A与D 关于x=﹣1对称可求得点D 的坐标；③如图2所示：BD∥AC时，过点C
1 1
作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D E⊥AC．先依据AAS证
2
明△AMC≌△CBF，从而可求得 AF=CE=4，于是得到 D B=2，然后再证明
2
BHD ∽△AMC，从而可求得BH= ，HD = ，于是可求得点D 的坐标．
2 2 2
【解答】解：（1）∵将x=4代入y= 得：y=2，
∴B（4，2）．
∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6，
∴A（0，﹣6）．
∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y= + ﹣6．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣1．
∴点B关于x=﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得： ，解得：k=﹣ ，b=﹣6，
∴直线AC的解析式为y= ﹣6．
（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2），
∴BC=10．
∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2），
∴AC= =10．
∴AC=BC．
∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形．
第21页（共27页）②如图1所示：
当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与
点D 点，A与D 关于x=﹣1对称，
1 1
∴D （﹣2，﹣6）．
1
③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作
BF⊥AC，D E⊥AC．
2
∵CB∥AM，
∴∠BCA=∠CAM．
在△AMC和△CBF中，
，
∴△AMC≌△CBF．
∴CF=AM=6．
∴AF=4．
∵梯形ABD C是等腰梯形，
2
第22页（共27页）∴CE=AF=4．
∴D B=EF=2．
2
∵BD ∥AC，
2
∴∠D BH=∠BCA．
2
∵∠BCA=∠CAM，
∴∠D BH=∠CAM．
2
又∵∠M=∠D HB，
2
∴BHD ∽△AMC．
2
∴ ．
∵BD =2，
2
∴BH= ，HD = ，
2
∴D （ ， ）．
2
综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣6）或D （ ， ）．
2
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、相似三角形的
性质和判定、等腰梯形的性质，求得BD =2是解题的关键．
2
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA= ，点D是边AC上一点，
AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边
AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．
（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；
（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定
义域；
（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G
与圆E可能产生的各种位置关系．
第23页（共27页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；MJ：圆与圆的位置关系；
SO：相似形综合题；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）由于ED=EA，因此点E在线段AD的垂直平分线上，因而线段AD的垂
直平分线与线段AB的交点即为圆心E（如图1），然后只需解Rt△EHA就可解
决问题；
（2）如图2，易证△GCF∽△FHE，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）由于点G在射线BC上，故需分点G在线段BC上（如图2、图3），点G在线段
BC的延长线上（如图4），然后只需求出CG和GE就可解决问题．
【解答】解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1，
点E即为所求作．
在Rt△EHA中，AH= AD=4，tanA= ，
∴EH=AH•tanA=4× =3，AE= =5．
∴圆E的半径长为5；
（2）当点G的边BC上时，如图2所示．
∵∠C=90°，FG⊥EF，EH⊥AC，
∴∠C=∠EHF=90°，∠CFG=∠FEH=90°﹣∠EFH，
∴△GCF∽△FHE，
第24页（共27页）∴ = ，
∴ = ，
∴y=﹣ x2+6x﹣ （4≤x＜14）；
（3）①当点G在BC上时，
Ⅰ．当∠FGE=∠CGF时，
过点E作EN⊥BC于N，如图2，
∵∠C=∠GFE=90°，
∴△GCF∽△GFE，
∴ = ．
∵△GCF∽△FHE，
∴ = ，
∴ = ，
∴FC=FH= CH= （14﹣4）=5，
∴x=AF=5+4=9，
∴y=CG= ，
∴r =GC= ，r =5．
G E
∴GN= ﹣3= ，EN=CH=10，
∴EG= = ，
∴r ﹣r ＜GE＜r +r ，
G E G E
∴⊙E与⊙G相交；
Ⅱ．当∠FGE=∠CFG时，如图3，
第25页（共27页）则有GE∥AC，
∵∠C=∠AHE=90°，∴CG∥EH，
∴四边形CGEH是矩形，
∴r =CG=EH=3，GE=CH=10，
G
∴GE＞r +r ，
E G
∴⊙E与⊙G外离；
②当点G在BC延长线上时，设GE交AC于M，如图4，
∵∠EHF=∠GCF=90°，∠GFC=∠HEF=90°﹣∠HFE，
∴△EHF∽△FCG，
∴ = ，
∴ = ，
∴y= （x﹣4）（x﹣14）．
∵∠FGE=∠CFG，∠FGE+∠MEF=90°，∠GFM+∠MFE=90°，
∴MG=MF，∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF，∴MG=ME．
在△GCM和△EHM中，
第26页（共27页）∴△GCM≌△EHM，
∴CG=HE=3，CM=MH=5，
∴r =3，EG=2GM=2 ，
G
∴GE＞r +r ，
G E
∴⊙E与⊙G外离．
综上所述：当△EFG与△FCG相似时，⊙E与⊙G相交或外离．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆
与圆的位置关系、三角函数的定义、勾股定理等知识，正确进行分类是解决第
（3）小题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:19:16；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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