文档内容
2016 年上海市崇明县中考数学一模试卷
一.选择题
1．（4分）已知 = ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的
新的抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式
中一定正确的是（ ）
A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB
C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB
5．（4分）已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是（
）
A．内切 B．外切 C．相交 D．内含
6．（4分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现
沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一
张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
第1页（共30页）A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二.填空题
7．（4分）化简： = ．
8．（4分）如果在比例1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离为2.4厘米，那
么A、B两地的实际距离为 千米．
9．（4分）抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，那么a的取值范围是 ．
10．（4分）一斜面的坡度i=1：0.75，一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，
那么这个物体升高了 米．
11．（4分）如果一个正多边形的一个外角是 36°，那么该正多边形的边数为
．
12．（4分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=8，CD=6，那么OE=
．
13．（4分）如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙
的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6
米，则甲、乙同学相距 米．
14．（4分）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t
的值是 ．
15．（4分）如图， ▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
第2页（共30页）CD=2DE．若△DEF的面积为1，则 ▱ABCD的面积为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD
于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为 ．
17．（4分）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如
图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形
称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC的长为 ．
18．（4分）如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折
叠，使点A落在边BC上的点D处，那么 的值为 ．
三.解答题
19．（10分）计算： ﹣cot30°．
20．（10分）已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且DE=3EC，AC与BE交于
点F；
第3页（共30页）（1）如果 ， ，那么请用 、 来表示 ；
（2）在原图中求作向量 在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所
作图中表示结论的向量）
21．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、
1 2
F， ，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
22．（10分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段
MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点
C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，
∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
23．（12分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；
（1）求证：△ACD∽△CBD；
第4页（共30页）（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点
E，求证：CD2=DE•DG．
24．（12分）如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC=4OA；
（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；
（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于
点M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．
25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重
合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交
AE于点H；
（1）求证：△ABH∽△ECM；
（2）设BE=x， ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．
第5页（共30页）第6页（共30页）2016 年上海市崇明县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．（4分）已知 = ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据 = ，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．
【解答】解：∵ = ，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式= = ．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，根据 = ，正确设出未知数是本题的关键．
2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：在直角△ABC中，AC= = =4，
则sinB= = ．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关
键．
3．（4分）将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的
第7页（共30页）新的抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵
坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（2，﹣3），
所以，所得图象的解析式为y=（x﹣2）2﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下
减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式
中一定正确的是（ ）
A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB
C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，而∠A公共，由此可以
得到△ABC∽△AED，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，
而∠A公共，
∴△ABC∽△AED，
∴AB：AE=AC：AD，
∴AB•AD=AC•AE．
故选：A．
第8页（共30页）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是证明两个三角形相似
即可解决问题．
5．（4分）已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是（
）
A．内切 B．外切 C．相交 D．内含
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】先计算两圆的半径之差，然后根据圆和圆的位置关系的判定方法可确定
这两圆的位置关系．
【解答】解：∵5﹣3=2＞1，
即圆心距小于两半径之差，
∴这两圆内含．
故选：D．
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、
r，：当两圆外离 d＞R+r；两圆外切 d=R+r；两圆相交 R﹣r＜d＜R+r
（R≥r）；两圆内
⇔
切 d=R﹣r（R＞r）；
⇔
两圆内含 d＜R﹣r（ ⇔R＞r）．
6．（4分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现
⇔ ⇔
沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一
张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽
求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是
3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
第9页（共30页）则 ，解得x=3，
所以另一段长为18﹣3=15，
因为15÷3=5，所以是第5张．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由
相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
二.填空题
7．（4分）化简： = ﹣ ﹣ 7 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【解答】解： =2 ﹣4 ﹣3 ﹣3 =﹣ ﹣7 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此
题的关键．
8．（4分）如果在比例1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离为2.4厘米，那
么A、B两地的实际距离为 2 4 千米．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
【解答】解：根据题意，2.4÷ =2400000厘米=24千米．
即实际距离是24千米．
故答案为：24．
【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够
灵活运用，同时要注意单位的转换．
9．（4分）抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，那么a的取值范围是 a ＜ ﹣ 2
．
【考点】H1：二次函数的定义；H3：二次函数的性质．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a
第10页（共30页）的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，
∴a+2＜0，
得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向
下，则二次项系数就小于0．
10．（4分）一斜面的坡度i=1：0.75，一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，
那么这个物体升高了 1 6 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据一斜面的坡度i=1：0.75，可以设出一物体由斜面底部沿斜面向前推进
了20米时对应的竖直高度和水平距离，然后根据勾股定理可以解答此题．
【解答】解：设一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米时，对应的竖直高度为
x，则此时的水平距离为0.75x，
根据勾股定理，得x2+（0.75x）2=202
解得x =16，x =﹣16（舍去），
1 2
即一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，此时这个物体升高了16米．
故答案为：16．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么
是坡度，坡度是竖直高度与水平距离的比值．
11．（4分）如果一个正多边形的一个外角是36°，那么该正多边形的边数为 1 0
．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】利用外角和360°除以外角的度数36°可得正多边形的边数．
【解答】解：360÷36=10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形外角和为360°．
12．（4分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=8，CD=6，那么OE=
．
第11页（共30页）【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，在△OEC中，根据勾股定理求出OE即可．
【解答】解：连接OC．如图所示：
∵AB是圆O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD=3，OC=OB= AB=4，
在△OCE中，由勾股定理得：OE= = = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理；关键是构造直角三角形，求出CE的长，
用的数学思想是方程思想，把OE当作一个未知数，题目较好．
13．（4分）如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙
的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6
米，则甲、乙同学相距 1 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似
列出比例式解答．
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴ ，
第12页（共30页）∴ ，
解得：x=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形
相似，运用相似比即可解答．
14．（4分）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t
的值是 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；T7：解直角三角形．
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【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据正切等于对边比邻边列式求解即可．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB=t，OB=3，
又∵tanα= = = ，
∴t= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，过点A作x轴的垂线，构造出直角三角
形是利用正切列式的关键，需要熟记正切=对边：邻边．
15．（4分）如图， ▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
第13页（共30页）CD=2DE．若△DEF的面积为1，则 ▱ABCD的面积为 1 2 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】求出CE=3DE，AB=2DE，求出 = ， = ，根据平行四边形的性质得出
AB∥CD，AD∥BC，推出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，求出 =（ ）2= ，
=（ ）2= ，求出△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，得出四边形
BCDF的面积是8，即可得出平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵CD=2DE，
∴CE=3DE，AB=2DE，
∴ = ， = ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∴ =（ ）2= ， =（ ）2= ，
∵△DEF的面积为1，
∴△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，
∴四边形BCDF的面积是9﹣1=8，
∴平行四边形ABCD的面积是8+4=12，
第14页（共30页）故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相
似三角形的面积比等于相似比的平方．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD
于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为 ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；LB：矩形的性质；
M4：圆心角、弧、弦的关系；T7：解直角三角形．
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【分析】连接 CE 交 BF 于 H，连接 BE，根据矩形的性质求出 AB=CD=3，
AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定
理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．
【解答】解：连接CE交BF于H，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，
由勾股定理得：AE= =4，DE=5﹣4=1，
由勾股定理得：CE= = ，
由垂径定理得：CH=EH= CE= ，
在Rt△BHC中，由勾股定理得：BH= = ，
第15页（共30页）所以tan∠FBC= = = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，能正
确作出辅助线并构造出直角三角形是解此题的关键．
17．（4分）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如
图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形
称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC的长为 2 ．
【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．
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【专题】11：计算题；552：三角形．
【分析】根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF= AB=2，再由勾股定理得到结
果．
【解答】解：如图，连接EF，
∵AF、BE是中线，
∴EF是△CAB的中位线，
可得：EF= ×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴ = = = ，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
第16页（共30页）∴AP=2，PB=2 ，
∴PF=1，PE= ，
在Rt△APE中，
∴AE= ，
∴AC=2 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三
角形的判定与性质是解题关键．
18．（4分）如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折
叠，使点A落在边BC上的点D处，那么 的值为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性
质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明
AM：AN的值．
【解答】解：∵BD：DC=1：3，
∴设BD=a，则CD=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM=DM，AN=DN，
第17页（共30页）∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，
即AM：AN=5：7，
故答案为 ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性
质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位
置变化，对应边和对应角相等．
三.解答题
19．（10分）计算： ﹣cot30°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式= ﹣
= ﹣
=
=2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且DE=3EC，AC与BE交于
点F；
（1）如果 ， ，那么请用 、 来表示 ；
（2）在原图中求作向量 在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所
作图中表示结论的向量）
第18页（共30页）【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形法则，易得
再由三角形法则，可求得 ，又由DE=3EC，CD∥AB，根据平行线分线段成比例
定理，即可得 ，继而求得答案；
（2）首先过点F作FM∥AD，FN∥AB，根据平行四边形法则即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，CD∥AB且CD=AB，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵DE=3EC，
∴DC=4EC，
又∵AB=CD，
∴AB=4EC，
∵CD∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过点F作FM∥AD，FN∥AB，则 ， 分别是向量 在 、 方向上的
分向量．
第19页（共30页）【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边
形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
21．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、
1 2
F， ，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出 ，即可求出AB
的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分
线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∴ ，
∵AC=14，∴AB=4，
∴BC=14﹣4=10；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
第20页（共30页）又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴ ，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成
比例求出BH是解决问题的关键．
22．（10分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段
MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点
C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，
∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
【考点】KU：勾股定理的应用．
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【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速
度，进而得出答案．
第21页（共30页）【解答】解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200米，
∴CH=BC•sin60°=200× =100 （米），
BH=BC•cos60°=100（米），
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100 米，
∴AB=100 ﹣100≈73（m），
∵60千米/小时= m/s，
∴ =14.6（m/s）＜ ≈16.7（m/s），
∴此车没有超速．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是
解题关键．
23．（12分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点
E，求证：CD2=DE•DG．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第22页（共30页）【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC=∠CDB=90°，根据余角的性质得到
∠ACD=∠B，由于∠ADC=∠CDB，即可得到结论；
（2）根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是
得到CD2=AD•BD，根据AF⊥BG，GD⊥AB，证得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出
△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
又∵∠ADC=∠CDB，
∴△ACD∽△CBD；
（2）∵AF⊥BG，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠GBA=90°，
∵∠GDB=90°，
∴∠G+∠GBA=90°，
∴∠G=∠FAB，
又∵∠ADE=∠GDB=90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴ ，
∴AD•BD=DE•DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2=AD•BD，
∴CD2=DE•DG．
第23页（共30页）【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似
三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC=4OA；
（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；
（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于
点M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据OA与OC的关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解
析式；
（2）根据锐角三角函数，可得PH的长，根据相似三角形的性质，可得MC的长，根
据三角形的面积，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵C（0，4），O（0，0），
∴OC=4．
∵OC=4OA，
∴OA=1．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴A（﹣1，0）．
设这条抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，4）
∴ ，
第24页（共30页）解得 ，
∴这条抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4，
它的顶点坐标为（1， ）；
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H．
∵P点在x轴的正半轴上，
∴设P（x，0）．
∵A（﹣1，0），
∴PA=x+1．
∵在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2
又∵OA=1，OC=4，
∴AC= = = ，
∵∠AOC=90°，
∴sin∠CAO= = =
∵∠PHA=90°，
∴sin∠CAO= = =
∴PH= ．
∵PM∥BC，
第25页（共30页）∴ =
∵B（3，0），P（x，0）
①点P在点B的左侧时，BP=3﹣x
∴ = ，
∴CM= ．
∵S =2，
△PCM
∴ CM•PH=2，
∴ • • =2．
解得x=1．
∴P（1，0）；
②点P在点B的右侧时，BP=x﹣3
∴ = ，
∴CM= ，
∵S =2，
△PCM
∴ CM•PH=2，
∴ • • =2．
解得x =1+2 ，x =1﹣2 （不合题意，舍去）
1 2
∴P（ ，0）．
综上所述，P的坐标为（1，0）或（ ，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用锐角三
角函数得出PH的长是解题关键，又利用相似三角形的性质得出CM的长，利
用三角形的面积得出关于x的方程．
25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重
合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交
第26页（共30页）AE于点H；
（1）求证：△ABH∽△ECM；
（2）设BE=x， ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题；55D：图形的相似．
【分析】（1）由矩形的四个角为直角，得到∠ABC为直角，再由BG垂直于AC，AE
垂直于EF，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用
外角性质得到另一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）延长BG，交AD于点K，利用两角相等的三角形相似得到三角形ABK与三角形
ABC相似，由相似得比例求出AK的长，由AK与BE平行，得到三角形AHK与三
角形BHE相似，表示出EH，由第一问的结论，利用相似三角形对应边成比例表
示出 ，即可确定出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；
（3）当△BHE为等腰三角形时，分三种情况考虑：①当BH=BE时，利用等腰三角形
的性质，角平分线定义及锐角三角函数定义求出BE的长；②当HB=HE时，利用
等腰三角形的性质及锐角三角函数定义求出BE的长；③当EB=EH时，利用等
腰三角形的性质及勾股定理求出BE的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠ABG+∠CBG=90°，
∵EF⊥AE，BG⊥AC，
∴∠AEF=∠BGA=90°，
∴∠AEF=∠ABC，∠ACB+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠ACB，
第27页（共30页）∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，即∠AEF+∠CEF=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠ABG=∠ACB，
∴△ABH∽△ECM；
（2）解：延长BG交AD于点K，
∵∠ABG=∠ACB，
又∵在矩形ABCD中，∠BAK=∠ABC=90°，
∴△ABK∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
∴AK= ，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，且BE=x，
∴ = = ，
∴EH= •AH，
∵△ABH∽△ECM，
∴ = = ，
∵ =y，
∴y= = • = • = （0＜x＜8）；
（3）解：当△BHE为等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当BH=BE时，则有∠BHE=∠BEH，
∵∠BHE=∠AHG，
第28页（共30页）∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ABC=∠BGA=90°，
∴∠BEH+∠BAE=∠AHG+∠EAM=90°，
∴∠BAE=∠EAM，即AE为∠BAC的平分线，
过点E作EQ⊥AC，垂足为Q，如图2所示，
则EQ=EB=x，CE=8﹣x，
∵sin∠ACB= = = ，
∴x=3，即BE=3；
②当HB=HE时，则有∠HBE=∠HEB，
∵∠ABC=∠BGC=90°，
∴∠BAE+∠HEB=∠BCG+∠HBE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
∴tan∠BAE=tan∠BCA= = ，
∴x= ，即BE= ；
③当EB=EH时，则有∠EHB=∠EBH，
又∵∠EHB=∠AHG，
∴∠AHG=∠EBH，
∵∠BGA=∠BGC=90°，
∴∠CAE+∠AHG=∠BCG+∠EBH=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
∴EA=EC=8﹣x，
∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即62+x2=（8﹣x）2，
解得：x= ，即BE= ，
第29页（共30页）综上所述，当△BHE是等腰三角形时，BE的长为3或 或 ．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，相似三角形的判定
与性质，平行线等分线段定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及等腰三角形
的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:17:50；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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