文档内容
2016 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题
1．（3分）下列等式成立的是（ ）
A． =±2 B． =π C． D．|a+b|=a+b
2．（3分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．2x=m B．x2=m C． =m D． =m
3．（3分）下列函数中，图象经过第二象限的是（ ）
A．y=2x B．y= C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形 D．等腰梯形
5．（3分）某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数
是（ ）
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 1 4 2 6 3
A．2 B．3 C．8 D．9
6．（3分）已知圆O是正n边形A A …A 的外接圆，半径长为18，如果弧A A 的长
1 2 n 1 2
为π，那么边数n为（ ）
A．5 B．10 C．36 D．72
二、填空题
7．（3分）计算： = ．
8．（3分）写出 的一个有理化因式： ．
9．（3分）如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的
值是 ．
10．（3分）函数y= +x的定义域是 ．
11．（3分）如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=
．
第1页（共27页）12．（3分）在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽
取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标
那么所得点落在第一象限的概率为 ．
13．（3分）在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如
果 ，那么 = （用 表示）．
14．（3分）某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上
方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度
i=1：m，那么m= ．
15．（3分）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行
了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中 m的值是
．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函
数y= （ k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为
．
17．（3分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，
r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是 ．
第2页（共27页）18．（3分）如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其
中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好
是对角线BD的中点，那么 的值是 ．
三、解答题
19．计算： ．
20．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，
点D是线段BM的中点．
（1）求证： ；
（2）求∠NCD的余切值．
22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M
走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间
x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．
（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内
的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．
第3页（共27页）23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸
片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并
展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF为正方形；
（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．
24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为
D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．
（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；
（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；
（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB= ∠ABD，求△ABG的面积．
25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2 ，点D为弧AC
上一点，联结DC（如图）
（1）求BC的长；
（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；
第4页（共27页）（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．
第5页（共27页）2016 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列等式成立的是（ ）
A． =±2 B． =π C． D．|a+b|=a+b
【考点】15：绝对值；2C：实数的运算．
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【专题】17：推理填空题；511：实数．
【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可．
B：分别把 、π化成小数，判断出它们的大小关系即可．
C：根据8=23，可得 = ，据此判断即可．
D：①当a+b是正有理数时，a+b的绝对值是它本身a+b；②当a+b是负有理数时，
a+b的绝对值是它的相反数﹣（a+b）；③当a+b是零时，a+b的绝对值是零．
【解答】解：∵ =2，
∴选项A不正确；
∵ ≈3.142857，π≈3.1415927，
∴ ≠π，
∴选项B不正确；
∵8=23，
∴ = ，
∴选项C正确；
当a+b是正有理数时，|a+b|=a+b；
第6页（共27页）当a+b是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）；
当a+b是零时，|a+b|=0；
∴选项D不正确．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，
再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到
有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对
值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（3分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．2x=m B．x2=m C． =m D． =m
【考点】85：一元一次方程的解；AA：根的判别式；AG：无理方程；B2：分式方程的
解．
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【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点
分别对每一项进行判断即可．
【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；
B．x2=m，当m＜0时，无解；
C. =m，当m=0或﹣ 时无解；
D. =m，当m＜0时，无解；
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关
键是灵活运用有关知识点进行判断．
3．（3分）下列函数中，图象经过第二象限的是（ ）
A．y=2x B．y= C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2
【考点】F5：一次函数的性质；F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质；H3：
二次函数的性质．
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第7页（共27页）【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次
函数的性质进行解答．
【解答】解：A、∵y=2x的系数2＞0，
∴函数图象过一三象限，故本选项错误；
B、∵y= 中，2＞0，
∴函数图象过一、三象限，故本选项错误；
C、在y=x﹣2中，k=1＞0，b=﹣2＜0，
则函数过一三四象限，故本选项错误；
D、∵y=x2﹣2开口向上，
对称轴是y轴，且函数图象过（0，﹣2）点，
则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一
次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形 D．等腰梯形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴
对称图形的特点是解题的关键．
5．（3分）某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数
是（ ）
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 1 4 2 6 3
第8页（共27页）A．2 B．3 C．8 D．9
【考点】W4：中位数．
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【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间
两数的平均数即可．
【解答】解：∵共16次射击，
∴中位数是第8和第9的平均数，分别为9环、9环，
∴中位数为9环，
故选：D．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
6．（3分）已知圆O是正n边形A A …A 的外接圆，半径长为18，如果弧A A 的长
1 2 n 1 2
为π，那么边数n为（ ）
A．5 B．10 C．36 D．72
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利
用360度除以x即可得到．
【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，
根据题意得： =π，
解得：x=10．
则n= =36．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度
数是关键．
二、填空题
7．（3分）计算： = ﹣ 1 ．
【考点】6B：分式的加减法．
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【分析】把原式化为 ﹣ ，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．
第9页（共27页）【解答】解：原式= ﹣
=
=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分
子相加减．
8．（3分）写出 的一个有理化因式： + b ．
【考点】76：分母有理化．
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【分析】根据这种式子的特点： ﹣b和 +b的互为有理化因式解答即可．
【解答】解： 的一个有理化因式： +b；
故答案为： +b．
【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分
母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
9．（3分）如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的
值是 4 ．
【考点】A1：一元二次方程的定义；AA：根的判别式．
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【分析】根据方程 mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣
4ac=0，列出m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且m≠0，
解得m=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
10．（3分）⇔函数y= +x的定义域是 x ≠ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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第10页（共27页）【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．（3分）如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m= 4
．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到
把点（0，﹣m）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平
移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，然后把原点坐标代入可求出m的值．
【解答】解：函数y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移2个单位
后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2
﹣m，
把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m得4﹣m=0，解得m=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
12．（3分）在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽
取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标
那么所得点落在第一象限的概率为 ．
【考点】D1：点的坐标；X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得
第11页（共27页）点落在第一象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，所得点落在第一象限的有4种情况，
∴所得点落在第一象限的概率为： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
13．（3分）在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如
果 ，那么 = ﹣ （用 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，由AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出 与 ，再利
用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2，
∴AM= AB，AN= AC，
∵ ，
∴ = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
第12页（共27页）【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．
14．（3分）某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上
方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度
i=1：m，那么m= ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的
水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．
【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为
x米，
根据勾股定理，得x2+52=132，
解得，x=12（舍去负值），
故该斜坡坡度i=5：12=1：m．
所以m= ．
故答案为：m= ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度
的定义．
15．（3分）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行
了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是 0.05
．
第13页（共27页）【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】利用1减去其它组的频率即可求得．
【解答】解：由题意可得组距为2，
则8﹣10小时对应的频率为：0.075×2=0.15，
所以0﹣2小时对应的频率为：1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.15=0.1，
所以m= =0.05
故答案是：0.05．
【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是1是关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函
数y= （k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为
y= ， y = （ 0 ＜ k ≤ 4 ）（答案不唯一） ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】26：开放型．
【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上
点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．
【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，
第14页（共27页）∴B点坐标为（2，2），
当函数y= （k≠0）过B点时，k=2×2=4，
∴满足条件的一个反比例函数解析式为y= ．
故答案为：y= ，y= （0＜k≤4）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
17．（3分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，
r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是 ．
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】根据题意画出图形，当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直
线相切，再利用△ODE∽△BDA，求出答案．
【解答】解：如图所示：当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相
切，
则OE⊥BD，且OE=r，
∵∠OED=∠A=90°，
∠ADE=∠EDO，
∴△ODE∽△BDA，
∴ = ，
∵AB=3，AD=4，
∴BD=5，
∴ = ，
解得：EO= ．
故答案为： ．
第15页（共27页）【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正
确得出△ODE∽△BDA是解题关键．
18．（3分）如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其
中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好
是对角线BD的中点，那么 的值是 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE= BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判
断△BAE∽△BDA，利用相似比可得 = ，然后证明AD=BD即可得到 的值．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好
是对角线BD的中点，
∴∠1=∠2，BE= BD，AB=AE，
∵EF∥AG，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
第16页（共27页）∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，
∴AB2= BD2，
∴ = ，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DAB，
∴DB=DA，
∴ = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证
明△BAE∽△BDA，
三、解答题
19．计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算
求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
第17页（共27页）=1+9+6× ﹣| |
=10 ﹣2
=10
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，
再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到
有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指
数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为
正指数．
（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数
值．
20．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，
然后确定非负整数解即可．
【解答】解： ，
解①得x＜2，
解②得x＞﹣ ．
则不等式组的解集是：﹣ ＜x＜2．
则非负整数解是：0，1．
第18页（共27页）【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，
点D是线段BM的中点．
（1）求证： ；
（2）求∠NCD的余切值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN= AB，由等腰三角形
的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线
段BM的中点，
∴ = ， = ，
∴ ；
（2）过M作MN⊥AB于H，
∵点N分别是边AB的中点，
∴CN=AN= AB，
∴∠ACN=∠A=30°，
∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA，
∴设BC=2k，则MA= k，MH= k，HB=4k﹣ k= k，
第19页（共27页）∴cot∠NCD= = = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M
走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间
x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．
（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内
的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）由OA过原点O，故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，将点A的
坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出函数解析；
（2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均
速度为3am/min，结合路程=速度×时间，得出关于a的一元一次方程，解方程
可求出a的值，再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标．
【解答】解：（1）设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，
根据已知可得：600=20k，
解得：k=30．
故上山时y关于x的函数解析式为y=30x（0≤x≤20）．
（2）设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3a/
第20页（共27页）min，
由已知得：18×2a+8×3a=600，
解得：a=10．
故8×3a=8×3×10=240（米）．
答：点C的纵坐标为240．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方
程的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列
出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧
用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关系列出方程（或方程组）是关
键．
23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸
片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并
展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF为正方形；
（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．
【考点】LF：正方形的判定；LK：等腰梯形的判定；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED
是正方形；
（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在
正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等
腰梯形．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，
∴∠ADE=90°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，
∵四边形ADEF为矩形，
∴四边形ADEF为正方形；
第21页（共27页）（2）连接EG，DG，
∵BG∥CD，且BG=CD，
∴四边形BCDG是平行四边形．
∴CB=DG．
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．
∵G是AF的中点，
∴AG=FG．
在△DAG和△EFG中，
，
∴△DAG≌△EFG（SAS），
∴DG=EG，
∴EG=BC．
∴四边形GBCE是等腰梯形．
【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形 BCDG 是平行四边形与
△DAG≌△EFG是关键．
24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为
D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．
（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；
（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；
（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB= ∠ABD，求△ABG的面积．
第22页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距
离，即可；
（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确
定出交点坐标；
（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐
标轴的直线上的线段作为底）．
【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a，
∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），
∴AB=5，
∵AB=BD，
∴BD=5，
∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，
∴3﹣16a=BD=5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+x+3，
（2）∵B（4，0），A（0，3），
∴直线AB解析式为y=﹣ x+3，
∵DP∥AB，
设直线DP解析式为y=﹣ x+b，
第23页（共27页）∵D（4，5）在直线DP上，
∴b=8，
∴直线DP解析式为y=﹣ x+8，
由 ，
∴x =10，x =4（舍），
1 2
∴P（10， ）；
（3）如图
①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G ，
1
∵BG=AB，
∴∠BAG =∠BG A，
1 1
∴∠AGB= ∠ABD，
∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，
∴G （4，﹣5），
1
∴S = ×BG ×AH= ×5×4=10；
△ABG1 1
②以A为圆心，AG 为半径作圆，交BD延长线于G ，
1 2
过点A作AH⊥BD于H，
∴HG =HG =BH+BG =8，
2 1 1
第24页（共27页）∴BG =11，
2
∴G （4，11），
2
S = ×BG ×AH= ×11×4=22；
△ABG2 2
即：S =10或22，
△ABG
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的
方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的
常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．
25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2 ，点D为弧AC
上一点，联结DC（如图）
（1）求BC的长；
（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；
（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即
可解决问题．
（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据
tan∠HBG=2 ，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得 ，由
此即可解决．
【解答】解；（1）如图1中，连接AC，
第25页（共27页）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=2 ，
∴可以假设AC=2 k，BC=k，
∵AB=6，AB2=AC2+BC2，
∴36=8k2+k2，
∴k2=4，
∵k＞0，
∴k=2，BC=2．
（2）如图2中，
∵△MBC与△MOC相似，
∴∠MBC=∠MCO，
∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，
∴∠OBC=∠OCD，
∵OB=OC=OD，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，
在△OBC和△OCD中，
，
第26页（共27页）∴△OBC≌△OCD，
∴BC=CD=2．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．
∵BC∥OD，
∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，
∴BO=BG=3，
∵tan∠HBG= ，设GH=2 a，HB=a，
∵BG2=GH2+HB2，
∴8a2+a2=9，
∴a2=1，
∵a＞0，
∴a=1，HB=1，GH=2 ，OH=2，OG= =2 ，
∵GC∥DO，
∴ = ，
∴ON= × = ．
【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、
勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关
键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:19:23；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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