文档文本内容
2022 年上海市杨浦区中考数学三模试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共24分）
2的倒数是( )
1. 1 1
A. -2 B. - C. D. 2
2 2
在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
2. A. (-3,2) B. (3,-2) C. (2,-3) D. (-2,3)
下列运算中，正确的是( )
3. A. 2a+3a=5a2 B. 2a3 ⋅3a2=6a6
C. (-2a2 ) 3=-8a6 D. -4a2÷2a=2a
如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，那么下列判断中一定正确
4. 的是( )
A. a>0，b>0 B. a>0，b<0 C. a>0，c<0 D. a>0，c>0
一个事件的概率不可能是( )
5. A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 1.5
如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间)，半径长
6. 为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围
是( )
A. 5<OB<9 B. 4<OB<9 C. 3<OB<7 D. 2<OB<7
二、填空题（本大题共12小题，共48分）2
用代数式表示：a的5倍与b的 的差：______ ．
7
7.
分解因式：x2-2x-15= ______ ．
8.
已知函数f(x)=❑√x+6，那么f(3)=______．
9. 1 1
计算： + =______．
1+x 1-x
10.
已知△ABC中，设⃗AB=⃗a，⃗BC=⃗b，那么⃗AC=______.(结果用⃗a、⃗b表示)
11.
如果二次函数y=x2+2x-m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是______．
12. 已知二次函数图象的对称轴在y轴右侧，且在对称轴左侧函数y的值随x的值增大
13. 而增大．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式______.(只需写一个)
如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______ ．
14. 已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到弦AB的
15. 距离是______ ．
从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测
16. 器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看
到楼顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的
水平距离为6米，那么教学楼的高CB=______米．
(结果保留根号)
新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底
17. 三角形，这条边叫做等底．如图，△ABC是等高底三角形，BC是等底，点A关于
AC
直线BC的对称点是点A'，联结AA'，如果点B是△AA'C的重心，那么 的值
BC
是______．4
如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，cosB= ，点P是斜边AB上一点，
5
18.
过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平
行线交于点Q.如果点Q恰好在∠ABC的平分线上，那么AP的长为______．
三、计算题（本大题共2小题，共20分）
1
计算：|1-❑√2|+(π-2022) 0-2sin45°+(- ) -2 ．
2
19.
x 4
解方程：
- =1．
x+1 x2-1
20.
四、解答题（本大题共5小题，共58分）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点
21. E，交BC的延长线于点D．
(1)求∠D的正弦值；
(2)求点C到直线DE的距离．
A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入
22. 口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往
A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y(千
米)与行驶时间x(时)之间的关系如图．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为a(千米/时)并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度
a．
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B>∠A，点D、E分别是边AB、
23. AC的中点，CF//AB交DE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)联结BE，如果BE⊥CD，求证：AB=❑√2BE．
1
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+1与x轴、y轴分别交于A、B
3
24.
两点，点C在第二象限内，AC⊥AB，且AC=AB．
(1)求点C的坐标；
(2)将△ABC沿x轴向右平移，点A、B、C的对应点分别是点A'、B'、C'，如
k
果点B'、C'都落在双曲线y= 上，求k的值；
x
1 k
(3)如果直线y= x+1与第(2)小题中的双曲线y= 有两个公共点E和F，求
3 x
S 的值．
△OEF已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，过
25. 点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．
(1)如图1，联结CE，求证：CE=BE；
24 AD
(2)如图2，如果cot∠ABC= ，求 的值；
7 DE
(3)如果以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD
的交点F，且AC=4，求边AB的长．答案和解析
1.【答案】C
1
【解析】解：2的倒数 ，
2
故选：C．
求一个数的倒数就是把这个数的分子分母交换位置即可，互为倒数的两个数的乘积为1．
本题考查实数的性质，做此类型的题目关键在于对实数相关概念(如倒数等)的理解．
2.【答案】B
【解析】解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,-2)．
故选：B．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规
律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，
纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反
数．
3.【答案】C
【解析】解：A、2a+3a=5a，故A不符合题意；
B、2a3 ⋅3a2=6a5，故B不符合题意；
C、(-2a2
)
3=-8a6，故C符合题意；
D、-4a2÷2a=-2a，故D不符合题意；
故选：C．
根据整式的加法、乘法，除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解
答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：当抛物线开口向上，且抛物线与x轴无交点时，图象全部在x轴上方，
∴a>0，抛物线与y轴交点在x轴上方，即c>0，故选：D．
由次函数的图象全部在x轴的上方，可得抛物线开口向上，抛物线与y轴交点位置，从
而可判定a，c的符号．
本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5.【答案】D
【解析】解：一个事件的概率不可能是1.5，
故选：D．
根据概率的意义，概率公式，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连
接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3-2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5<OB<9，
故选：A．
作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，
OB的长，可得结论．
本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切
的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．
2
7.【答案】5a- b
72 2
【解析】解：a的5倍与b的 的差为：5a- b.
7 7
2
故答案为：5a- b.
7
2
用a的5倍减去b的 列式得出答案即可．
7
此题考查列代数式，理解语言叙述的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
8.【答案】(x-5)(x+3)
【解析】解：原式=(x-5)(x+3)．
故答案为：(x-5)(x+3)．
原式利用十字相乘法分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：∵f(x)=❑√x+6，
∴f(3)=❑√3+6=3．
故答案为：3．
根据已知直接将x=3代入求出答案．
此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键，本题属于基础题．
2
10.【答案】
1-x2
1-x+1+x 2
= =
【解析】解：原式 ．
1-x2 1-x2
分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如
果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
11.【答案】⃗a+⃗b⃗ ⃗ ⃗
【解析】解： ∵AC=AB+BC ，
⃗ ⃗ ⃗
∴AC=a+b ．
故答案为：⃗a+⃗b．
⃗ ⃗ ⃗
由 AC=AB+BC 可得出答案．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算是解答本题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：∵抛物线y=x2+2x-m+2的顶点在x轴上，
∴△=22-4×(-m+2)=0，即-4+4m=0，
解得m=1．
故答案是：1．
因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据△=0，即可求出m的
值．
此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：△>0时，图
象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有一个交点；△<0，图象与x轴无交点．
13.【答案】y=-x2+2x
【解析】解：根据题意，二次函数的解析式是y=-x2+2x，
故答案为：y=-x2+2x．
根据抛物线在对称轴的右侧，且在对称轴左侧函数y的值随x的值增大而增大，则a<0；
b
根据二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，- >0，则b>0，即可得到解析式．
2a
此题考查了二次函数的图象性质，能够根据变化规律确定a的符号，能够根据对称轴的
位置确定b的符号．
14.【答案】3【解析】解：设梯形的上底长为λ；
λ+7
由题意得： =5，
2
解得：λ=3，
故答案为3．
设出梯形的上底长，直接运用梯形的中位线定理列出关于上底λ的方程，求出λ即可解
决问题．
该题主要考查了梯形的中位线定理及其应用问题；应牢固掌握梯形的中位线定理并能
灵活运用．
15.【答案】❑√21
【解析】解：如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=4，
1 1
∴AD= AB= ×4=2，
2 2
在Rt△OBD中，
∵OA=5，AD=2，
∴OD=❑√OA2-AD2=❑√52-22=❑√21．
故答案为：❑√21．
根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出AD的长，在
Rt△OAD中，利用勾股定理及可求出OD的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此
题的关键．
16.【答案】(6+6❑√3)【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D．
则AD=6米，∠CAD=60°，∠DAB=45°，
CD CD
在Rt△ACD中，tan60°= = =❑√3，
AD 6
解得CD=6❑√3，
BD BD
在Rt△ABD中，tan45°= = =1，
AD 6
解得BD=6，
∴BC=CD+BD=(6+6❑√3)米．
故答案为：(6+6❑√3).
CD CD
过点A作AD⊥BC于点D.则AD=6米，在Rt△ACD中，tan60°= = =❑√3，
AD 6
BD BD
解得CD=6❑√3，在Rt△ABD中，tan45°= = =1，解得BD=6，由
AD 6
BC=CD+BD可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本
题的关键．
❑√13
17.【答案】
2【解析】解：延长CB与AA'交于点D，
∵点A关于直线BC的对称点是点A'，
∴AC=A'C，AD=A'D，AD⊥CD，
∵△ABC是等高底三角形，BC是等底，
∴AD=BC，
∵点B是△AA'C的重心，
2
∴AD=BC= CD，
3
设AD=BC=2x，则CD=3x，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√4x2+9x2=❑√13x，
AC ❑√13x ❑√13
∴ = =
BC 2x 2
❑√13
故答案为： ．
2
延长CB与AA'交于点D，根据轴对称性质得AC=A'C，AD=A'D，AD⊥CD，
再由△ABC是等高底三角形，BC是等底，得AD=BC，再根据三角形的重心定理得
2
AD=BC= CD，设AD=BC=2x，则CD=3x，由勾股定理用x表示AC，进而计
3AC
算 的值便可．
BC
本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性
质得出AD与CD的数量关系．
5
18.【答案】
3
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=8，
4
cosB= ，
5
BC
∴AB= =10，AC=❑√AB2-BC2=6，
cosB
∴PM⊥AB，
∴∠APM=90°=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△APM △ACB，
∽
AP PM AM
∴ = = ，
AC BC AB
设AP=3x，则PM=4x，AM=5x，
∴MC=6-5x，
∵MN//AB，
CM CN MN
∴ = = ，
CA CB AB
20 25
∴CN=8- x，MN=10- x，
3 3
∵BQ平分∠ABC，MN//AB，
∴∠QBN=∠BQN，
20
∴NQ=BN=BC-CN= x，
3
∵MN//AB，PQ//AC，
∴四边形APQM是平行四边形，
∴QM=AP=3x，20 29
∴MN=NQ+MQ= x+3x= x，
3 3
29 25
∴ x=10- x，
3 3
5
解得x= ，
9
5
∴AP=3x= ，
3
5
故答案为： ．
3
根据直角三角形的边角关系可求出AB，AC，再根据相似三角形，用含有AP的代数
式表示MC、NC、MN，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出BN=NQ，
进而列方程求出AP即可．
本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平
行四边形的性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问
题的前提，用含有AP的代数式表示MC、NC、MN是正确解答的关键．
❑√2
19.【答案】解：原式=❑√2-1+1-2× +4
2
=❑√2-1+1-❑√2+4
=4．
【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂
的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，
负整数指数幂的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
x 4
20.【答案】解： - =1
x+1 x2-1
方程两边同乘(x+1)(x-1)，
得，x(x-1)-4=(x+1)(x-1)
整理得，x=-3，
检验：当x=-3时，(x+1)(x-1)≠0，
x=-3是原方程的解．【解析】根据解分式方程的一般步骤计算．
本题考查的是分式方程的解法，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使
原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是
原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是
原分式方程的解．
21.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB=AC，BC=4，
1
∴BH= BC=2．
2
∵在△ABH中，∠BHA=90°，AB=6，
BH 2 1
∴sin∠BAH= = = ，
AB 6 3
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED=90°，BE=3，
∴∠BED=∠BHA，
又∵∠B=∠B，
∴∠BAH=∠D，
1
∴sin∠D=sin∠BAH= ，
3
1
即∠D的正弦值为 ；
3
(2)过点C作CM⊥DE于点M．
1
∵在△BED中，∠BED=90°，sin∠D= ，BE=3，
3
BE
∴BD= =9，
sin∠D
∴CD=BD-BC=9-4=5．CM 1
∵在△MCD中，∠CMD=90°，sin∠D= = ，
CD 3
1 5
∴CM= CD= ，
3 3
5
即点C到DE的距离为 ．
3
【解析】(1)过点A作AH⊥BC于点H.由等腰三角形三线合一的性质得出
1 BH 1
BH= BC=2.在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH= = ，根据三
2 AB 3
1
角形内角和定理求出∠BAH=∠D=90°-∠B，则sin∠D=sin∠BAH= ；
3
BE
(2)过点C作CM⊥DE于点M.解直角△BED，求出BD= =9，则
sin∠D
5 5
CD=BD-BC=5.再解直角△MCD，求出CM= ，即点C到DE的距离为 ．
3 3
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函
数的定义，准确作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y与x的函数解析式：y=kx+b(k≠0)，
将点(0,300)，(2,120)代入函数解析式，
{ b=300
得 ，
2k+b=120
{k=-90
解得 ，
b=300
∴y=-90x+300；
10
(2)当y=-90x+300=0时，x= ，
3
两车相遇时，-90x+300=60x，
解得x=2，
10 40
根据题意，得60×2+( + -2)a=300，
3 60解得a=90，
答：乙车变化后的速度a为90千米/时．
【解析】(1)待定系数法求解析式；
(2)先求出甲车从A到B所用时间，再求出两车的相遇时间，根据题意列方程，求解即
可．
本题考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，理解题意并根据题意建立方
程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE//BC，DE= BC，
2
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴DF⊥AC，
∵DE//BC，CF//AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，
1 1
∴EF=DF-DE=BC- CB= CB，
2 2
∴DE=EF，
∵AE=CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)如图，设DE=a，CE=b，则BC=2a，
∵BE⊥CD，∴∠COE=∠OCE+∠CEO=90°，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠DCE=∠CBE，
∵∠BCE=∠CED=90°，
∴△BCE △CED，
∽
CE BC b 2a
∴ = ，即 = ，
ED CE a b
∴b2=2a2，
由勾股定理得：CD2=a2+b2=3a2，
BE2=BC2+CE2=(2a) 2+b2=6a2，
∴BE2=2CD2，
1
∵AD=CD= AB，
2
∴AB=❑√2BE．
1
【解析】(1)先根据三角形的中位线定理可得：DE//BC，DE= BC，证明四边形
2
DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=EF，根据对角线互相平分且垂直
的四边形是菱形可得结论；
(2)如图，设DE=a，CE=b，则BC=2a，证明△BCE △CED，得b2=2a2，并结
合勾股定理可得结论． ∽
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线的性质，
直角三角形的性质，第(2)有难度，证明△BCE △CED是解题的关键．
∽24.【答案】解：(1)过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠CHA=90°，
∴∠C+∠CAH=90°，
∵CA⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAH+∠OAB=90°，
∴∠C=∠OAB，
∵AC=AB，
∴△CHA △AOB(AAS)，
∴CH=A≌O，AH=OB，
1
当y= x+1=0时，x=-3，
3
∴A(-3,0)，
∴OA=3，
1
当x=0时，y= x+1=1，
3
∴B(0,1)，∴OB=1，
∴CH=3，AH=1，
∴点C坐标为(-4,3)；
(2)设△ABC沿x轴向右平移距离为m，
则B'(m,1)，C'(-4+m,3)，
k
∵点B'、C'都落在双曲线y= 上，
x
∴m=3(-4+m)，
解得m=6，
∴点B'(6,1)，
∴k=6×1=6；
1
{y= x+1
3
(3)联立 ，
6
y=
x
{x=-6 {x=3
解得 或 ，
y=-1 y=2
∴点E坐标为(-6,-1)，点F坐标为(3,2)，
∴S =S +S
△OEF △OAF △OAE
1 1
= ×3×2+ ×3×1
2 2
9
= ．
2
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于点H，易证△CHA △AOB(AAS)，根据全等三角
形的性质可得点C坐标； ≌
(2)设△ABC沿x轴向右平移距离为m，则B'(m,1)，C'(-4+m,3)，根据点B'、C'
k
都落在双曲线y= 上，列方程求出m的值，进一步可求出k的值；
x
(3)联立直线解析式与反比例函数解析式可得点E和点F坐标，根据
S =S +S 可求出△OEF的面积．
△OEF △OAF △OAE
本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积等，本题综合性较强，构造全等三角形
是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：如图1，
延长BE，AC相交于点P，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠PAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠AEP=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE △APE(ASA)，
∴BE=E≌P，
1
∴BE= BP，
2
1
在Rt△BCF中，CE= BP，
2
∴CE=BE；
(2)解：如图2，
BC 24
在Rt△ABC中，cot∠ABC= = ，
AC 7
设AC=7x，则BC=24x，
根据勾股定理得，AB=25x，
过点D作DG⊥AB于G，
∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，
∴DG=DC，
1 1
AC⋅CD CD⋅AC
S 2 2
∴ △ACD= = ，
S 1 1
△ABD AB⋅DG BD⋅AC
2 2
CD AC
∴ = ，
BD ABCD 7x 7
∴ = =
BD 25x 25
CD 7
∴ = ，
BD+CD 25+7
7 7 21
∴CD= AC= ×24x= x，
32 32 4
75
∴BD= x，
4
35
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=❑√AC2+CD2= x，
4
∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD △BED，
∽
AD CD
∴ = ，
BD DE
75 21
x⋅ x
BD⋅CD 4 4 45
∴DE= = = x，
AD 35 4
x
4
35
x
AD 4 7
∴ = = ；
DE 45 9
x
4
(3)解：如备用图，
设∠CAD=x，则∠BAC=2x，
∵CM是Rt△ABC的斜边AB的中线，
∴CM=AM，
∴∠BAC=∠ACM=2x，
∴∠DFC=∠CAD+∠ACM=3x，
∵以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF=3x，∴∠ACM+DCF=2x+3x=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠BAC=36°，
AC 4
AB= = =4(❑√5-1)
在Rt△ABC中， cos36∘ ❑√5+1 ．
4
【注】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC，
❑√5+1
证明：cos36°= ，
4
证明：设AB=AC=m，BC=n，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°=∠A，
2
∴BD=AD，
∵∠BDC=180°-∠CBD=∠C=72°=∠C，
∴BD=CD=n，
∴AD=n，
∴CD=AC-BD=m-n．
∵∠A=∠CBD，
∵∠C=∠C，
∴△ABC △BDC，
∽
AC BC
∴ = ，
BC CD
m n
∴ = ，
n m-n
❑√5+1 ❑√5-1
∴m= n或m= n(舍去)，
2 2
1 1 ❑√5-1
过点B作BE⊥AC于E，则CE= CD= (m-n)= n，
2 2 4❑√5-1 3+❑√5
∴AE=AC-CE=m- n= n，
4 4
AE ❑√5+1
∴cosA=cos36°= = ．
AB 4
【解析】(1)延长BE，AC相交于点P，判断出△ABE △APE(ASA)，得出BE=EP，
≌
1
再判断出CE= BP，即可得出结论；(2)
2
设AC=7x，则BC=24x，AB=25x，过点D作DG⊥AB于G，利用面积法判断出
CD AC 21 75 35
= ，进而求出CD= x，BD= x，进而求出AD= x，再判断出
BD AB 4 4 4
45
△ACD △BED，得出DE= x，即可求出答案；(3)
4
∽
设∠CAD=x，则∠BAC=2x，进而求出∠DFC=3x，进而求出∠BAC=36°，即
可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，勾股定理，面积法，相似三角形的判
定和性质，作出辅助线是解本题的关键．
