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2019年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上
1．（4分）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是（ ）
A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b
2．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2﹣mx﹣1＝0 B．ax＝3 C． • ＝0 D． ＝
3．（4分）如果k＜0，b＞0，那么一次函数y＝kx+b的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
4．（4分）为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计
分析．在此问题中，样本是指（ ）
A．80
B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重
D．该校初三学生的体重
5．（4分）如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋
转角为 ，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（ ）
α
A．∠BAC＝ B．∠DAE＝ C．∠CFD＝ D．∠FDC＝
6．（4分）在下α列条件中，能够判定一α个四边形是平行四边形α的是（ ） α
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
第1页（共25页）D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（y3）2÷y5＝ ．
8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝ ．
9．（4分）方程x﹣1＝ 的解为： ．
10．（4分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例
函数y＝ 的图象没有公共点，那么k的取值范围是 ．
11．（4分）从﹣5，﹣ ，﹣ ，﹣1，0，2， 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概
π
率为 ．
12．（4分）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求
每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E F
类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他
人数 10 4 6 2
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
13．（4分）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，
已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意
的方程为： ．
14．（4分）如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，
如果设 ＝ ， ＝ ，用 ， 表示 ，那么 ＝ ．
15．（4分）正八边形的中心角为 度．
第2页（共25页）16．（4分）如图，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，将∠AOB沿直线MN翻折，设点O
落在点P处，如果当OM＝4，ON＝3时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为 ．
17．（4分）如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y＝ax+b和直线y＝bx+a称为一对“对偶直
线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为
（1，4）的一对“对偶直线”： ．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD＝
5，AE＝2，AF＝4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取
值范围是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +（ ）﹣3﹣（3 ）0﹣4cos30°+ ．
20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，求a、b的
值．
21．（10分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，DC⊥BC，且AD＝1，DC＝3，点P为边
AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当BQ的长为 时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系．
第3页（共25页）22．（10分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到
终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）
与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示．
（1）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求乙的步行速度；
（3）求乙比甲早几分钟到达终点？
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，
点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．
求证：（1）四边形FBGH是菱形；
（2）四边形ABCH是正方形．
24．（12分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x
轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线
OD交于点N．
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，求a的值．
第4页（共25页）25．（14分）已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC＝AO，点D为BC的中
点，
（1）如图1，连接AC、OD，设∠OAC＝ ，请用 表示∠AOD；
（2）如图2，当点B为 的中点时，求点αA、D之α间的距离：
（3）如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆
相切，求弦AE的长．
第5页（共25页）2019年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上
1．（4分）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是（ ）
A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b
【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此判断即可．
【解答】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|＝﹣a﹣b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌
握．
2．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2﹣mx﹣1＝0 B．ax＝3 C． • ＝0 D． ＝
【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判
断即可得．
【解答】解：A．x2﹣mx﹣1＝0中△＝m2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B．ax＝3中当a＝0时，方程无解，不符合题意；
C．由 知此方程组无解，不符合题意；
D． ＝ 有增根x＝1，此方程无解，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式
有意义的条件、分式方程的增根．
3．（4分）如果k＜0，b＞0，那么一次函数y＝kx+b的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
第6页（共25页）C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【分析】根据k、b的符号来求确定一次函数y＝kx+b的图象所经过的象限．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限．
又∵b＞0时，
∴一次函数y＝kx+b的图象与y轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理
解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．
k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b
＜0时，直线与y轴负半轴相交．
4．（4分）为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计
分析．在此问题中，样本是指（ ）
A．80
B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重
D．该校初三学生的体重
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中
所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样
本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集
数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样
本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的
大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．（4分）如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋
转角为 ，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（ ）
α
第7页（共25页）A．∠BAC＝ B．∠DAE＝ C．∠CFD＝ D．∠FDC＝
【分析】利用α旋转不变性即可解决问α题． α α
【解答】解：∵△DAE是由△BAC旋转得到，
∴∠BAC＝∠DAE＝ ，∠B＝∠D，
∵∠ACB＝∠DCF，α
∴∠CFD＝∠BAC＝ ，
故A，B，C正确， α
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常
考题型．
6．（4分）在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．
B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．
D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记
住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（y3）2÷y5＝ y ．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质
第8页（共25页）计算即可．
【解答】解：（y3）2÷y5，
＝y6÷y5，
＝y．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关
键．
8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝ （ a ﹣ b + 1 ）（ a ﹣ b ﹣ 1 ） ．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2
可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，
＝（a﹣b）2﹣1，
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题
前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
9．（4分）方程x﹣1＝ 的解为： 1 ．
【分析】两边平方解答即可．
【解答】解：原方程可化为：（x﹣1）2＝1﹣x，
解得：x ＝0，x ＝1，
1 2
经检验，x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点评】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答．
10．（4分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例
函数y＝ 的图象没有公共点，那么k的取值范围是 0 ＜ k ＜ 2 ．
【分析】先根据正比例函数y＝（k﹣2）x的函数值y随x的增大而减小，可知k﹣2＜0；再根
据它的图象与反比例函数y＝ 的图象没有公共点，说明反比例函数y＝ 的图象经过一、
三象限，k＞0，从而可以求出k的取值范围．
【解答】解：∵y＝（k﹣2）x的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹣2＜0
∴k＜2
第9页（共25页）而y＝（k﹣2）x的图象与反比例函数y＝ 的图象没有公共点，
∴k＞0
综合以上可知：0＜k＜2．
故答案为0＜k＜2．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的相关性质，清楚掌握函数中的k的意义是
解决本题的关键．
11．（4分）从﹣5，﹣ ，﹣ ，﹣1，0，2， 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概
π
率为 ．
【分析】从7个数中，找出负整数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：在﹣5，﹣ ，﹣ ，﹣1，0，2， 这七个数中，为负整数的有﹣5，﹣1，共2个
π
数，
则恰好为负整数的概率为 ；
故答案为 ．
【点评】本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能
事件的概率计算公式是关键．
12．（4分）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求
每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E F
类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他
人数 10 4 6 2
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 2 4 %．
【分析】依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人
第10页（共25页）数，进而得出最喜欢篮球的学生数以及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比．
【解答】解：∵被调查学生的总数为10÷20%＝50人，
∴最喜欢篮球的有50×32%＝16人，
则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比＝ ×100%＝24%，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大
小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同
总数之间的关系．
13．（4分）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，
已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意
的方程为： ＝ ．
【分析】设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据工作时间＝工作
总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于
x的分式方程．
【解答】解：∵甲平均每分钟打x个字，
∴乙平均每分钟打（x+20）个字，
根据题意得： ＝ ，
故答案为： ＝ ．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．（4分）如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，
如果设 ＝ ， ＝ ，用 ， 表示 ，那么 ＝ ﹣ ．
【分析】连接AG，延长AG交BC于F．首先证明DG＝GE，再利用三角形法则求出 即可
解决问题．
第11页（共25页）【解答】解：连接AG，延长AG交BC于F．
∵G是△ABC的重心，DE∥BC，
∴BF＝CF，
＝ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵BF＝CF，
∴DG＝GE，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ + ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ＝ ﹣ ，
故答案为 ﹣ ．
【点评】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
15．（4分）正八边形的中心角为 4 5 度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
16．（4分）如图，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，将∠AOB沿直线MN翻折，设点O
落在点P处，如果当OM＝4，ON＝3时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为 2
﹣ ．
第12页（共25页）【分析】由折叠的性质可得MN⊥OP，EO＝EP＝2，由勾股定理可求ME，NE的长，即可求
MN的长．
【解答】解：设MN与OP交于点E，
∵点O、P的距离为4，
∴OP＝4
∵折叠
∴MN⊥OP，EO＝EP＝2，
在Rt△OME中，ME＝ ＝2
在Rt△ONE中，NE＝ ＝
∴MN＝ME﹣NE＝2 ﹣
故答案为：2 ﹣
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
17．（4分）如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y＝ax+b和直线y＝bx+a称为一对“对偶直
线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为
（1，4）的一对“对偶直线”： 直线 y ＝ x + 3 和直线 y ＝ 3 x + 1 ．
【分析】设一对“对偶直线”为y＝ax+b和y＝bx+a，再把（1，4）代入得a+b＝4，然后取一
对a、b的值即可得到满足条件的一对“对偶直线”．
【解答】解：设一对“对偶直线”为y＝ax+b和y＝bx+a，
把（1，4）代入得a+b＝4，
设a＝1，b＝3，则满足条件的一对“对偶直线”为直线y＝x+3和直线y＝3x+1．
故答案为直线y＝x+3和直线y＝3x+1．
第13页（共25页）【点评】本题考查了两条直线的交点或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直
线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD＝
5，AE＝2，AF＝4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取
值范围是 ﹣ ＜ r ＜ + ．
【分析】连接EF，知EF是 O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是
⊙
AF的中点，据此可得GF＝ AF＝2，OG＝ AE＝1，继而求得OF＝ ＝ ，
OD＝ ＝ ，最后根据两圆的位置关系可得答案．
【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC＝90°，
则EF是 O的直径，
取EF的⊙中点O，连接OD，作OG⊥AF，
则点G是AF的中点，
∴GF＝ AF＝2，
∴OG是△AEF的中位数，
∴OG＝ AE＝1，
∴OF＝ ＝ ，OD＝ ＝ ，
∵圆D与圆O有两个公共点，
第14页（共25页）∴ ﹣ ＜r＜ + ，
故答案为： ﹣ ＜r＜ + ．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三
角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +（ ）﹣3﹣（3 ）0﹣4cos30°+ ．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式＝3+8﹣1﹣4× +2
＝10﹣2 +2
＝10．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二
次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运
用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，求a、b的
值．
【分析】把 代入二元一次方程组 得到关于a，b的方程组，经过整
理，得到关于b的一元二次方程，解之即可得到b的值，把b的值代入一个关于a，b的二
元一次方程，求出a的值，即可得到答案．
【解答】解：把 代入二元一次方程组 得：
，
由 得：a＝1+b，
把①a＝1+b代入 ，整理得：
b2+b﹣2＝0，
②
解得：b＝﹣2或b＝1，
第15页（共25页）把b＝﹣2代入 得：a+2＝1，
解得：a＝﹣1，①
把b＝1代入 得：
a﹣1＝1， ①
解得：a＝2，
即 或 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键．
21．（10分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，DC⊥BC，且AD＝1，DC＝3，点P为边
AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当BQ的长为 时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据矩形的性质得到CE＝AD＝1，AE＝CD＝3，根据勾
股定理即可得到结论；
（2）过P作PF⊥BQ于F，根据相似三角形的性质得到PB＝ ，得到PA＝AB﹣PB＝
，过P作PG⊥CD于G交AE于M，根据相似三角形的性质得到PM＝ ，根据切线的判
定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
则四边形AECD是矩形，
∴CE＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∵AB＝BC，
∴BE＝AB﹣1，
在Rt△ABE中，∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB2＝32+（AB﹣1）2，
第16页（共25页）解得：AB＝5；
（2）过P作PF⊥BQ于F，
∴BF＝ BQ＝ ，
∴△PBF∽△ABE，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴PB＝ ，
∴PA＝AB﹣PB＝ ，
过P作PG⊥CD于G交AE于M，
∴GM＝AD＝1，PG∴BC，
∴△APM∽△ABE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PM＝ ，
∴PG＝PM+MG＝ ＝PB，
∴圆P与直线DC相切．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到
第17页（共25页）终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）
与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示．
（1）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求乙的步行速度；
（3）求乙比甲早几分钟到达终点？
【分析】（1）根据图示，设线段AB的表达式为：y＝kx+b，把把（4，240），（16，0）代入得到
关于k，b的二元一次方程组，解之，即可得到答案，
（2）根据线段OA，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点B处追上甲，根据速度＝路程÷时
间，计算求值即可，
（3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，
分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
设线段AB的表达式为：y＝kx+b （4≤x≤16），
把（4，240），（16，0）代入得：
，
解得： ，
即线段AB的表达式为：y＝﹣20x+320 （4≤x≤16），
（2）又线段OA可知：甲的速度为： ＝60（米/分），
乙的步行速度为： ＝80（米/分），
答：乙的步行速度为80米/分，
（3）在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（16﹣4）×60＝960（米），
与终点的距离为：2400﹣960＝1440（米），
第18页（共25页）相遇后，到达终点甲所用的时间为： ＝24（分），
相遇后，到达终点乙所用的时间为： 18（分），
24﹣18＝6（分），
答：乙比甲早6分钟到达终点．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，
点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．
求证：（1）四边形FBGH是菱形；
（2）四边形ABCH是正方形．
【分析】（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，根据菱形的判定的判定可得四
边形FBGH是菱形；
（2）连结BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB＝OH，OF＝OG，
又AF＝CG，所以OA＝OC．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH
是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．
【解答】证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF＝FG＝GC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形，
连结BH，交AC于点O，
∴OF＝OG，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
第19页（共25页）∴BH⊥FG，
∴四边形FBGH是菱形；
（2）∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO＝HO，FO＝GO．
又∵AF＝FG＝GC，
∴AF+FO＝GC+GO，即：AO＝CO．
∴四边形ABCH是平行四边形．
∵AC⊥BH，AB＝BC，
∴四边形ABCH是正方形．
【点评】本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的
判定和性质是解题的关键．
24．（12分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x
轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线
OD交于点N．
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，求a的值．
【分析】（1）令x＝0，求得点A的坐标，根据抛物线的对称轴公式，求出点C的坐标，点A
第20页（共25页）与点D关于对称轴对称，求出点D的坐标．
（2）设BD的解析式，待定系数法求函数解析式，令y＝0，求得点M的坐标．
（3）根据∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN，可推出∠DBG＝45°，过D作DG垂直于
AN，再利用∠DAG的正切值列出等量关系，即可求出a的值．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝2，
∴A（0，2），
﹣ ＝﹣ ＝1，当x＝1时，y＝2﹣a，
∴B（1，2﹣a），C（1，0），
∵点A与点D关于对称轴对称，对称轴为直线x＝1，
∴D（2，2）．
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入点B、D，
，
解得 ，
∴y＝ax+2﹣2a，
令y＝0，解得x＝2﹣ ，
∴M（2﹣ ，0）．
（3）如图1所示，
∵∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN
∴∠NBD＝∠DOM＝45°，
作DG垂直AN于点G，设DG＝m，则BG＝m，
第21页（共25页）∴AB＝BD＝ m，
∵tan∠DAG＝ ＝ ＝ ﹣1，
∴ ＝tan∠DAG，
∵B（1，2﹣a），H（1，2）
∴BH＝﹣a，AH＝1，
即 ＝ ﹣1，
∴a＝1﹣ ．
【点评】此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，几何图形与二次函数结合
问题，考查了学生自己动手画图的能力．
25．（14分）已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC＝AO，点D为BC的中
点，
（1）如图1，连接AC、OD，设∠OAC＝ ，请用 表示∠AOD；
（2）如图2，当点B为 的中点时，求点αA、D之α间的距离：
（3）如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆
相切，求弦AE的长．
【分析】（1）连接OB、OC．首先证明OBC是等边三角形，根据∠AOD＝∠AOC﹣∠COD
计算即可．
（2）连接AB、OB、OC、OD．证明∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°，利用勾股定理计算即可．
（3）如图，作直线OD交 D于M，N．分两种情形：当AD＝OM＝ ﹣1时，以O为圆心，
AD为半径的圆与以BC⊙为直径的圆外切．当AD＝ON＝ +1时，以O为圆心，AD为半径
的圆与以BC为直径的圆内切，
【解答】解：（1）连接OB、OC．
∵OB＝OC＝OA＝BC
∴△OBC是等边三角形
第22页（共25页）∴∠BOC＝60°
∵D为BC中点
∴∠COD＝ ∠BOC＝30°
∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠OAC＝
∴∠AOC＝180°﹣∠OαAC﹣∠OCA＝180°﹣2
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝180°﹣2 ﹣30°α＝150°﹣2
α α
（2）连接AB、OB、OC、OD
∵B为 的中点
∴
∴AB＝BC
∵BC＝AO＝2
∴OA＝AB＝OB＝BC＝OC＝2
∴△AOB与△BOC是等边三角形
∴∠AOB＝∠BOC＝60°
∵D是BC中点
∴∠BOD＝ ∠BOC＝30°，BD＝ BC＝1
∴OD2＝OB2﹣BD2＝4﹣1＝3
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°
∴AD＝
第23页（共25页）（3）如图3中，作直线OD交 D于M，N．
⊙
由题意△OBC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，
∵BD＝CD＝1，
∴OD⊥BC，
∴OD＝ ，
当AD＝OM＝ ﹣1时，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆外切，
∵AD•DE＝BD•CD，
∴DE＝ ，
∴AE＝ ．
当AD＝ON＝ +1时，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆内切，
∵AD•DE＝BD•CD，
第24页（共25页）∴DE＝ ，
∴AE＝ ，
综上所述满足条件的AE的值为 或 ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相交弦定理，
勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用
分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
第25页（共25页）
