文档内容
四平市普通高中 2024-2025 学年度第一学期期中教学质量检测
高一数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求定义域问题，要保证式子有意义，分母不等于0，开偶次方被开方数不小于0.
【详解】因为 ，所以要使式子有意义，则
，解得 ，即 .
所以函数 的定义域是 .故A，C，D错误.
故选：B.的
2. 已知命题 ： ， ，则命题 否定为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题 的否定为 ， .
故选：B
3. 下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合奇偶函数的定义，根据常见函数的奇偶性逐项判断即可.
【详解】对于A，函数 的定义域为R，且 ，故 是奇函数；
对于B，函数 的定义域为 ，关于原点不对称， 是非奇非偶函数；
对于C，函数 的定义域为 ，且 ，故 是奇函数；
对于D，函数 的定义域为R， ， 是偶函数.
故选：D.
4. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集的定义可得 ，即可求解.
【详解】由 可得 ，若 ，则 ,故 ，故选：B
5. 函数 ， 的值域为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，得 ，再代入运算即可.
【详解】由 ，得 ，
所以 ．
故选：C.
6. 已知 为幂函数， 为常数，且 ，则函数 的图象经过的定点坐标为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合幂函数的性质计算即可得.
的
【详解】因为幂函数 图象过定点 ，即有 ，
所以 ，
即 的图象经过定点 .
故选：B.
7. 若不等式 的解集为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解即得.
【详解】由不等式 的解集为 ，得 是方程 的两个根，且 ，
于是 ，解得 ，由 ，得 或 ，因此 ，且当 时，
，
所以 .
故选：A
8. 已知函数 ， .若“ ， ，使得 成立”
为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】若“ ， ，使得 成立”则 ， .即
在 上恒成立，分离参数利用基本不等式求解 最小值即可.
【详解】当 ，有 .
， ，使得 成立，等价于 ， .
即 在 上恒成立，参变分离可得 .
当 ， ，当且仅当 时取等号，所以 ，故选:C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 在区间 上不具有单调性，则 的值可以是（ ）
A. 9 B. -1 C. -5 D. 0
【答案】BD
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到 ，即可得到答案.
【详解】由题意 的对称轴为 ，
由于 在区间 上不具有单调性，
故 ，解得 ，
所以AC错误，BD正确.
故选：BD.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断AC，利用特例法判断B，利用作差法判断D.【详解】对于A，可知 ，不等式 两侧同乘以 ，有 ，故A正确；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，由 ， 知 ， ，由不等式同向可加性的性质知C正确；
对于D，利用作差法知 ，由 ， ，
知 ， ，即 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 定义在 的函数 满足 ，且当 时， ，则（
）
A. 是奇函数 B. 在 上单调递增
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根
据选项C及函数单调性判断D.
【详解】对于A，令 ，可得 ，再令 ，可得 ，且函数定义域为
(−1,1)，所以函数为奇函数，故A正确；
x −x (1+x )(1-x )
对B，令 ，则 ， ，可得 1 2 +1= 1 2 >0，所以
1−x x 1−x x
1 2 1 2，
由函数性质可得 ，即 ，所以 在(−1,1)上单调递增，
故B正确；
对于C，令 ，可得 ，所以 ，即
，故C正确；
对D，因为函数为增函数，所以 ，由C可知 ，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合 ，则 的真子集的个数是_________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合 ，再求出其真子集个数.
【详解】依题意， ，所以 的真子集的个数是 .
为
故答案 ：3
13. 若 ， ，则 是 的______条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充
分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处）
【答案】既不充分也不必要
【解析】
【分析】先求得 ，可判断结论.【详解】∵ ，∴ .
∵ 既不能推出 ，也不能被 推出，
∴p是q的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要.
14. 已知 ，且 ，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】对条件中的式子进行转化得 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
由基本不等式得 ，
则 ，
解得 ，当且仅当 取等号.
所以 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 当 时，函数 ，图象经过点 ；当 时，函数 ，且图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即可求
出函数解析式；
（2）根据分段函数解析式计算可得.
【小问1详解】
依题意可得 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，
所以 ， ，
所以 .
16. 已知集合 ， 或 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.【答案】（1） 或 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案；
（2）根据充分不必要条件得 ⫋ ，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当 时，集合 ，
又 或 ，则 ，
或 ； .
【小问2详解】
若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，
⫋ ，则
解得 ，
故 的取值范围是 .
17. （1）已知 ， ，求 的取值范围．
（2）已知 ， 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可；
（2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参.【详解】（1）因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ．
（2）由 ，
则 ．
当且仅当 即 时取到最小值16．
若 恒成立，则 ．
18. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．
已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产
万件电子芯片需要投入的流动成本为 （单位：万元），当年产量不超过14万件时，
；当年产量超过14万件时， ．假设该公司每年生产的芯片都能
够被销售完．
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定
成本－流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】（1）
（2）公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况，分别求出函数解析式；（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
根据题意得，
当 时， ，
当 时， ，
故
【小问2详解】
当 时， ，且当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，
此时 ．
当 时， ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ，故当 时， 取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产 万件该芯片．
19. 对于函数 ， ，以及函数 ， ．若对任意的 ，总有
，那么称 可被 “替代”（通常 ）．
（1）试给出一个可以“替代”函数 的函数 ；（2）试判断 是否可被直线 ， “替代”．
【答案】（1）
（2）可以
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到 ，即可写出一个符合条件的 ；
（2）根据已知条件求出 的值域即可.
【小问1详解】
，根据定义 ，
可解得 ，
因而 就是满足不等式的一个函数；
【小问2详解】
，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
， 易知 在 单调递减，在 单调递增，当 时， ，
当 时， ，
，
，即
可以被直线 ， “替代”.
