文档内容
2019年上海市普陀区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1
2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（ ）
A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x
3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一
的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． ＝ D． ＝
4．（4分）已知 、 、 都是非零向量，如果 ＝2 ， ＝﹣2 ，那么下列说法中，错误的是（
）
A． ∥ B．| |＝| |
C． ＝0 D． 与 方向相反
5．（4分）已知 O 和 O ，其中 O 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么
1 2 1
两圆外切时⊙圆心距等⊙于（ ⊙）
A．1 B．4 C．5 D．8
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下
列四个说法中 ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ，正确的个数
① ② ③ ④
是（ ）
第1页（共25页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 的值是 ．
8．（4分）化简：3（ ）﹣2（ ）＝ ．
9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于 ．
10．（4分）将抛物线y＝ （x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移
后所得新抛物线的表达式是 ．
11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于 ．
12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那
么△A′B′C′最大边的长等于 ．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是 ．
14．（4分）正八边形的中心角为 度．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝ ，BC＝5，那么
DC的长等于 ．
16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝
2：3，EF＝6，那么CD的长等于 ．
第2页（共25页）17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y 、y 的两点A、B，如果
1 2
点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y y（填“＜”、“＝”或“＞”）
1 2
18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cosB＝ ，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻
折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣ ．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE
与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ ， ＝ （用向量 、 表示）
21．（10分）如图， O 和 O 相交于A、B两点，O O 与AB交于点C，O A的延长线交 O
1 2 1 2 2 1
于点D，点E为⊙AD的中⊙点，AE＝AC，联结OE． ⊙
（1）求证：O E＝O C；
1 1
（2）如果O O ＝10，O E＝6，求 O 的半径长．
1 2 1 2
⊙
第3页（共25页）22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，
坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，
在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线
上），求铁塔AB的高度．
（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝
AF•AB，∠DAF＝∠EAC．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求证： ＝ ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣
1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
第4页（共25页）（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；
（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．
25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个
动点．
（1）如图 ，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；
（2）如图①，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；
（3）在第（②2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．
第5页（共25页）2019年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中
等题型．
2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（ ）
A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x
【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据
函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．
【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当
x＝0时，y＝3x2﹣x＝0，
所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．
3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一
的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（ ）
第6页（共25页）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． ＝ D． ＝
【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，
A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
C、当 ＝ 时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
D、当 ＝ 时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形相似的判定： 有两个对应角相等的三角形相； 有两个
对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角①形相似； 三组对应边的比相等，②则两个三
角形相似． ③
4．（4分）已知 、 、 都是非零向量，如果 ＝2 ， ＝﹣2 ，那么下列说法中，错误的是（
）
A． ∥ B．| |＝| |
C． ＝0 D． 与 方向相反
【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．
【解答】解：A、因为 ＝2 ， ＝﹣2 ，所以 ∥ ，且 与 方向相反，故本选项说法正确；
B、因为 ＝2 ， ＝﹣2 ，所以| |＝| |＝|2 |，故选项说法正确；
C、因为 ＝2 ， ＝﹣2 ，所以 ∥ ，则 • ＝0，故本选项说法错误；
D、因为 ＝2 ， ＝﹣2 ，所以 ∥ ，且 与 方向相反，故本选项说法正确；
故选：C．
【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．
5．（4分）已知 O 和 O ，其中 O 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么
1 2 1
两圆外切时⊙圆心距等⊙于（ ⊙）
A．1 B．4 C．5 D．8
【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别
求出即可．
【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，
∴3﹣x＝2，
第7页（共25页）∴x＝1，
∴小圆半径为1，
这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径
之差，外切时，r+R＝d．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下
列四个说法中 ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ，正确的个数
① ② ③ ④
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到
△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．
【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，
∵DE∥BC，且DE经过重心G，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，故 正确；
①
∴ ＝ ，故 正确；
③
∵DG∥BF，
∴ ＝ ＝ ，故 错误；
②
∵△ADE∽△ABC， ＝ ，
第8页（共25页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，故 正确；
④
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关
键是知道相似三角形的对应边对应成比例．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 的值是 ．
【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x＝7a，则y＝2a，
那么 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．
8．（4分）化简：3（ ）﹣2（ ）＝ ．
【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．
【解答】解：3（ ）﹣2（ ）＝3 + ﹣2 +2 ＝（3﹣2） +（ +2） ＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．
第9页（共25页）9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于 1 ．
【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．
【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．
10．（4分）将抛物线y＝ （x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移
后所得新抛物线的表达式是 （ x + 1 ） 2 ﹣ 1 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝ （x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝ （x+3﹣
2）2﹣4＝ （x+1）2﹣4；
再向上平移3个单位为：y＝ （x+1）2﹣4+3，即y＝ （x+1）2﹣1．
故答案是：y＝ （x+1）2﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．
11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于 ﹣ 4 ．
【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．
【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，
∴抛物线对称轴为x＝﹣ ＝﹣ ，
∴﹣ ＝1，解得b＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝
ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣ ．
第10页（共25页）12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那
么△A′B′C′最大边的长等于 2 4 ．
【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出
△A′B′C′的最大边的长．
【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，
根据相似三角形的对应边的比相等，可得：
＝ ，
解得：x＝24，
∴△A′B′C′最大边的长等于24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是 ．
【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．代入数据直接计
算得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴∠A的正弦值sinA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比
斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
14．（4分）正八边形的中心角为 4 5 度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝ ，BC＝5，那么
DC的长等于 2 ．
第11页（共25页）【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝ CD，根据勾股定
理计算即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∵BD⊥DC，
∴∠C+∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴tanC＝ ＝ ，
∴BD＝ CD，
由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（ CD）2+CD2＝52，
解得，CD＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义
是解题的关键．
16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝
2：3，EF＝6，那么CD的长等于 1 5 ．
第12页（共25页）【分析】由△ABE∽△DCE，推出 ＝ ＝ ，可得 ＝ ，再证明△BEF∽△BCD，可
得 ＝ ＝ ，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴ ＝ ＝ ，
∵EF＝6，
∴CD＝15，
故答案为15．
【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y 、y 的两点A、B，如果
1 2
点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y ＜ y（填“＜”、“＝”或“＞”）
1 2
【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴
的远近可判断y 与y 的大小关系．
1 2
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），
∴抛物线开口向上，
∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，
∴y ＜y ．
1 2
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式
y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．
18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cosB＝ ，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻
第13页（共25页）折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝
．
【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，
BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到 ＝
＝ ＝ ，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，DF＝ AF＝2﹣ x，依据BD+DF+CF＝BC，
可得x的值，进而得出EF的长．
【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝8，cosB＝ ，
∴BH＝6＝CH，BC＝12，
由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，
又∵∠AFC＝∠DFE，
∴△AFC∽△DFE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，
∴DF＝ AF＝2﹣ x，
∵BD+DF+CF＝BC，
∴2+2﹣ x+4x＝12，
解得x＝ ，
∴EF＝ ，
第14页（共25页）故答案为： ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题
的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝4× +（ ）2﹣
＝2 + ﹣2（ + ）
＝ ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE
与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ + ， ＝ ﹣ ﹣ （用向量 、 表
示）
【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）利用三角形法则计算即可；
第15页（共25页）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ ＝ ＝3，
∴ ＝3，
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵ ＝ ，AC＝2AO，
∴ ＝2 ，
∵ ＝ + ＝ +2 ，EC＝ BC，
∴ ＝ + ，
∵AD∥BE，
∴ ＝ ＝ ，
∴BG＝ BD，
∵ ＝ + ＝ + ＝ + +2 ＝2 +2 ，
∴ ＝ （2 +2 ）＝ + ，
∴ ＝﹣ ﹣
故答案为 + ，﹣ ﹣ ．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）如图， O 和 O 相交于A、B两点，O O 与AB交于点C，O A的延长线交 O
1 2 1 2 2 1
于点D，点E为⊙AD的中⊙点，AE＝AC，联结OE． ⊙
（1）求证：O E＝O C；
1 1
（2）如果O O ＝10，O E＝6，求 O 的半径长．
1 2 1 2
⊙
第16页（共25页）【分析】（1）连接O A，根据垂径定理得到O E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O C⊥AB，
1 1 1
证明Rt△O EA≌Rt△O CA，根据全等三角形的性质证明结论；
1 1
（2）设 O 的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
2
【解答】⊙（1）证明：连接O
1
A，
∵点E为AD的中点，
∴O E⊥AD，
1
∵ O 和 O 相交于A、B两点，O O 与AB交于点C，
1 2 1 2
∴⊙O
1
C⊥A⊙B，
在Rt△O EA和Rt△O CA中，
1 1
，
∴Rt△O EA≌Rt△O CA（HL）
1 1
∴O E＝O C；
1 1
（2）解：设 O 的半径长为r，
2
∵O
1
E＝O
1
C＝⊙6，
∴O C＝10﹣6＝4，
2
在Rt△O EO 中，O E＝ ＝8，
1 2 2
则AC＝AE＝8﹣r，
在Rt△ACO 中，O A2＝AC2+O C2，即r2＝（8﹣r）2+42，
2 2 2
解得，r＝5，即 O 的半径长为5．
2
⊙
第17页（共25页）【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的
应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．
22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，
坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，
在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线
上），求铁塔AB的高度．
（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定
理得到EH＝5，DH＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，
则四边形EHGB是矩形，
∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，
∴设EH＝5x，DH＝12x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴（5x）2+（12x）2＝132，
∴x＝1，
∴EH＝5，DH＝12，
∵EB∥DC，
∴∠ABE＝∠AGH＝90°，
第18页（共25页）∵∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴HG＝AB，
∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，
∵∠F＝31°，
∴tanF＝tan31°＝ ＝ ＝0.6，
∴AB＝13米，
答：铁塔AB的高度是13米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡
角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝
AF•AB，∠DAF＝∠EAC．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求证： ＝ ．
【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝
∠BAC，即可解决问题；
（2）由△ADE∽△ACB，推出 ＝ ，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得 ＝ ，
由此即可解决问题；
第19页（共25页）【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，
∴ ＝ ，∵∠EAF＝∠BAE，
∴△AEF∽△ABE，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠DAF＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ACB．
（2）∵△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，∠D＝∠C，
∵∠DAF＝∠EAC，
∴△ADF∽△ACE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，
属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣
1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；
（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
第20页（共25页）（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；
（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延
长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．
【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），
则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…
①
函数对称轴为x＝﹣ ＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，
设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，
∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，
∴∠LED＝∠OBE，
∴tan∠LED＝tan∠OBE，
即： ＝ ， ＝ ，
解得：m＝1或3（舍去x＝3），
则点E的坐标为（0，﹣1）；
（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，
顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，
第21页（共25页）∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3 ），
∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，
tan∠ABD＝ ＝ ＝2，
OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，
则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，
过点C′作C′G⊥GH′交于点G，
在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝ ＝GH′，
则点H′的坐标为（3﹣ ， ），
将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：
，解得： ，
则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9… ，
联立 并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍②去），
故点①F的②坐标为（﹣4，21）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中
第22页（共25页）（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．
25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个
动点．
（1）如图 ，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；
（2）如图①，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；
（3）在第（②2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．
【分析】（1）如图 中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得 ＝ ，由此构建
①
方程即可解决问题．
（2）如图 中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝ ，CH＝ x．在Rt△ACH中，根据
②
AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．
（3）如图 ﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明 ＝ ，
②
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图 中，作CH⊥AB于H．
①
∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝∠BHC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
第23页（共25页）∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，
∴∠BCH＝∠A，
∴△ACH∽△CBH，
∴ ＝ ，
∵OC＝2，∠COH＝60°，
∴∠OCH＝30°，
∴OH＝ OC＝1，CH＝ ，
∴ ＝ ，
整理得：2a2﹣a﹣4＝0，
解得a＝ 或 （舍弃）．
经检验a＝ 是分式方程的解．
∴a＝ ．
（2）如图 中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝ ，CH＝ x．
②
在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，
∴（3a）2＝（ x）2+（2a+ x）2，
整理得：x2+ax﹣5a2＝0，
解得x＝（ ﹣1）a或（﹣ ﹣1）a（舍弃），
∴OC＝（ ﹣1）a，
第24页（共25页）（3）如图 ﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．
②
∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，
∴∠AOQ＝∠KCO，
∵AQ∥BK，
∴∠Q＝∠K，
∴△QOA∽△KCO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，
∴△KOB∽△KCO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问
题，属于中考压轴题．
第25页（共25页）
