文档内容
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分）
1．（4分）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（
）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解
析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
3．（4分）若斜坡的坡比为1： ，则斜坡的坡角等于（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
4．（4分）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
5．（4分）若 ＝2 ，向量 和向量 方向相反，且| |＝2| |，则下列结论中不正确的是（ ）
A．| |＝2 B．| |＝4 C． ＝4 D． ＝
6．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
抛物线开口向下； 抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； m的值为0； 图象不经过第
①三象限．上述结论中正②确的是（ ） ③ ④
A． B． C． D．
二、填空①题④（本大题共12题，②每④题4分） ③④ ②③
7．（4分）已知 ，则 的值是 ．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝ ．
第1页（共31页）9．（4分）计算： （ ﹣2 ）﹣4 ＝ ．
10．（4分）已知A（﹣2，y ）、B（﹣3，y ）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y y ．（填
1 2 1 2
“＞”、“＝”或“＜”）
11．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点
F，且CF＝1，则CE的长为 ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝ ．
13．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．
已知BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为 厘米．
14．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交
EF、BC于点G、H，若 ＝ ， ＝ ，则用 、 表示 ＝ ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝
，则BC长为 ．
第2页（共31页）16．（4分）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间
B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F
的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 米（结果保留根号）．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cosB＝ ，则 ＝
．
18．（4分）在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tanA＝ ．点E为BC上一
点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点
D时，BE的长为 ．
第3页（共31页）三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设 ＝ ， ＝ ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）在图中作出 在 、 上的分向量，并直接用 、 表示 ．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，
0）和点B，与y轴交于点C （0，2）．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；
（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．
22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮
和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的
距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA
＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）
（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；
（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此
时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）
第4页（共31页）23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE
交AF于点G，且AE2＝EG•ED．
（1）求证：DE⊥EF；
（2）求证：BC2＝2DF•BF．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C ：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和
1
x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AM，求S△AOM ；
（3）将抛物线C 向上平移得到抛物线C ，抛物线C 与x轴分别交于点E、F（点E在点F
1 2 2
的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C 的表达式．
2
25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝ ，点E在对角线AC
上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为
第5页（共31页）x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
第6页（共31页）2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分）
1．（4分）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（
）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝ ”即可求得这幅设计图的
比例尺．
【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，
则0.2厘米：40厘米＝1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．
故选：B．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解
析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物
线解析式为y＝（x﹣1）2+2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答
此题的关键．
3．（4分）若斜坡的坡比为1： ，则斜坡的坡角等于（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案．
【解答】解：∵斜坡的坡比为1： ，设坡角为 ，
α
第7页（共31页）∴tan ＝ ＝ ，
α
∴ ＝60°．
故α选：D．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，借助解直角三角形的知识求解是关键．
4．（4分）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B、由 不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D、由AC2＝AD•AB，即 ＝ ，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
5．（4分）若 ＝2 ，向量 和向量 方向相反，且| |＝2| |，则下列结论中不正确的是（ ）
A．| |＝2 B．| |＝4 C． ＝4 D． ＝
【分析】根据已知条件可以得到： ＝﹣4 ，由此对选项进行判断．
【解答】解：A、由 ＝2 推知| |＝2，故本选项不符合题意．
B、由 ＝﹣4 推知| |＝4，故本选项不符合题意．
C、依题意得： ＝﹣4 ，故本选项符合题意．
D、依题意得： ＝ ，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
第8页（共31页）6．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
抛物线开口向下； 抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； m的值为0； 图象不经过第
①三象限． ② ③ ④
上述结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分①析】④根据二次函数的性②质④和表格中的数据，可③以判④断各个小题中的结②论③是否成立，本
题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝ ＝1，故 错误，
②
抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故 错误，
当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故 正确， ①
当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故 正③确，
故选：C． ④
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共12题，每题4分）
7．（4分）已知 ，则 的值是 ．
【分析】已知 ，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【解答】解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴ ＝ ＝ ．
【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决
本题的关键．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝ 2 ﹣ 2 ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即可得出
第9页（共31页）AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝ AB＝ ×4＝2 ﹣2．
故答案为2 ﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的
，较长的线段＝原线段的 ．
9．（4分）计算： （ ﹣2 ）﹣4 ＝ ﹣ 7 ．
【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．
【解答】解：： （ ﹣2 ）﹣4 ＝ ﹣ ×2 ﹣4 ＝ ﹣7 ．
故答案是： ﹣7 ．
【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．
10．（4分）已知A（﹣2，y ）、B（﹣3，y ）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y ＜ y ．（填
1 2 1 2
“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】根据二次函数的性质得到x＜1时，y随y的增大而减小，然后根据自变量的大小得
到对应函数值的大小．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
而x＜1时，y随y的增大而减小，
所以y ＜y ．
1 2
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质．
11．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点
F，且CF＝1，则CE的长为 ．
第10页（共31页）【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得 ＝ ＝3，可得BE＝
3CE，即可求CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，
∴△ABE∽△FCE
∴ ＝ ＝3
∴BE＝3CE
∵BC＝BE+CE＝5
∴CE＝
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形
的性质求线段的长度是本题的关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝ ．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，可代
入数计算出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴sinA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．
第11页（共31页）13．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．
已知BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为 厘
米．
【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列
方程求解．
【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴ ＝ ．
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，
∴ ＝ ，
解得x＝ ．
即AH为 厘米．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相
似三角形的性质列方程．
14．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交
第12页（共31页）EF、BC于点G、H，若 ＝ ， ＝ ，则用 、 表示 ＝ ．
【分析】由梯形中位线定理得到EF＝ ，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质
求得GF的长度，利用平面向量表示即可．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，
∴四边形AHCD是平行四边形．
∴AD＝HC．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝ ，且GF＝AD．
∴EG＝EF﹣GF＝ ﹣AD＝ ．
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝
，则BC长为 4 ．
第13页（共31页）【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得
CD＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝
BE＝ BC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∵CG＝2，
∴CD＝3，点D为AB的中点，
∴DC＝DB，又DE⊥BC，
∴CE＝BE＝ BC，
∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝ ，
∴CE＝2，
∴BC＝4
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形
的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是
解题的关键．
16．（4分）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间
B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F
的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 （ 5 0 ﹣ 1 0 ） 米（结果保
留根号）．
第14页（共31页）【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩
形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根
据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC＝GB＝20，HB＝FD，
∵B为CD的中点，
∴EG＝CB＝BD＝HF，
由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．
在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，
∴EG＝AG•tan30°＝30× ＝10 米，
在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10 米，
∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10 （米）．
答：2号楼的高度为（50﹣10 ）米．
故答案为：（50﹣10 ）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能
第15页（共31页）借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cosB＝ ，则 ＝
．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到
AD＝ ＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝ x，
CE＝ x，于是得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵cosB＝ ＝ ，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝ ＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ，
∴ ＝ ，
第16页（共31页）∴BE＝ x，CE＝ x，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的
识别图形是解题的关键．
18．（4分）在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tanA＝ ．点E为BC上一
点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点
D时，BE的长为 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到
∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝
∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据
勾股定理得到AD＝ ＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝
10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣ ，求得DE＝ ﹣3x，根
据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，∵EF∥AD，
∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE＝∠BFE，
∴∠A＝∠AMF，
第17页（共31页）∴△AMF是等腰三角形，
∴AF＝FM，
作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD＝∠DQB＝90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ＝90°．
∵∠B＝90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，
∴AQ＝10﹣2＝8，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD＝ ＝10，
∵tanA＝ ，
∴tan∠EFB＝ ＝ ，
设EB＝3x，
∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，
∴AF＝MF＝10﹣4x，
∴GM＝8x﹣10，
∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，
∴△DGM∽△DQA，
∴ ＝ ，
∴GD＝6x﹣ ，
∴DE＝ ﹣3x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（ ﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，
解得：3x＝ ，
第18页（共31页）∴当EG过点D时BE＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的
性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的
关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝2+ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设 ＝ ， ＝ ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）在图中作出 在 、 上的分向量，并直接用 、 表示 ．
第19页（共31页）【分析】（1）利用三角形法则求出 ，再根据CD＝ CA求出 即可解决问题．
（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据 ＝ + 计算即可．
【解答】解：（1）∵ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ + ＝﹣ + ，
∵AD＝2CD，
∴CD＝ CA，
∵ 与 同向，
∴ ＝ ＝ （﹣ + ）＝ ﹣ ；
（2）如图 在 、 上的分向量分别为 ， ．
∵ ＝ + ＝ + ﹣ ＝ + ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，
0）和点B，与y轴交于点C （0，2）．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；
（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．
第20页（共31页）【分析】（1）根据抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C
（0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）根据题意，可以求得点E的坐标，从而可以求得直线EB的函数解析式，进而求得与y
轴的交点，从而可以求得tan∠CEB的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C
（0，2），
∴ ，得 ，
∴y＝﹣ x2﹣ +2＝ ，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1， ），
即该抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ +2，顶点D的坐标为（﹣1， ）；
（2）∵y＝ ，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），
∴点E的坐标为（﹣2，2），
当y＝0时，0＝ ，得x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∴点B的坐标为（1，0），
设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，
第21页（共31页），得 ，
∴直线BE的函数解析式为y＝﹣ ，
当x＝0时，y＝ ，
设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0， ），
∴OF＝ ，
∵点C（0，2），点E（﹣2，2），
∴OC＝2，CE＝2，
∴CF＝2﹣ ＝ ，
∴tan∠CEF＝ ，
即tan∠CEB的值是 ．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和
一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮
和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的
距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA
＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）
（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；
（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此
第22页（共31页）时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）
【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；
（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性
质求得BB'的长即可．
【解答】解：（1）设AC于BE交于H，
∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，
∴AD∥CF∥HE，
∵AD＝30cm，CF＝30cm，
∴AD＝CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∵∠ADF＝90°，
∴四边形ADFC是矩形，
∴HE＝AD＝30cm，
∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，
∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，
∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；
答：车座B到地面的高度是81cm；
（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，
∴△B'H'C∽△BHC，得 ＝ ．
即 ＝ ，
∴B'C＝63cm．
故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．
∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．
第23页（共31页）【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点
在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．
23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE
交AF于点G，且AE2＝EG•ED．
（1）求证：DE⊥EF；
（2）求证：BC2＝2DF•BF．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG＝
∠ADG，求得∠DAG＝∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝
90°，于是得到结论；
（2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形
的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，
∴∠AFB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝FE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵AE2＝EG•ED，
∴ ＝ ，
∵∠AEG＝∠DEA，
∴△AEG∽△DEA，
第24页（共31页）∴∠EAG＝∠ADG，
∵∠AGD＝∠FGE，
∴∠DAG＝∠FEG，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∴DE⊥EF；
（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，
∴FE2＝EG•ED，
∴ ＝ ，
∵∠FEG＝∠DEF，
∴△FEG∽△DEF，
∴∠EFG＝∠EDF，
∴∠BAF＝∠EDF，
∵∠DEF＝∠AFB＝90°，
∴△ABF∽△DFE，
∴ ＝ ，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠AFB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴FE＝ AB＝ BC，
∴ ＝ ，
∴BC2＝2DF•BF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识
别图形是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C ：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和
1
第25页（共31页）x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AM，求S△AOM ；
（3）将抛物线C 向上平移得到抛物线C ，抛物线C 与x轴分别交于点E、F（点E在点F
1 2 2
的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C 的表达式．
2
【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析
式，从而可以求得S△AOM ；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以
求得抛物线C 的表达式．
2
【解答】解：（1）∵抛物线C ：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，
1
∠AOB＝120°，
∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣ ），
∴ ，得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝ ；
（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，
∵y＝ ＝ ，
∴点M的坐标为（1， ），
设过点A（﹣1，﹣ ），M（1， ）的直线解析式为y＝mx+n，
第26页（共31页），得 ，
∴直线AM的函数解析式为y＝ x﹣ ，
当x＝0时，y＝﹣ ，
∴点D的坐标为（0，﹣ ），
∴OD＝ ，
∴S△AOM ＝S△AOD +S△MOD ＝ ＝ ；
（3）当△AOM∽△FBM时，
，
∵OA＝2，点O（0，0），点M（1， ），点B（2，0），
∴OM＝ ，BM＝ ，
∴ ，
解得，BF＝2，
∴点F的坐标为（4，0），
设抛物线C 的函数解析式为：y＝ +c，
2
∵点F（4，0）在抛物线C 上，
2
∴0＝ +c，得c＝ ，
∴抛物线C 的函数解析式为：y＝ +3 ；
2
当△AOM∽△MBF时，
第27页（共31页），
∵OA＝2，点O（0，0），点M（1， ），点B（2，0），
∴OM＝ ，BM＝ ，
∴ ，
解得，BF＝ ，
∴点F的坐标为（ ，0），
设抛物线C 的函数解析式为：y＝ +d，
2
∵点F（ ，0）在抛物线C 上，
2
∴0＝ ，得d＝ ，
∴抛物线C 的函数解析式为：y＝ + ．
2
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析
式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．
25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝ ，点E在对角线AC
上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为
x．
第28页（共31页）（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
【分析】（1）证明△ADC∽△DCE，利用AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，即可
求解；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（ACsin ）2+（ACcos ﹣
x）2，即可求解； α α
（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．
【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠ ＝∠CAD，
α
∵cos ＝ ，∴sin ＝ ，
α α
过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC•sin ＝6＝DF，BH＝2，
α
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB＝ ，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠ ＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△αDCE，
∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，
解得：a＝2或 （舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝ ；
第29页（共31页）（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsin ）2+（ACcos ﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，α
α
由（1）得：AC•CE＝CD2，
即：y＝ x2﹣ x+10（0＜x＜16且x≠10）… ，
①
（3） 当DF＝DC时，
∵∠E①CF＝∠FDC＝ ，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，α∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10＝ x2﹣ x+10+x，
解得：x＝6；
当FC＝DC，
②则∠DFC＝∠FDC＝ ，
则：EF＝EC＝y，DEα＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cos ＝ ＝ ＝ ，
α
即：5x+8y＝80，
将上式代入 式并解得：x＝ ；
①
当FC＝FD，
③则∠FCD＝∠FDC＝ ，而∠ECF＝ ≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在；α α
故：AD的长为6和 ．
【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多
第30页（共31页）知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．
第31页（共31页）
