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2023 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列单项式中，xy2的同类项是（ ）
A. x3y2 B. x2y C. 2xy2 D. 2x2y3
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数相同进行判断即可．
【详解】解：A．x3y2与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
B．x2y与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．2xy2与xy2所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意；
D．2x2y3与﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项的知识，属于基础题，理解同类项的定义是解题关键
2. 下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 判断A选项；根据 判断 选项；根据
判断 选项；根据算术平方根的定义判断 选项．
【详解】解：A、原式 ，故该选项不符合题意；
B、原式 ，故该选项符合题意；
C、原式 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 是解题的关键．
3. 下列检测中，适宜采用普查方式的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 检测一批充电宝的使用寿命
B. 检测一批电灯的使用寿命
C. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
D. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量
【答案】D
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似判断即可．
【详解】解：A．检测一批充电宝的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B．检测一批电灯的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C．检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意适；
D．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适宜普查方式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值
不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4. 下列函数中，函数值 随自变量 的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别对各项的函数解析式进行分析判断即可.
【详解】A： 为一次函数，x取所有实数，∵ ，∴函数值 随自变量 的值增大而增大，故选
项正确；
B： 为一次函数，x取所有实数，∵- ，∴函数值 随自变量 的值增大而减小，故选项错误；
C： 为反比例函数，x 0，在 内，函数值 随自变量 的值增大而减小，并且在 内，函
≠
数值 随自变量 的值增大而减小，故选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司D： 为反比例函数，x 0，在 内，函数值 随自变量 的值增大而增大，并且在 内，函
≠
数值 随自变量 的值增大而增大，但在 从 左侧到 右侧时不满足条件“函数值 随自变量
的值增大而增大”，故选项错误；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
5. 已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】两圆相交时，两半径之差<圆心距<两半径之和，故选B.
6. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. ﹣|﹣2|＝____．
【答案】﹣2．
【解析】
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解 ，然后根据相反数的性质得出结果.
【详解】﹣|﹣2|表示﹣2的绝对值的相反数，|﹣2|＝2，所以﹣|﹣2|＝﹣2．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
8. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键．
9. 方程 的根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质进行解答即可．
【详解】解：∵ ，即 的算术平方根等于它的相反数，
又∵0的算术平方根等于它的相反数，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
10. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率．
【详解】掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，
共有六种可能，其中2、3、5是素数，
所以概率为 = ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为 ．
【点睛】本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
的
11. 如果抛物线 顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解．
【详解】解：∵顶点是抛物线 的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
12. 如果关于x的二次三项式 在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】关于 x 的二次三项式 在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程
无实数根，根据判别式 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式．解题的关键在于理解题意．
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学科网（北京）股份有限公司13. 在 中，点D是 的中点， ， ，那么 _______ ．（用 、 表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ， ，可得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：在 中，
∵ ， ，
∴ ．
∵点D是 的中点，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面向量，熟练掌握三角形法则是解题的关键．
14. 某校初三（1）班40名同学的体育成绩如表所示，则这40名同学成绩的中位数是__．
成绩
25 26 27 28 29 30
（分）
人数 2 5 6 8 12 7
【答案】28分
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【详解】将这组数据从小到大 的顺序排列后，处于中间位置的数是28分，28分，它们的平均数是28分，
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学科网（北京）股份有限公司那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28分．
故答案为：28分．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据
奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位
数的平均数．
15. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万
×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝________．（用科学记数法表示）
【答案】
【解析】
【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成
的形式即可．
【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数
法的表示方法．
16. 如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知 ，坡道 的坡比 ， 的长为7.2
米， 的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，
根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到 的距离 的值为________米．
【答案】2.4##
【解析】
【分析】由题意延长 交 于E，并根据坡度和坡角可得 过点D作 于
H，根据锐角三角函数即可求出 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图：
延长 交 于E，
，
∴ ，
，
，
过点D作 于H，
，
，
（米）．
答：点D到 的距离 的值为2.4米．
故答案为：2.4．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则
的长为__．（结果保留 ）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】连接CF，DF，则 CFD是等边三角形，求出∠BCF，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接CF，DF△，
则 CFD是等边三角形，
∴△∠FCD=60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴ 的长= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了弧长公式，正五边形性质，等边三角形性质，熟知相关公式、定理是解题关键．．
18. 如图，已知在扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径OA＝8，点P在弧AB上，过点P作PC⊥OA于点
C，PD⊥OB于点D，那么线段CD 长的为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】作辅助线：接 ，取 的中点E，连接 ，通过COPD共圆求出等腰三角形CDE的
钝角为120°，从而求出CD的长度．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点E，连接 ，
在 和 中，点E是斜边 的中点，
根据圆的定义可知，点 四点均在同一个圆，即⊙E上，
又
过点H作 ，垂足为点H，
由垂径定理得， ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为： ．
【点睛】本题考查辅助线的添加、直角三角形斜边上的中线、对角互补的四边形共圆；掌握这些是本题关
键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的乘除法法则进行化简，最后把 a 的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝ ，
当 时，原式＝ ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通分、约分，以及分子、分母的因式分解．
20. 解不等式组 ，并求出它的正整数解．
【答案】 ，不等式组的正整数解为1，2，3
【解析】
【分析】分别求出不等式的解集，从而得到整个不等式组的解集，进而求出正整数解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，
则不等式组的正整数解为1，2，3．
【点睛】本题考查解不等式组的解集及正整数解．正确求出不等式组的解集是解题的关键．
21. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ， ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）过点A作直线 ，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接 ，如果
，求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）过点A作 轴于E，过点C作 轴于F，得到 ，从而得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 得到 ，进而得到点C的坐标，利用两点间的距离公式可得线段BC的长．
【小问1详解】
∵反比例函数 的图象过点 ，
，
解得 ，
， ，
∵一次函数 的图象过A点和B点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
如图，过点A作 轴于E，过点C作 轴于F，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
∴点C ，
．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，通过相似求边长，两点间的距离公式．掌握数形结合的思想
是解题的关键．
22. 如图，某水渠的横断面是以 为直径的半圆O，其中水面截线 ，小明在A处测得点B处小
树的顶端C的仰角为 ，已知小树的高为 米．
（1）求直径 的长；
（2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度 约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：
， ）
【答案】（1）7米 （2）6.7米
【解析】
【分析】（1）由题意知 ，根据 ，求 的值即可；
（2）如图，过点O作 于D，并延长 交 于H，连接 ，则 米，
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学科网（北京）股份有限公司米， 米，在 中，由勾股定理求 的值，根据
，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
答：直径 的长为7米；
【小问2详解】
解：如图，过点O作 于D，并延长 交 于H，连接 ，
∴ 米，
∵ 的直径为7米，
∴ 米
∴ 米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
答：水面的宽度 约为6.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌
握与灵活运用．
23. 已知：在直角梯形 中， ， ， 沿直线 翻折，点A恰好落在腰
上的点E处．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图，当点E是腰 的中点时，求证： 是等边三角形；
（2）延长 交线段 的延长线于点F，联结 ，如果 ，求证：四边形 是矩
形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由垂直平分线的性质得到 ，通过折叠、等边对等角、平行线的性质得到
，从而证明 是等边三角形；
（2）过点D作 于H，得到四边形 是矩形，从而 ， ，再由折叠得
到 角 之 间 的 关 系 从 而 证 明 ， 得 到 ， ； 由 得 到
，进而 ，结合已知条件 得到 ，进一步得到
，所以四边形 是平行四边形，又 ，所以证明得到四边形 是矩形．
【小问1详解】
由折叠得： ，
∵点E是腰 的中点
∴ 是 的垂直平分线
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学科网（北京）股份有限公司是等边三角形
【小问2详解】
过点D作 ，垂足为H，
，
， ，
，
∴四边形 是矩形，
， ，
由折叠得： ， ，
， ，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边三角形的判定，矩形的判定．相似三角形的判定与性质，图中
角和线段的转化是解题的关键．
24. 已知抛物线 ： 与x轴相交于点 和点B，与y轴交于点 ．
的
（1）求抛物线 表达式；
（2）把抛物线 沿射线 方向平移得到抛物线 ，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线
上，设点F在抛物线 上，如果 是以 为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段 上的一点， ，交直线 于点N，求
的值．
第18页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）理由待定系数法求出直线 解的析式为 ，根据 是以 为底的等腰直角三角形，
得 出 ， 求 出 ， 设 ， 则 ， 得 出
，求出m的值即可；
（3）根据抛物线解析式求出点 ，作 ，交 于 G，证明 ，得出
，求出 ，得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线 ： 经过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图1，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 、 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 是以 为底的等腰直角三角形，
∴ ，
由平移得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图2，
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学科网（北京）股份有限公司∵抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
∵点 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
作 ，交 于G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第21页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形
的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正切值，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅
助线，数形结合．
25. 已知 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，点 在直径 上（与 、 不重合），
，连接 并延长与 交于点 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，求 的度数；
（2）连接 交弦 于点 ，如果 ，求 的值；
（3）当四边形 是梯形时，且 ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）如图 ，连接 、 、 ， 先证四边形 是菱形，再证 是等边三角形，
即可得解；
（2）先证 （ ），得 ， ，进而证明 ，
，则 ， ，利用相似三角形的性质即可得解；
（3）分 与 两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：如图 ，连接 、 、 ，
∵ ，垂足为点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，
∵ ， ， ，
∴ （ ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ， ，
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：当 ，如图，连接 ，
由（ ）知， ，
∴ ，
在梯形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如下图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
综上 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行
线的性质、相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质以及圆周角定理，熟练掌握菱形的判定及性
质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质是解题的关键．
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
