文档内容
2017 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数 B．有理数
C．有序实数对 D．有序有理数对
2．（4分）化简 （a≠0）的结果是（ ）
A．a B．﹣a C．﹣a D．a
3．（4分）通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的
组频率．因此，频率分布直方图的纵轴表示（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如果用A表示事件“若a＞b，则a+c＞b+c”，用P（A）表示“事件A发生
的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．P（A）=1 B．P（A）=0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1
5．（4分）下列判断不正确的是（ ）
A．如果 = ，那么| |=| |
B． + = +
C．如果非零向量 =k•（k≠0），那么 ∥
D． + =0
6．（4分）下列四个命题中真命题是（ ）
A．矩形的对角线平分对角
B．平行四边形的对角线相等
C．梯形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直平分
二、填空题（本大题12小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ．
8．（4分）化简： = ．
第1页（共24页）9．（4分）在实数范围内分解因式：a3﹣2a= ．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）方程 的解是：x= ．
12．（4分）已知点A（2，﹣1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，那么当x＞0时，
y随x的增大而 ．
13．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此
时抛物线的表达式是 ．
14．（4分）如表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的次数及相应的人数，
则该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是
次数 40 50 60 70
人数 2 3 4 1
15．（4分）如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：
DC=5：3，则D点到AB的距离是 ．
16．（4分）正十二边形的中心角是 度．
17．（4分）如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶
部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为β，如果乙楼的高DC=10米，那么甲楼的
高AB= 米（用含α，β的代数式表示）
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边
第2页（共24页）AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（10分）计算：27 ﹣（ ）﹣1÷3+80﹣（ ﹣2）2．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，tanA= ，AB=14，
（1）求：△ABC的面积；
（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆
A的半径．
22．（10分）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千
克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y 元和y 元，已知y 、y 关于x的函数
1 2 1 2
图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．
（1）当x的取值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当x的取值为 时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB
的表达式，并写出定义域．
第3页（共24页）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的
中点，AB⊥BE．
（1）求证：BD2=AD•DC；
（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点
为A（﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）联结AB，求∠B的正切值；
（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），
当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
25．（14分）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为 上一动点，射
线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．
（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；
（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出
它的度数；若不是，请说明理由．
第4页（共24页）第5页（共24页）2017 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数 B．有理数
C．有序实数对 D．有序有理数对
【考点】D1：点的坐标．
菁优网版权所有
【分析】根据平面直角坐标系与有序实数对的关系，可得答案．
【解答】解：有序实数对与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，平面直角坐标系与有序实数对是一一对应关系．
2．（4分）化简 （a≠0）的结果是（ ）
A．a B．﹣a C．﹣a D．a
【考点】73：二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【分析】二次根式有意义，则a＜0，根据二次根式的性质解答．
【解答】解： 有意义，
则a＜0，﹣a＞0，
原式=﹣a ．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数及题目的隐
含条件a＜0．二次根式的性质： =|a|．
3．（4分）通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的
组频率．因此，频率分布直方图的纵轴表示（ ）
A． B． C． D．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
菁优网版权所有
第6页（共24页）【分析】根据频率分布直方图中纵横坐标的意义，易得长方形的面积为长乘宽，即
组距×频率/组距=频率；即答案．
【解答】解：在频率直方图中纵坐标表示频率/组距，横坐标表示组距，
则小长方形的高表示频率/组距，小长方形的长表示组距，
则长方形的面积为长乘宽，即组距×频率/组距=频率；
故选：B．
【点评】本题考查频率直方图中横纵坐标表示的意义．
4．（4分）如果用A表示事件“若a＞b，则a+c＞b+c”，用P（A）表示“事件A发生
的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．P（A）=1 B．P（A）=0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1
【考点】X3：概率的意义．
菁优网版权所有
【分析】根据不等式的基本性质1知事件A是必然事件，由概率的意义可得答案．
【解答】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知a+c＞b+c必然成立，
∴事件A是必然事件，
∴P（A）=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率的意义及不等式的基本性质，熟练掌握必然事件的定
义是解题的关键．
5．（4分）下列判断不正确的是（ ）
A．如果 = ，那么| |=| |
B． + = +
C．如果非零向量 =k•（k≠0），那么 ∥
D． + =0
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】根据模的定义，可确定A正确；根据平面向量的交换律，可判定B正确，又
由如果非零向量非零向量 =k• （k≠0），那么 ∥ ，可得C正确；利用相反向
量的知识，可判定D错误．
【解答】解：A、如果 = ，那么| |=| |，故此选项正确；
B、 + = + ，故本选项正确；
第7页（共24页）C、如果非零向量 =k• （k≠0），那么 ∥ ，故此选项正确；
D、 + = ，故此选项错误；
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意理解平面向量有关的定义是关键．
6．（4分）下列四个命题中真命题是（ ）
A．矩形的对角线平分对角
B．平行四边形的对角线相等
C．梯形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直平分
【考点】O1：命题与定理．
菁优网版权所有
【分析】由矩形、菱形、梯形和平行四边形对角线的性质作出判断，从而利用排除
法得出答案．
【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，A错误；
平行四边形的对角线平分，但不一定相等，B错误．
梯形的对角线不一定互相垂直，C错误；
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理；熟记矩形、菱形、梯形和平行四边形对角线的性
质是解决问题的关键．
二、填空题（本大题12小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 和﹣
（答案不唯一） ．
【考点】26：无理数．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；26：开放型．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；
开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可求解
【解答】解：∵两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，
这两个数可以是 和﹣ ．（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的定义和性质，解题时注意无理数的积不一定是
无理数．
第8页（共24页）8．（4分）化简： = ﹣ ．
【考点】66：约分．
菁优网版权所有
【分析】先将分子与分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，将分子与分母的
公因式约去，即可求解．
【解答】解： = =﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】此题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这
样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化
为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去．
9．（4分）在实数范围内分解因式：a3﹣2a= a （ a + ）（ a﹣ ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
菁优网版权所有
【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：a3﹣2a=a（a2﹣2）=a（a+ ）（a﹣ ）．
故答案为：a（a+ ）（a﹣ ）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差
公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．（4分）不等式组 的解集是 4 ＜ x ＜ 5 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】根据不等式分别求出x的取值范围，画出坐标轴，在其上表示出来x．
【解答】解：不等式组可以化为：
，
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为：4＜x＜5．
第9页（共24页）【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x
介于两数之间．
11．（4分）方程 的解是：x= ± 2 ．
【考点】AG：无理方程．
菁优网版权所有
【分析】对方程左右两边同时平方，可得x2+5=9，进而解可得x的值．
【解答】解：根据题意，有 ，
左右两边同时平方可得x2+5=9；
解之，可得：x=±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查含二次根式的无理方程的解法，一般先化为一次或二次方程，再
求解，答案注意根式有意义的条件．
12．（4分）已知点A（2，﹣1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，那么当x＞0时，
y随x的增大而 增大 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】首先将点A的坐标代入解析式求得k值，然后根据反比例函数的性质确定
其增减性即可．
【解答】解：∵点A（2，﹣1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=2×（﹣1）=﹣2＜0，
∴在每一象限内y随着x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是利用待定系数法确定比例
系数的值，难度不大．
13．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此
时抛物线的表达式是 y = （ x + 4 ） 2 ﹣ 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
第10页（共24页）【解答】解：函数y=x2向左平移4个单位，得：y=（x+4）2；
再向下平移2个单位后，得：y=（x+4）2﹣2．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接
代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
14．（4分）如表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的次数及相应的人数，
则该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是 5 4
次数 40 50 60 70
人数 2 3 4 1
【考点】W2：加权平均数．
菁优网版权所有
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是
= =54．
故答案为54．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求40，50，60，70
这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．
15．（4分）如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：
DC=5：3，则D点到AB的距离是 1 5 ．
【考点】KF：角平分线的性质．
菁优网版权所有
【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AC=40，AD：DC=5：3，
∴CD=40× =15．
∵BD平分∠BAC交AC于D，
∴D点到AB的距离是15．
故答案为：15．
第11页（共24页）【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距
离相等是解答此题的关键．
16．（4分）正十二边形的中心角是 3 0 度．
【考点】MM：正多边形和圆．
菁优网版权所有
【分析】根据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：
360°÷12=30°．
【解答】解：正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
故答案为：30．
【点评】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
17．（4分）如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶
部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为β，如果乙楼的高DC=10米，那么甲楼的
高AB= + 1 0 米（用含α，β的代数式表示）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
菁优网版权所有
【分析】作AH⊥CD交CD的延长线于H，根据正切的概念分别求出DC、DH，计算
即可．
【解答】解：作AH⊥CD交CD的延长线于H，
在Rt△DBC中，tan∠DBC= ，
则AH=BC= ，
在Rt△AHD中，tan∠DAH= ，
DH=AH×tanβ= ，
∴AB=CH=CD+DH= +10，
第12页（共24页）故答案为： +10．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概
念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边
AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为 ．
【考点】KW：等腰直角三角形；PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】作DG⊥AE，先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△BEF，再根据等腰三角
形的性质及三角形外角的性质可得到∠AED=CDF，设CF=x，则DF=FB=4﹣x，根
据勾股定理求出CF，可知tan∠AED=tanCDF，在Rt△ADG和Rt△EDG分别求出
DG、EG，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作DG⊥BE，
∵△DEF是△BEF翻折而成，
∴△DEF≌△BEF，∠B=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠AED+45°，
∴∠AED=∠CDF，
∵CA=CB=4，CD=AD=2，
设CF=x，
∴DF=FB=4﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+4=（4﹣x）2，
第13页（共24页）解得x= ，
∵∠A=45°，AD=2，
∴AG=DG= ，
∵tan∠AED=tanCDF= = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴EG= ，
∴DE=BE= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、
三角形外角的性质以及锐角三角函数的综合运用，涉及面较广，但难易适中．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（10分）计算：27 ﹣（ ）﹣1÷3+80﹣（ ﹣2）2．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式利用分数指数幂，零指数幂、负整数指数幂法则，以及完全平方公式
化简即可得到结果．
【解答】解：原式=3 ﹣1+1﹣7+4 =7 ﹣7．
【点评】此题考查了实数的运算，分数指数幂，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握
第14页（共24页）运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解得到x的值，
经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（1﹣x）﹣（x+3）=（1﹣x）（x+3），
整理得：x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，
解得：x =﹣1，x =3，
1 1
经检验x =﹣1，x =3都是原方程的根．
1 1
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，tanA= ，AB=14，
（1）求：△ABC的面积；
（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆
A的半径．
【考点】MC：切线的性质；MJ：圆与圆的位置关系；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）过C作CD⊥AB于D，解直角三角形得到CD=6，根据三角形的面积公
式即可得到结论；
（2）根据圆 C 与直线 AB 相切，得到⊙C 的半径=6，根据勾股定理得到 AC=
=10，设⊙A的半径为r，当圆A与圆C内切时，当圆A与圆C外切时
即可得到结论．
【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D，
第15页（共24页）∵tanA= = ，
∴AD= ，
∵∠ABC=45°，
∴BD=CD，
∵AB=14，
∴ +CD=14，
∴CD=6，
∴△ABC的面积= AB•CD= ×14×6=42；
（2）∵以C为圆心的圆C与直线AB相切，
∴⊙C的半径=6，
∵AD=8，
∴AC= =10，
设⊙A的半径为r，
当圆A与圆C内切时，r﹣6=10，
∴r=16，
当圆A与圆C外切时，r+6=10，
∴r=4，
综上所述：以A为圆心的圆A与圆C相切，圆A的半径为：4或16．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积的计算，解直角
三角形，注意分类讨论思想的应用．
22．（10分）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千
克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y 元和y 元，已知y 、y 关于x的函数
1 2 1 2
图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．
第16页（共24页）（1）当x的取值为 2 0 千克 时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当x的取值为 0 ＜ x ＜ 2 0 时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB
的表达式，并写出定义域．
【考点】FH：一次函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用两个函数图象的交点坐标即可解决问题．
（2）根据y 的图象在y 的下方，观察图象即可解决问题．
2 1
（3）设AB的解析式为y=kx+b，由题意OC的函数解析式为y=10x，可得方程组
，解方程组即可．
【解答】解：（1）由图象可知，x=20千克时，y =y ，
1 2
故答案为20千克．
（2）由图象可知，0＜x＜20时，在乙店批发比较便宜．
故答案为0＜x＜20．
（3）设AB的解析式为y=kx+b，由题意OC的函数解析式为y=10x，
∴ ，
解得 ，
∴射线AB的表达式y=5x+100（x≥10）．
第17页（共24页）【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运
用一次函数的性质解决问题，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的
中点，AB⊥BE．
（1）求证：BD2=AD•DC；
（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到 BE=DE，由等腰三角形的性质得到
∠DBE=∠BDE，根据角平分线的定义得到∠ADB=∠BDE，等量代换得到
∠ADB=∠DBE，根据平行线的判定定理得到AD∥BE，根据相似三角形的性质即
可得到结论；
（2）由已知条件得到△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到
∠BDC=45°，求得∠ADE=90°，推出四边形ADEB是矩形，根据矩形的性质得到
AB=DE，AE=BD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，点E为边CD的中点，
∴BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDE，
∴∠ADB=∠DBE，
第18页（共24页）∴AD∥BE，
∵AB⊥BE，
∴∠A=∠ABE=90°，
∵∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
∴△ADB∽△BDC，
∴ ，
∴BD2=AD•DC；
（2）解：∵BD=BC，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADE=90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴AB=DE，AE=BD，
∴AB=CE，AE=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平
行四边形的判定，平行线的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点
为A（﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）联结AB，求∠B的正切值；
（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），
当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
第19页（共24页）【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得
抛物线表达式，则可求得B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，
可求得E点坐标；
（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC为斜边
的直角三角形，利用三角形的定义可求得答案；
（3）设M（x，0），当∠GCM=∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求得M
点的坐标；当∠CMG=∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性
质可求得x的值，可求得M点的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线对称轴为x=1，
∴﹣ =1，解得a= ，
把A点坐标代入可得 +1+c=0，解得c=﹣ ，
∴抛物线表达式为y= x2﹣x﹣ ，
∵y= x2﹣x﹣ = （x﹣1）2﹣2，
∴B（1，﹣2），
把C（5，m）代入抛物线解析式可得m= ﹣5﹣ =6，
∴C（5，6），
设直线BC解析式为y=kx+b，
第20页（共24页）把B、C坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线BC解析式为y=2x﹣4，
令y=2可得2x﹣4=0，解得x=2，
∴E（2，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（5，6），
∴AB=2 ，AC= =6 ，BC= =4 ，
∴AB2+AC2=8+72=80=BC2，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴tan∠B= = =3；
（3）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），
∴∠CAE=∠BAE=45°，
∵GM⊥BC，
∴∠CGM+∠GCB=∠GCB+∠ABC=90°，
∴∠CGM=∠ABC，
∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，
设M（x，0），则C（x，2x﹣4），
①当∠GCM=∠BAE=45°时，则∠AMC=90°，
∴MC=AM，即2x﹣4=x+1，解得x=5，
∴M（5，0）；
②当∠GMC=∠BAE=∠MAC=45°时，
∵∠MEC=∠AEB=∠MCG，
∴△MEC∽△MCA，
∴ = ，即 = ，
∴MC2=（x﹣2）（x+1），
∵C（5，6），
第21页（共24页）∴MC2=（x﹣5）2+62=x2﹣10x+61，
∴（x﹣2）（x+1）=x2﹣10x+61，解得x=7，
∴M（7，0）；
综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定
理及其逆定理、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类
讨论思想等知识．在（1）中注意利用对称轴求得a的值是解题的关键，在（2）中
证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到
关于M点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，
综合性较强，难度适中．
25．（14分）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为 上一动点，射
线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．
（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；
（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出
它的度数；若不是，请说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用矩形的性质，只要证明△OAC是等边三角形，即可解决问题．
（2）如图2中，作OH⊥AD于H．由△AOH∽△ADO，推出 = ，推出 = ，可
得AD= ，CD=AD﹣AC= ，由DE∥OA，可得 = ，求出DE即可．
（3）如图 3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．连接AB、BC，由
∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC= ∠BOC，∠ABC= ∠AOC，即可推出∠BCD=
第22页（共24页）∠BOC+ ∠AOC= （∠BCO+∠AOC）= ×90°=45°．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°
∴AC=OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠ADO=90°﹣∠OAD=30°．
（2）如图2中，作OH⊥AD于H．
∵OA=OC，OH⊥AC，
∴AH=HC=3，
∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，
∴△AOH∽△ADO，
∴ = ，
∴ = ，
∴AD= ，
∴CD=AD﹣AC= ，
第23页（共24页）∵DE⊥OD，
∴∠EDO=90°，
∴∠AOD+∠EDO=180°，
∴DE∥OA，
∴ = ，
∴ = ，
∴DE= ．
（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．
理由：连接AB、BC．
∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，
又∵∠BAC= ∠BOC，∠ABC= ∠AOC，
∴∠BCD= ∠BOC+ ∠AOC= （∠BCO+∠AOC）= ×90°=45°．
【点评】本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似
三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:09:07；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第24页（共24页）
