文档内容
杨浦区 2022 学年度第二学期初三质量调研（二）
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算
的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、 是无理数，故此选项符合题意；
B、 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、 是有理数，故此选项不符合题意；
D、 是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；
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学科网（北京）股份有限公司以及像 ，等有这样规律的数，熟练掌握无理数的定义是解题关键．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A． ，故选项A不符合题意；
B． ，故选项B不符合题意；
C． ，故选项C符合题意；
D． ，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式等知识，熟练掌握相
关运算法则是解答本题的关键．
3. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 频数
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差、众数、平均数、频数的意义即可求解．
【详解】解：方差是表示一组数据波动程度的量，众数、平均数是表示一组数据集中趋势的量，频数是表
示数据出现的次数，
故选A．
【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、频数的意义，掌握以上知识是解题的关键．
4. 平面直角坐标系 中，若点 和 在反比例函数 图像上，则下列关系式正
确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 ，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值 随 的增大而减小，
∴点 和 中， ，
∴ ，即 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．
5. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A. 角 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 正五边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图
形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．根据两个定义即可作出判断．
【详解】A．角是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
C．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】题目主要考查轴对称图形、中心对称图形的判断，熟练掌握两种图形的定义是解题关键．
6. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三
角形称为格点三角形．如图，已知 是 的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与
相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】连接格点 ，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可．
【详解】如图，连接格点 ．
， ，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
同理可证： ．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握两边对应
成比例且夹角相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位
置上】
7. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数的减法进行计算即可求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
8. 函数 的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求函数的定义域就是找使函数有意义的自变量的取值范围．
【详解】解：函数要有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，关键要知道函数有意义的自变量的取值范围．
9. 的有理化因式是________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，可得答案．
【详解】a-b=（ - ）（ + ），
故 的有理化因式可以是 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为 ．
【点睛】考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
10. 不等式组 的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，然后根据大小小大中间找得出原不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
所以不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大，
同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键．
11. 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
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学科网（北京）股份有限公司12. 如果抛物线 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 在对称轴左侧呈上升趋势，
∴抛物线开口向下，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小．当
时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．
13. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，
则摸到黄球的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：总的球数为：3+2=5个，
∴从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出
现的结果数．
14. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频
率是0.1，那么第六组的频数是_______．
【答案】8
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是 =0.7．又∵第五组的频率是0.10，∴第六组
的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为8．
15. 如图，已知点G是 的重心，设 ，那么 用 可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形重心的性质得出D点是 边的中点，求出 ，再由向量的加法法则求出 ，然
后根据G是 的重心即可求出 ．
【详解】如图，D点是 边的中点，G是 的重心，
∵ ， ，D点是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∵G是 的重心，
∴ ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
16. 如果一个矩形的面积是 ，两条对角线夹角的余切值是 ，那么它的一条对角线长是_______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 作 于 H ． 由 四 边 形 是 矩 形 ， 推 出 ， 设
，由余切函数，可得 ， ，由题意： ，
求出a即可解决问题．
【详解】解：如图，作 于H．
∵四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ．
∵根据题意得： ，
∴ ， ，
由题意： ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为10．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
17. 如图，已知点M在正六边形 的边 上运动，如果 ，那么线段 的长度的取值范
围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，作出正六边形 的外接圆为圆O，连接 ，则点O在 上，根据正
多边形的性质及内角和得出 ．再由各角之间的关系得出 ，然后在
中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，正六边形 的外接圆为圆O，连接 ，则点O在 上，
∵正六边形
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴点M在正六边形 的边 上运动时线段 的长度的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，含30度角的直角三角形的性质及解三角形，理解题意，作出临
界图形是解题关键．
18. 如图，已知在 中， ，将 绕点B顺时针旋转 ，点 分别落
在点 处，联结 ，如果 ，那么边 的长_______．
【答案】
【解析】
【分析】由旋转变换易证 ， ， ， ，由
，得 ；设 ，由三角函数得 ， ；在
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学科网（北京）股份有限公司中，运用勾股定理求解得 ，所以 ．
【详解】如图，由旋转知， ， ， ， 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵
∴
设 ，则 ，
中，
∴ ，解得 （负值舍去），
故答案为：
【点睛】本题主要考查旋转变换、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及特殊角三角函数；
能够灵活运用相关知识导出线段间的数量关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算分数指数幂及零指数与负整数指数幂，绝对值化简，然后进行二次根式的加减法即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查分数指数幂及零指数与负整数指数幂，绝对值化简，二次根式的加减法等，熟练掌
握各个运算法则是解题关键．
20. 解方程组：
【答案】 或
【解析】
【分析】先将②式因式分解为 ，则可得 或 ，再分别与①式联
立求解即可．
【详解】解：由②得： ，
∴ 或
解得： 或 ，
∴原方程组的解为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，解题的关键是将②式进行因式分解，把原方程组转化为两个
二元一次方程组．
21. 某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件
售价x（元）之间存在一次函数关系（其中 ，且x为整数），部分对应值如下表：
每件售价x（元） 9 11 13
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学科网（北京）股份有限公司每天的销售量y（件） 105 95 85
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？
【答案】（1） （2）13元
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（ 2 ） 由 题 意 知 ， 利 润 ， 令 ， 则
，计算求解满足要求 的值即可．
【小问1详解】
解：设 与 的函数关系式为 ， ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：由题意知，利润 ，
令 ，则 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴每件消毒用品的售价为13元；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的
熟练掌握与灵活运用．
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学科网（北京）股份有限公司22. 如图，已知 是 的直径，弦 与 相交于点E， ．
（1）求 的值；
（2）求点A到弦 的距离．
【答案】（1） （2）6
【解析】
【分析】（1）连接 ，过点O作 ，根据圆周角定理及直角三角形斜边中线的性质与垂
径定理得出 ，再由相似三角形的判定和性质确定 ， ，由正弦函数的定义
求解即可；
（2）过点A作 ，利用相似三角形 的判定和性质即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接 ，过点O作 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
过点A作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴求点A到弦 的距离为6．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和
垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解答的关键．
23. 已知：如图，在 中， ，点 D 是边 的中点， ，联结
．
（1）求证： ；
（2）如果 平分 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出 ，再由平行线的性质及各角之间
的关系得出 ，利用全等三角形的判定证明即可；
（2）延长 交 的延长线于点F，根据角平分线的性质及全等三角形的性质得出 ，
再由等边对等角及等腰三角形的判定和性质得出 ，由全等三角形的判定和性质得出
，最后由中位线的性质及平行四边形的判定和性质即可证明
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
证明：∵ ，点D是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
【小问2详解】
延长 交 的延长线于点F，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， 平分 ，
∴
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质
及中位线的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
24. 已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ，顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；
（2）点P是线段 上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果 ，求点P的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线 的距离相等，求线段 的长．
【答案】（1） ；
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式；
（2）令 ，确定 ，设点 ， ，则 )，根据题意得出一
元二次方程求解即可；
（3）由（2）得： ，确定 ，利用待定系数法确定直线 的解析式分别为：
， ，再由等腰三角形的判定和性质及一次函数的性质确定点F的坐标，即可求解．
【小问1详解】
将点 代入抛物线，得
将点 代入抛物线，得
∴抛物线的解析式为： ；
∴ ，
∴顶点 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：令 得 ，
∴ 或
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司设点 ， ，则 )，如图所示：
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ；
【小问3详解】
由（2）得： ，
∴当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
设直线 的解析式分别为： ， ，
将点代入得： ， ，
解得： ， ，
∴直线 的解析式分别为： ， ，
∴直线 与y轴的交点分别为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵点F到直线 的距离相等，且点F在y轴上，
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学科网（北京）股份有限公司∴点F为 的角平分线及高线，即直线 与y轴的交点，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数确定函数解析式，线段相等问题及一次函数的
性质，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键．
25. 已知在矩形 中， ，点O是边 上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，
长为半径作圆，交射线 于点G．
（1）如图1，当 与直线 相切时，求半径 的长；
（2）当 与 的三边有且只有两个交点时，求半径 的取值范围；
（3）连接 ，过点A作 ，垂足为点H，延长 交射线 于点F，如果以点B为圆心，
长为半径的圆与 相切，求 的正切值．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或
（3） 或1
【解析】
【分析】（1）设 与直线 的切点为点E，连接 ，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理
求解即可；
（2）分三种临界情况：①当 与边 的切点为点E，连接 ，此时恰好有三个交点，②当 恰
好经过点C时，连接 ，③当点O与点B重合时，作出相应图形求解即可；
（3）根据题意，分两种情况：①两个圆外切时，②两个圆内切时，作出图形，然后利用相似三角形的判
定和性质及正切函数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：设 与直线 的切点为点E，连接 ，如图所示：
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴半径 的长为 ；
【小问2详解】
①如图所示：当 与边 的切点为点E，连接 ，此时恰好有三个交点，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴由（1）得半径 的长为 ，恰好有一个交点，
∴当 时，满足条件；
②当 恰好经过点C时，连接 ，如图所示：
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴半径 的长为 ；
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时， 与 的三边的交点多于2个，不满足条件；
③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，
∴当 时，满足条件；
综上可得： 或 时，满足条件；
【小问3详解】
①当两个圆外切时，如图所示：
∵ ，
第28页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，即 ，
∵两个圆相切，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
②当两个圆内切时，如图所示：
第29页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上可得： 的正切值为 或1．
【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质及
勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
