文档内容
2020-2021 学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）如果a≠0，那么下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a）0＝0 B．（﹣a）0＝﹣1 C．﹣a0＝1 D．﹣a0＝﹣1
2．（4分）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A．x2﹣x+ B．x2+ x+ C．x2+ x﹣ D．x2﹣ x+
3．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3平移后与抛物线y＝2x2重合，那么平移的方法可以是（
）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC
的为（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
5．（4分）锐角 的正切值为 ，那么下列结论中正确的是（ ）
α
A． ＝30° B． ＝60° C．30°＜ ＜45° D．45°＜ ＜60°
6．（4分α）在Rt△ABC中，∠Cα＝90°，CD是高，如果AB＝mα，∠A＝ ，那么CD的长α为（ ）
A．m•sin •tan B．m•sin •cos α
C．m•cosα•tanα D．m•coαs •coαt
二、填空题（α每题α4分，满分48分） α α
7．（4分） 的相反数是 ．
8．（4分）函数f（x）＝ 的定义域为 ．
9．（4分）方程 ＝2﹣x的根为 ．
10．（4分）二次函数y＝2x﹣3x2图象的开口方向是 ．
11．（4分）抛物线y＝3x2﹣6的顶点坐标为 ．
12．（4分）如果一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，那么常数m的取值范围为 ．
13．（4分）在二次函数y＝x2﹣2x+3图象的上升部分所对应的自变量x的取值范围是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝
3，CE＝1，那么BD长为 ．
15．（4分）在△ABC中，点G是重心，∠BGC＝90°，BC＝8，那么AG的长为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AB＝12，BC＝9，
AC＝6，四边形BCED的周长为21，那么DE的长为 ．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB＝2OD，设 ＝ ，
＝ ，那么 ＝ （用向量 ， 的式子表示）．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，tanB＝ （如图），将△ABC绕点C旋转后，点
A落在斜边AB上的点A'，点B落在点B'，A'B'与边BC相交于点D，那么 的值为
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．20．（10分）已知线段x，y满足 ＝ ，求 的值．
21．（10分）如图，点AB在第一象限的反比例函数图象上，AB的延长线与y轴交于点C，已知
点A、B的横坐标分别为6、2，AB＝2 ．
（1）求∠ACO的余弦值；
（2）求这个反比例函数的解析式．
22．（10分）如图，一处地铁出入口无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD
共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度
与坡角（角度精确到1°，其他近似数取四个有效数字）．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．
求证：（1）△BCD∽△CDE；
（2） ＝ ．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于
点A，B，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD＝AC，求经过点D的抛物线y＝ax2+bx+4的表
达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E，F，且EF＝1，求此
抛物线的顶点坐标．
25．（14分）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD＝∠MAN，且
CE∥BD，sin∠MAN＝ ，AB＝5，AC＝9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF•CE＝BC•BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD＝x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，
并写出定义域．2020-2021 学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）如果a≠0，那么下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a）0＝0 B．（﹣a）0＝﹣1 C．﹣a0＝1 D．﹣a0＝﹣1
【分析】根据a0＝1（a≠0），00≠1，逐项判断即可．
【解答】解：∵（﹣a）0＝1，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a）5＝1，
∴选项B不符合题意；
∵﹣a0＝﹣4，
∴选项C不符合题意；
∵﹣a0＝﹣1，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a0＝
1（a≠0）； 00≠1． ①
2．（4分）下列②多项式中，是完全平方式的为（ ）
A．x2﹣x+ B．x2+ x+ C．x2+ x﹣ D．x2﹣ x+
【分析】完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，据此判断即可．
【解答】解：A、 ，故原式是完全平方式；
B、 不是完全平方式；
C、 不是完全平方式；D、 不是完全平方式；
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两
个整式的和的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差的平方，算时有一个口
诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．
3．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3平移后与抛物线y＝2x2重合，那么平移的方法可以是（
）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）3﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣6）2的顶点坐标为（0，8），
∴顶点由（﹣1，﹣3）到（3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解
析式更简便．
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC
的为（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：如图：
A、当 时，不能判定DE∥BC；
B、当 时，不能判定DE∥BC；
C、当 ，能判定DE∥BC；
D、当 时，能判定DE∥BC 时，不能判定DE∥BC；
故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定
理是解题的关键．
5．（4分）锐角 的正切值为 ，那么下列结论中正确的是（ ）
α
A． ＝30° B． ＝60° C．30°＜ ＜45° D．45°＜ ＜60°
【分α析】根据特殊锐角的三α角函数值进行解答即可． α α
【解答】解：∵tan ＝ ，tan30°＝ ，
α
∴tan30°＜tan ＜tan45°，
∴30°＜ ＜45α°，
故选：Cα．
【点评】本题考查锐角三角函数的意义以及锐角三角函数的增减性，掌握特殊锐角的三角
函数值以及锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AB＝m，∠A＝ ，那么CD的长为（ ）
A．m•sin •tan B．m•sin •cos α
C．m•cosα•tanα D．m•coαs •coαt
【分析】在αRt△AαBC中，由锐角三角函数的意义可求出ACα＝mα•cos ，在Rt△ADC中，由锐
角三角函数的意义可求出CD＝m•cos •sin ，进而得出答案． α
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，α α
∵cosA＝ ，AB＝m，
∴AC＝m•cos ，
在Rt△ADC中α，
∵sinA＝ ，AC＝m•cos ，
α
∴CD＝m•cos •sin ，
故选：B． α α【点评】本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
二、填空题（每题4分，满分48分）
7．（4分） 的相反数是 ﹣ ．
【分析】根据相反数的定义可得出答案．
【解答】解： 的相反数是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了相反数．解题的关键是明确相反数的意义，一个数的相反数就是在这
个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反
数是0．
8．（4分）函数f（x）＝ 的定义域为 x ＜ 2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到
答案
【解答】解：由题意得，2﹣x＞0，
解得，x＜5，
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、
分式的分母不为0是解题的关键．
9．（4分）方程 ＝2﹣x的根为 x ＝ 1 ．
【分析】首先把无理方程化成整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可．
【解答】解： ＝4﹣x，
两边平方得：3﹣2x＝8﹣4x+x2，
整理得：x4﹣2x+1＝7，
解得：x ＝x ＝2，
1 2
经检验，x＝1是原方程的根，
∴方程 ＝2﹣x的根为x＝1，故答案为：x＝7．
【点评】本题考查了无理方程的解法；熟练掌握无理方程的解法是解题的关键．
10．（4分）二次函数y＝2x﹣3x2图象的开口方向是 向下 ．
【分析】根据二次函数二次项的系数的符号确定开口方向即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x﹣3x5的a＝﹣3＜0，
∴开口向下，
故答案为：向下．
【点评】考查了二次函数的性质，二次函数的二次项的系数决定了开口的方向，难度较小．
11．（4分）抛物线y＝3x2﹣6的顶点坐标为 （ 0 ，﹣ 6 ） ．
【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣7，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，﹣6），
故答案为（4，﹣6）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
12．（4分）如果一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，那么常数m的取
值范围为 1 ＜ m ＜ 2 ．
【分析】根据已知条件“一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣1的图象不经过第三象限”可知m﹣3
＜0，且m﹣1＞0，据此求得k的取值范围，在该范围内可以找到满足条件的k的值．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
解得1＜m＜2．
故答案为：2＜m＜2．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理
解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．
k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b
＜0时，直线与y轴负半轴相交．
13．（4分）在二次函数y＝x2﹣2x+3图象的上升部分所对应的自变量x的取值范围是 x ≥ 1
．
【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+7＝（x﹣1）2+8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴在二次函数y＝x7﹣2x+3图象的上升部分所对应的自变量x的取值范围是x≥5，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝
3，CE＝1，那么BD长为 4 ．
【分析】根据∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，可得△AED∽△ABC，对应边成比例即可求出
BD的长．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得BD＝2．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定
与性质．
15．（4分）在△ABC中，点G是重心，∠BGC＝90°，BC＝8，那么AG的长为 8 ．
【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中
点的距离之比为2：1． 进而可得AG的长．
【解答】解：如图所示：
∵点G是△ABC重心，
∴点D是BC的中点，AG：DG＝2：1，∵∠BGC＝90°，BC＝4，
∴DG＝ BC＝2，
∴AG＝8，
答：AG的长为8．
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握三角形的重心定义和性质．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AB＝12，BC＝9，
AC＝6，四边形BCED的周长为21，那么DE的长为 6 ．
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ACB，对应边成比例，设相似比为k，可得AD＝
12k，AE＝6k，DE＝9k，然后根据四边形BCED的周长为21，列方程即可得到结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝k，
∴AD＝12k，AE＝8k，
∵四边形BCED的周长为21，
∴BD+BC+CE+DE＝12﹣12k+9+6﹣8k+9k＝21，
解得：k＝ ，
∴DE＝6．
故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定
与性质．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB＝2OD，设 ＝ ，
＝ ，那么 ＝ + （用向量 ， 的式子表示）．
【分析】根据OB＝2OD得到OB＝ BD，然后由三角形法则求得 的值，继而求得 ．进
一步利用三角形法则求得答案．
【解答】解：如图，∵OB＝2OD，
∴OB＝ BD．
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）．
∴ ＝ + ＝ （ ﹣ ）+ ＝ + ．
故答案是： + ．
【点评】本题主要考查了梯形和平面向量，解题时，充分利用了三角形法则，属于中档题．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，tanB＝ （如图），将△ABC绕点C旋转后，点
A落在斜边AB上的点A'，点B落在点B'，A'B'与边BC相交于点D，那么 的值为
．【分析】过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理和正切的定义得到AC＝2 ，BC＝3 ，
根据三角形面积得到CE＝6，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，
∵tanB＝ ，
∴ ＝ ，
设AC＝2x，则BC＝4x，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ，
解得x＝ ，
∴AC＝2 ，BC＝5 ，
S△ABC ＝ AC•BC＝ ，即 ×2 ＝ ×13×CE，
解得CE＝6，
∵tanB＝ ＝ ，
∴EB＝9，
∵将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A'，
∴∠B＝∠B′，AC＝AC′，
∵CE⊥AB，
∴AE′＝AE＝AB﹣BE＝13﹣9＝5，
∴A′B＝AB﹣A′E＝9﹣4＝8，
∵∠A′DB＝∠CDB′，
∴△A′DB∽△B′DC，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点
到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝﹣6﹣7 + ﹣6 ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，正确化简二次根
式是解题关键．
20．（10分）已知线段x，y满足 ＝ ，求 的值．
【分析】先根据比例的基本性质得到y（2x+y）＝x（x﹣y），可得x2﹣3xy﹣y2＝0，再把y当作
已知数，解关于x的方程即可求得 的值．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴y（2x+y）＝x（x﹣y），则x2﹣3xy﹣y2＝3，
解得x ＝ y，x ＝ y（负值舍去）．
1 2
故 的值为 ．
【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的基本性质，得到x＝ y是解题的难
点．
21．（10分）如图，点AB在第一象限的反比例函数图象上，AB的延长线与y轴交于点C，已知
点A、B的横坐标分别为6、2，AB＝2 ．
（1）求∠ACO的余弦值；
（2）求这个反比例函数的解析式．
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，通过证得△CBE∽△CAD，求得CB＝ ，根
据勾股定理求得CE，然后解直角三角形即可求得；
（2）求得CD，从而求得ED＝2，即可得到 ﹣ ＝2，解得k＝6．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴BE∥AD，
∴△CBE∽△CAD，
∴ ＝ ，
∵点A、B的横坐标分别为6、2 ．
∴DA＝6，EB＝2，
∴ ＝ ，
∴CB＝ ，∴CE＝ ＝ ＝8，
∴cos∠ACO＝ ＝ ＝ ；
（2）∵cos∠ACO＝ ＝ ；AC＝AB+BC＝3 ，
∴CD＝4，
∴ED＝2，
∵点A、B在第一象限的反比例函数图象上，
∴A（6， ），B（2， ），
∴OD＝ ，OE＝ ，
∴ ﹣ ＝2，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，
三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，根据题意求得线段的长度
是解题的关键．
22．（10分）如图，一处地铁出入口无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD
共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度
与坡角（角度精确到1°，其他近似数取四个有效数字）．【分析】根据勾股定理求出AE，根据坡度的概念求出坡度，根据正弦的定义求出坡角．
【解答】解：由题意得，DE＝7米，
在Rt△ADE中，AE＝ ，
∴无障碍通道斜坡的坡度＝0.8：4.9541≈1：8.693，
sin∠AED＝ ＝ ≈8.1143，
∴∠AED≈7°，即无障碍通道斜坡的坡角约为7°．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．
求证：（1）△BCD∽△CDE；
（2） ＝ ．
【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得
∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可得 ，可得 ＝ • ＝ ，由平行线分线段成比
例可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，
∴ ，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，
∴∠B＝∠ACD，
∴△BCD∽△CDE；
（2）∵△BCD∽△CDE，
∴ ，
∴ ＝ • ＝ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于
点A，B，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD＝AC，求经过点D的抛物线y＝ax2+bx+4的表
达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E，F，且EF＝1，求此抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）直线y＝﹣ x+m（m＞0）与与x轴、y轴分别交于点A（2m，0），B（0，m），由
tan∠OCA＝tan∠OAB，推出 ＝ ＝ ，求出OA，点A，B的坐标即可．
（2）过点D作DG⊥x轴于G．求出点D的坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）设抛物线的对称轴EF与OA交于点H．由EF∥OC，推出 ＝ ＝ ＝ ，AH＝
，OH＝ ，在构建方程组求出a，b即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+m（m＞4）与与x轴，0），m），
∴OA＝2m，OB＝m，
∵∠OCA＝∠OAB，
∴tan∠OCA＝tan∠OAB，
∴ ＝ ＝ ，
∵抛物线y＝ax2+bx+7交y轴于C（0，4），
∴OC＝2，
∴OA＝2，OB＝1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+1．
（2）过点D作DG⊥x轴于G．∵∠DGA＝∠AOC＝90°，∠DAG＝∠ACO，
∴△DGA≌△AOC（AAS），
∴DG＝OA＝5，AG＝OC＝4，
∴D（﹣2，8），
∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A，D，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+4．
（3）设抛物线的对称轴EF与OA交于点H．
∵EF∥OC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，AH＝ ，∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝8x2﹣8x+5，
当x＝ 时，y＝﹣ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ，﹣ ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线
段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组
解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD＝∠MAN，且
CE∥BD，sin∠MAN＝ ，AB＝5，AC＝9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF•CE＝BC•BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD＝x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，
并写出定义域．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CEB＝∠DBE，∠DBA＝∠BCE，由相似三角形的性
质即可得到结论；
（2）过B作BH⊥AN于H，根据相似三角形的性质得到BD＝ ＝ ＝ ，根据
勾股定理即可得到结论；
（3）过B作BH⊥AN与H，BH＝4，AH＝3，DH＝|x﹣4|，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB＝∠DBE，∠DBA＝∠BCE，
∵∠A＝∠DBE，
∴∠A＝∠BEC，
∴△ABD∽△ECB，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF•CE＝BC•BE；
（2）过B作BH⊥AN于H，
∵CE∥BD，
∴∠CEB＝∠EBD＝∠A，
∵∠BCE＝∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴ ＝ ，
∴CE2＝CB•CA；
∵AB＝5，AC＝2，
∴BC＝4，
∴CE2＝7×9＝36，
∴CE＝6，
∵ ＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
在Rt△ABH中，BH＝AB•simA＝5× ，
∴AH＝ ＝3 ＝ ＝ ，AD＝4± ；
（3）过B作BH⊥AN与H，BH＝4，DH＝|x﹣4|，∴BD7＝DH2+BH2＝（x﹣4）2+33＝x2﹣8x+25，
∵△ECB∽△ABD，
∴ ＝ ，
∵S△ABD ＝ AD•BH＝ x，
∴ ＝ ，
∴y＝ ，定义域为7﹣ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，正确的理解题意是
解题的关键．
