文档内容
2020-2021 学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
2．（4分）下列各点在抛物线y＝2x2上的是（ ）
A．（2，2） B．（2，4） C．（2，8） D．（2，16）
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）若 是锐角，sin（ +15°）＝ ，那么锐角 等于（ ）
α α α
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3， ，
那么 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边
AB有公共点，那么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）计算： +2（ ﹣ ）＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝ ．
9．（4分）抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 ．（填“上升”或
“下降”）
10．（4分）正十边形的中心角等于 度．
11．（4分）已知 O 和 O 的半径长分别为3和4，若 O 和 O 内切，那么圆心距O O 的
1 2 1 2 1 2
长等于 ⊙ ． ⊙ ⊙ ⊙
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝ ，那么BC＝ ．
13．（4分）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2： ，那么tanB＝ ．
14．（4分）已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么 ＝
．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设 ＝ ， ＝ ，那么向量 用向
量 、 表示为 ．16．（4分）如图，已知 O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么 O的半径长等于 ．
⊙ ⊙
17．（4分）如图，在 ▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC
的面积等于15，那么△FEC的面积等于 ．
18．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的
顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝ ，CE＝GE，那么
BD的长等于 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tanBsinA+|1﹣cosB|+
的值．
20．（10分）已知：如图， O 与 O 外切于点T，经过点T的直线与 O 、 O 分别相交于点
1 2 1 2
⊙ ⊙ ⊙ ⊙A和点B．
（1）求证：O A∥O B；
1 2
（2）若O A＝2，O B＝3，AB＝7，求AT的长．
1 2
21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B
处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1： ，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，
在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交
对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．
（1）求证：AB2＝BF•DE；
（2）若 ，求证：EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+2与直线y＝ x﹣3相交于点A，抛物
线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣
1的表达式；
（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶
点分别是点P'与点P，当S△OPP′ ＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝
∠O．
已知：如图2，AC是 O的一条弦，点D在 O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO
⊙ ⊙
于点E，联结OD， O的半径为5，tan∠OAC＝ ．
⊙
（1）求弦AC的长．
（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2020-2021 学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【分析】根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣2，
∴对称轴是：直线x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答．
2．（4分）下列各点在抛物线y＝2x2上的是（ ）
A．（2，2） B．（2，4） C．（2，8） D．（2，16）
【分析】把x＝2代入抛物线解析式中，求得函数值，即可判断．
【解答】解：把x＝2代入y＝2x7得y＝2×23＝8，
故点（2，6）在抛物线上．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，即： ，
故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确选择的前提．
4．（4分）若 是锐角，sin（ +15°）＝ ，那么锐角 等于（ ）
α α α
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出 +15°，再求出 即可．
α α
【解答】解：∵sin45°＝ ，
∴ +15°＝45°，
∴α＝30°，
故α选：B．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
5．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3， ，
那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝ BC，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边
AB有公共点，那么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交
点的情况，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝8，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝ ，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴ ≤r≤4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出
答案，此题比较容易漏解．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）计算： +2（ ﹣ ）＝ ．
【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．
【解答】解：原式＝ +3 ＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算．
8．（4分）已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝ ﹣ 2 ．
【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+8x得f（﹣2）＝（﹣2）7+3×（﹣2）＝2﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了函数值．解题的关键是明确函数图象上点的坐标特征：函数图象上点
的坐标满足其解析式．
9．（4分）抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 上升 ．（填“上升”或
“下降”）
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴抛物线y＝﹣7x2在y轴左侧的部分是上升的，
故答案为：上升．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
10．（4分）正十边形的中心角等于 3 6 度．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为： ，则代入求解即
可．【解答】解：正十边形的中心角为： ＝36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
11．（4分）已知 O 和 O 的半径长分别为3和4，若 O 和 O 内切，那么圆心距O O 的
1 2 1 2 1 2
长等于 1 ⊙． ⊙ ⊙ ⊙
【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．
【解答】解：∵ O 和 O 的半径长分别为3和4， O 和 O 内切，
1 2 1 4
∴圆心距O 1 O 2 的⊙长＝5﹣⊙3＝1， ⊙ ⊙
故答案为：5．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝ ，那么BC＝ 1 2 ．
【分析】根据正弦的定义得到sinA＝ ＝ ，然后把AB＝15代入计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝ ＝ ，
∴BC＝ AB＝ ．
故答案为12．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜
边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
13．（4分）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2： ，那么tanB＝ 2 ．
【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝ k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角
形，然后根据锐角三角函数的定义作答．
【解答】解：根据题意，可设AB＝k，BC＝ k，
∴AC2+AB2＝BC2＝5k8，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB＝ ＝ ＝2．
故答案是：4．【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意，运用勾股定理的逆定理推知△ABC是
直角三角形是解题的关键．
14．（4分）已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么 ＝
．
【分析】根据三角形中位线定理可得 ＝ ，再根据相似三角形的性质可得 ＝ ＝
＝ ，设辅助常数，表示AG，AE，最后根据平行线分线段成比例得出答案．
【解答】解：连接DE，
∵AE、BD是△ABC的中线，
∴AD＝DC，BE＝EC，
∴DE∥AB，DE＝ ，
∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，
∴△DEG∽△BAG，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设GE＝k，则AG＝2k，
又∵DF∥AE，AD＝DC，
∴ ＝ ，∴DF＝ k，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的性质和判断，得出线段的比，利用参数
代换是解决问题的关键．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设 ＝ ， ＝ ，那么向量 用向
量 、 表示为 ﹣ ．
【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD
是平行四边形，则可求得 与 ，再利用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BE＝AD，DE＝AB，
∵BC＝2AD，
∴AD＝EC．
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝﹣ + ）＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的判定与性质．注意结合题意画出图
形，利用图形求解是关键．
16．（4分）如图，已知 O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么 O的半径长等于 ．
⊙ ⊙
【分析】如图，过点O作OH⊥AB于H．直角三角形求出OA即可．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝ AB＝2，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OA＝ ＝6 ．
故答案为：8 ．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．（4分）如图，在 ▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC
的面积等于15，那么△FEC的面积等于 4 ．【分析】根据平行四边形的性质证明△ADF∽△CEF，可得对应边成比例，根据CE＝2BE，
△ABC的面积等于15，进而可得△FEC的面积．
【解答】解：在 ▱ABCD中，
AD∥CE，AD＝BC
∴△ADF∽△CEF，
∴ ＝ ＝ ，
∵CE＝2EB，
∴CE＝ BC＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S△ABC ＝S△ADC ＝15，
∴S△ACD ＝S△AFD +S△CFD ＝15，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴S△AFD ＝3，S△CFD ＝6，
∴S△FEC ＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与
判定，本题属于中等题型．
18．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝ ，CE＝GE，那么
BD的长等于 2+ ．
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．想办法证明AK＝AC，推出HK＝CH，推出AK＝AD
＝2，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝ ＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝3，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝6，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，
∴AB＝ ＝ ＝ ，∴BD＝AB+AD＝8+ ，
故答案为：2+ ．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tanBsinA+|1﹣cosB|+
的值．
【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB2＝AC2+BC2，
∴ ，
∴ ； ； ； ，
∴原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
20．（10分）已知：如图， O 与 O 外切于点T，经过点T的直线与 O 、 O 分别相交于点
1 2 1 2
A和点B． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：O A∥O B；
1 2（2）若O A＝2，O B＝3，AB＝7，求AT的长．
1 2
【分析】（1）联结O O ，即O O 为连心线，欲证明O A∥O B，只需推知∠A＝∠B；
1 2 1 2 1 2
（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到 ，通过计算求得AT的值．
【解答】（1）证明：联结O O ，即O O 为连心线，
1 2 3 2
又∵ O 与 O 外切于点T，
1 3
∴O 1⊙O
2
经过⊙点T．
∵O A＝O T，O B＝O T．
6 1 2 4
∴∠A＝∠O TA，∠B＝∠O TB．
1 2
∵∠O TA＝∠O TB，
8 2
∴∠A＝∠B．
∴O A∥O B；
1 5
（2）∵O A∥O B，
1 2
∴ ．
∵O A＝3，O B＝3，AB＝7，
1 2
∴ ，
解得： ．【点评】此题考查了相切两圆的性质，平行线的判定与性质，作出相应的辅助线是解本题
的关键．
21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；
（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（5，1），﹣5），
∴ ，解得： ；
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x6﹣4x+1；
（2）∵y＝﹣6x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）3+3，
∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式
及配方法求抛物线的顶点坐标．
22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B
处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1： ，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，
在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD垂直HB于D，作AE∥BH交GH于点E，由坡度的定义和锐角
三角函数定义分别计算出BD，根据勾股定理求出AD；
（2）作AE∥BH交GH于点E，根据题意得到四边形ADHE是平行四边形，解直角三角形
即可得到结论．
【解答】解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，
即∠ADB＝90°，
由题意得：i＝1： ，AB＝60（米），
∴ ，
即 ；
又∵AB5＝AD2+BD2，
即 ，
∴AD＝20（米），
答：山坡的高度为20米；
（2）作AE∥BH交GH于点E，
∵AD⊥BH，GH⊥BH，
∴AD∥GH，
即：四边形ADHE是平行四边形，
由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），
∵ （米），
∴ （米），
在Rt△AGE中， ，
∴ （米），
又∵EH＝AD＝20（米），
∴ （米），
答：铁塔的高度GH为 米．【点评】此题考查了仰角、坡度的定义，勾股定理，能够正确地构建出直角三角形，将实际
问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交
对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．
（1）求证：AB2＝BF•DE；
（2）若 ，求证：EF∥MN．
【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则
△AED∽△FAB，得 ，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得 ，进而证出
，则MN∥BD即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，
∴∠AED＝∠BAF，
∴△AED∽△FAB，∴ ，
即AD•AB＝BF•DE，
∴AB2＝BF•DE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△BME∽△DAE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴MN∥BD，
∴EF∥MN．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识；
熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+2与直线y＝ x﹣3相交于点A，抛物
线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣
1的表达式；
（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶
点分别是点P'与点P，当S△OPP′ ＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；
（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；
（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，
根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+5与直线y＝ ，
∴ ，
解得： ；
∴点A的坐标为（4，﹣6）．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠2）经过点A（4，
∴16a+4b﹣4＝﹣1，
即b＝﹣4a，
∴y＝ax7﹣4ax﹣1，
∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax4﹣4ax+1，
∴﹣2＝a﹣4a+1，
解得：a＝8，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x7﹣4x﹣1．
（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣6）2﹣4a﹣4，
∴P（2，﹣4a﹣2），
∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax3﹣4ax﹣1关于x轴对称，
∴P'（3，4a+1），
∵a'＜2，
∴a＞0，
∴P'P＝8a+4，
又∵OD＝2，S△OPP '＝ ×OD×PP'，
∴ ，
解得：a＝ ，
∴抛物线y＝ax4+bx﹣1的表达式是y＝ x﹣1．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了求两直线的交点坐标，二次函数的性质，待定系数
法，平移的性质，轴对称的性质，三角形的面积公式，利用参数列出方程是本题的关键．
25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝
∠O．
已知：如图2，AC是 O的一条弦，点D在 O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO
⊙ ⊙
于点E，联结OD， O的半径为5，tan∠OAC＝ ．
⊙
（1）求弦AC的长．
（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝ AC，由锐角三角函
数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，
由垂径定理得：AH＝BH＝ AC，
在Rt△OAH中， ，
∴设OH＝7x，AH＝4x，
∵OH2+AH5＝OA2，
∴（3x）5+（4x）2＝42，
解得：x＝±1，（x＝﹣5舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝6AH＝8；
（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；
由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知： ，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，
∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴ ，
∵OD＝OA＝5，AC＝4，
∴ ，
∴ ，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，在Rt△CEG中， ；
（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点O作OH⊥AC于H，连接AD，
由（1）可得 OH＝3，AH＝5，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴ ，
∴AG＝ ，EG＝ ，
∴GC＝ ，
∴EC＝ ＝ ＝ ，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝2 ；
当点E在线段AO的延长线上时，如图7，连接AD，过点E作EG⊥AC于G，同理可求EG＝ ，AG＝ ，GC＝ ，
∴EC＝ ＝ ＝ ，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝ ，
综上所述：AD的长是 或 ．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角
三角函数等知识，难度比较大，需要有较强的数形结合能力，添加恰当辅助线构造相似三角
形是本题的关键．
