文档内容
2020-2021 学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题
号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
2．（4分）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
3．（4分）已知 、 是两个单位向量，向量 ＝3 ， ＝﹣3 ，那么下列结论正确的是（
）
A． ＝ B． ＝﹣ C．| |＝| | D．| |＝﹣| |
4．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
5．（4分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（ ）
A．5（3﹣ ） B．10（ ﹣2） C．5（ ﹣1） D．5（ +1）
6．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如
果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（ ）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•AC
C．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写
答案]
7．（4分）已知 ＝ ，那么 的值为 ．
8．（4分）计算： （2 ﹣ ）+ ＝ ．
9．（4分）计算： cos45°+sin260°＝ ．
10．（4分）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比
为 ．
11．（4分）将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 ．
12．（4分）一辆汽车沿着坡度i＝1： 的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下
降了 米．
13．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y ）和B（2，y ），比较y 与y 的大小：y
1 2 1 2 1
y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．
2
14．（4分）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 ．
15．（4分）已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝ ．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
16．（4分）如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于
．17．（4分）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点
F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于 ．
18．（4分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做
这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝ ，AD＝CD＝ ，点E、
点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF
的长等于 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（10分）已知二次函数y＝﹣ x2﹣x+ ．
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x的
变化而变化的情况．
20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设
＝ ， ＝ ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）在图中作出 在 、 上的分向量，并直接用 、 表示 ．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC， ＝
．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6 ，求 的值．
22．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面
示意图．
身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时
在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此
时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，
求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，
sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75， ≈1.73．）
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，
联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，
0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
①如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
②
25．（14分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，
作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的
中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关
于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）2020-2021 学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题
号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵cosB＝ ，∠B＝50°，
∴BC＝AB•cosB＝10•cos50°，
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，选择合适的边角关系是得出正确答案的关键．
2．（4分）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．
【解答】解：A、四个角对应相等，原命题是假命题；
B、四个内角对应相等，原命题是假命题；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似；
D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难
度不大．
3．（4分）已知 、 是两个单位向量，向量 ＝3 ， ＝﹣3 ，那么下列结论正确的是（
）
A． ＝ B． ＝﹣ C．| |＝| | D．| |＝﹣| |【分析】根据题意可以得到： 与 方向相同， 与 方向相同．
【解答】解：根据题意知， 与 方向相同， 与 ．
A、当向量 与 ， ＝ ，故本选项不符合题意．
B、当 、 是两个单位向量方向相同时， ，故本选项不符合题意．
C、由向量 ， ＝﹣3 知，| |，故本选项符合题意．
D、由向量 ， ＝﹣3 知，| |，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，平面向量的模只有
大小，没有方向．
4．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
【分析】根据抛物线开口方向以及与y轴的交点情况即可进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，故选项A、B，选项C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次
项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开
口；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．5．（4分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（ ）
A．5（3﹣ ） B．10（ ﹣2） C．5（ ﹣1） D．5（ +1）
【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（ ﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算
即可．
【解答】解：如图，∵点P，AB＝10，
∴BP＝AQ＝ AB＝5（ ，
∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（ ﹣1）﹣10＝10（ ，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是
AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．
6．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如
果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（ ）
A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•AC
C．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD
【分析】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A选项
进行判断；由△ABE∽△CBA 得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明
△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证
明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用
△CBA∽△ABE得到AB•AC＝AE•CB，由于AE2＝CD•BE，AE≠CB，则可对D选项进行
判断．
【解答】解：∵△ABE∽△CBA，
∴AB：BC＝BE：AB，
∴AB2＝BE•BC，所以A选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，
∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，
∴∠ADE＝∠BAC，
∵∠ADC＝∠BAC，
∴△CAD∽△CBA，
∴CD：AC＝AD：AB，
即CD•AB＝AD•AC，所以B选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，
∴△CAD∽△ABE，
∴AD：BE＝CD：AE，
即AD•AE＝CD•BE，
∵AD＝AE，
∴AE2＝CD•BE，所以C选项的结论正确；
∵△CBA∽△ABE，
∴AC：AE＝CB：AB，
∴AB•AC＝AE•CB，
∵AE6＝CD•BE，AE≠CB，
∴AB•AC≠BE•CD，所以D选项的结论不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似
三角形（多边形）的周长的比等于相似比．也考查了相似三角形的判定．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写
答案]
7．（4分）已知 ＝ ，那么 的值为 ﹣ 3 ．
【分析】利用比例性质得到y＝2x，把y＝2x代入 ，然后进行分式的化简．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴y＝7x，∴原式＝ ＝﹣ ．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质（内项之积等于外项之积、合比性质、
分比性质、合分比性质、等比性质）进行计算．
8．（4分）计算： （2 ﹣ ）+ ＝ + ．
【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．
【解答】解：原式＝ ﹣ + ＝ + ．
故答案是： + ．
【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算．
9．（4分）计算： cos45°+sin260°＝ ．
【分析】将cos45°＝ ，sin60°＝ 代入求解．
【解答】解：原式＝ × +（ ）5＝1+ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数
值．
10．（4分）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比
为 5 ： 4 ．
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为4：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4，
故答案为：5：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似
比是解答此题的关键．
11．（4分）将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 y ＝ 2 x 2 ﹣ 4 ．
【分析】先确定抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，﹣4），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的表达
式．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣1），﹣7）向下平移3个单位后所得对应
点的坐标为（0，所以平移后的抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．
故答案为y＝8x2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以
求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的
坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．（4分）一辆汽车沿着坡度i＝1： 的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下
降了 2 5 米．
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵坡度i＝1： ，
∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了 ．
根据勾股定理可得：x2+（ x）3＝502．
解得x＝25（负值舍去），
即它距离地面的垂直高度下降了25米．
故答案为：25．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡
角定义．
13．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y ）和B（2，y ），比较y 与y 的大小：y
1 2 1 2 1
＞ y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．
2
【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y 与y 的值，然后比较
1 2
它们的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣3，y ）和B（2，y ），
1 4
∴y ＝（﹣1）7﹣2×（﹣1）+c＝7+c，y ＝28﹣2×2+c＝c，
1 2
∵y ﹣y ＝3＞6，
8 2
∴y ＞y ，
1 2
故答案是：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．抛物线上的点关于对称轴对称，且都
满足函数函数关系式．
14．（4分）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 1 5 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ＝ ＝ ，这样可求出FD的长，然后计算
CF+FD即可．
【解答】解：∵AC∥EF∥BD，
∴ ＝ ＝ ，
∴FD＝ CF＝ ，
∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
15．（4分）已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝ 1 2 ．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝﹣3时的函数值与x＝5时的函数值
相同．
【解答】解：由图可知，f（﹣3）＝f（5）＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获
取信息是解题的关键．
16．（4分）如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于
．【分析】根据题意画出图形，延长BG交AC于点H，由等腰三角形的性质可得出BH⊥AC，
由重心的性质可得GH的长，最后由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图所示：延长BG交AC于点H，
∵G是△ABC的重心，AC＝4，
∴AH＝CH＝2，
∵AG＝CG，
∴BH⊥AH，
∴∠AHB＝90°，
∵BG＝6，
∴GH＝1，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是三角形的重心和等腰三角形的性质，熟知重心到顶点的距离与重心
到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．
17．（4分）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点
F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于 ．【分析】首先根据题意得到EG＝CG，CE⊥BD，证明△CDF∽△BCD和△CDG∽△BDC，
可计算CD和CG的长，再证明△EFD∽△AED，可得AE的长．
【解答】解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DFG+∠FDG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG+∠CDG＝90°，
∴∠CDG＝∠DFG，
∵∠CDF＝∠BCD＝90°，
∴△CDF∽△BCD，
∴ ，
∵AB＝4，DF＝1，
∴ ，
∴CD＝2，
由勾股定理得：CF＝ ＝ ，BD＝ ，
同理得：△CDG∽△BDC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴CG＝ ，
∴CE＝2CG＝ ，
∴EF＝CE﹣CF＝ ﹣ ＝ ，
∵ ＝ ， ＝ ＝ ，且∠EDF＝∠AED，
∴△EFD∽△AED，
∴ ，即 ，
∴AE＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、
勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．
18．（4分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做
这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝ ，AD＝CD＝ ，点E、
点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF
的长等于 ．
【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出
EF的长即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴AC2＝BC•AD，
∵AC＝ ，AD＝ ，
∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝8，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝ ，
∴AF＝ ，
∵AD＝ ，E为AD中点，
∴AE＝ ，
∴EF＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是
掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（10分）已知二次函数y＝﹣ x2﹣x+ ．
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x的
变化而变化的情况．
【分析】（1）直接利用配方法进而将二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）根据二次函数的二次项系数判断该函数图象的开口方向，由二次函数的顶点式关系式找出其顶点坐标、对称轴，由二次函数的单调性来判断y随自变量x的变化而变化的情况．
【解答】解：（1）y＝﹣ x4﹣x+ ．
＝﹣ （x2+4x+1）+ + ，
＝﹣ （x+1）2+4；
（2）∵a＝﹣ ＜0，
∴二次函数图象的开口向下，
顶点坐标为（﹣1，7），
对称轴为直线x＝﹣1，图象在直线x＝﹣1左侧，在直线x＝﹣6右侧．
【点评】本题主要考查的是二次函数的一般式与顶点式的转化方法，及二次函数的性质．
20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设
＝ ， ＝ ．
（1）试用 、 表示 ；
（2）在图中作出 在 、 上的分向量，并直接用 、 表示 ．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
【分析】（1）首先证明BO＝ BE，求出 即可解决问题．
（2）证明OC＝ AC，求出 即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝EC，
∴ ＝ ＝ ，∴BP＝ BE，
∴ ＝ ＝ （ + ）＝ （ ﹣ ﹣ ．
（2）∵AE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ （ + ）＝ （ + + ．
如图， 在 、 上的分向量分别为 和 ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC， ＝
．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6 ，求 的值．
【分析】（1）先由平行线分线段成比例定理得 ＝ ，再证 ＝ ，即可得出结论；
（2）先证 ＝ ，再证△ADE∽△AEB，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF∥BE；
（2）解：∵AF＝2，EF＝4，
∴AE＝AF+EF＝6， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ AB＝2 ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△AEB，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识熟练掌握平行
线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．
22．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面
示意图．
身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时
在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此
时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，
求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，
sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75， ≈1.73．）【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，设AE＝x米．通过解直角三
角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC＝BE﹣CE得到1.73x﹣0.75x＝0.98，解得即可求
得AE 进而即可求得．
【解答】解：延长BC交AD于点E，设AE＝x米．
∵ ，
∴CE＝ ≈0.75x ≈1.73x，
∴BC＝BE﹣CE＝6.73x﹣0.75x＝0.98．
解得x＝4，
∴AE＝1，
∴AD＝AE+ED＝1+3.6＝2.2（米）．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造
直角三角形并解直角三角形．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，
联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到
∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到 ＝ ，根
据相似三角形的面积公式计算，证明结论．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC＝90°，
∴∠ACH＝∠CBH，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴△ACE∽△ABD；
（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，
∴∠CAD＝∠G，
∵△ACE∽△ABD，
∴ ＝ ，∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠G，
∴AB＝BG，
∵BG∥AC，
∴△ADC∽△GDB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，
0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
①如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
②
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组，即可得出结论；
（2） 先求出点D坐标，进而求出BC，CD，DB，判断出△BDC是直角三角形，即可得出
结论①；
构造出等腰三角形，利用对称性求出点F的坐标，进而求出直线CF的解析式，进而联
②立抛物线解析式，解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣8，﹣6），0），∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2） 如图1，
①
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2，
当x＝5时，y＝2，
∴C（0，5），y＝﹣ ×2+5＝4，
∴D（2，5），
∵B（6，0），
∴CD4＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（3﹣0）2+（7﹣2）2＝40，
DB3＝（6﹣2）4+（0﹣4）7＝32，
∴CD2+BC2＝DB7，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，CD＝2 ，
∴cot∠DCB＝ ＝ ＝ ；
如图2，
②过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO，
∵∠DCB＝2∠CBO，
∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，
∵C（5，2），0），
∴F（4，4），
∴6k+8＝4，
∴k＝ ，∴直线CF的解析式为y＝ x+5 ，
①
∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+8 ，
②
联立 ，解得 或 ，
①②
∴D（4， ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，等腰三角形
的性质，构造出等腰三角形是解本题的关键．
25．（14分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，
作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的
中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关
于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
【分析】（1）由“AAS”可证△AGM≌△DGF，可得AM＝DF＝4，AG＝GD＝ AD＝2，由
勾股定理可求GF的长，由锐角三角函数可求MC的长，即可求解；
（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，通过证明△FHM∽△MHC，可得
，可求FH＝ ，PH＝ ，DP＝2﹣ ，GP＝ x，由勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点G为线段MF的中点，
∴GF＝MG，
又∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AGM＝∠FGD，
∴△AGM≌△DGF（AAS），
∴AM＝DF＝4，AG＝GD＝ ，
∴GF＝ ＝ ＝2 ，
∴FM＝8GF＝4 ，
∵tanF＝ ，
∴ ，
∴MC＝2 ，
∴S△MFC ＝ ×FM×MC＝ ×2 ；
（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，∴GP∥MH，MH＝AD＝x，
∴ ＝ ，
∴GP＝ MH＝ x FH＝ ，
∵∠CMF＝90°＝∠FHM＝∠CHM，
∴∠F+∠FCM＝90°＝∠F+∠FMH＝∠FCM+∠CMH，
∴∠F＝∠CMH，∠FCM＝∠CMH，
∴△FHM∽△MHC，
∴ ，
∴MH2＝FH•HC，
∴FH＝ ，
∴PH＝ ，
∴DP＝2﹣ ，GP＝ x，
∵DG8＝DP2+GP2，
∴y＝ +4（2 ；
（3）如图2，当点G在矩形的内部时，连接AG，∵∠FMC＝90°，
∴∠AME+∠CMB＝90°＝∠CMB+∠BCM，
∴∠AME＝∠MCB，
∵∠EDG＝∠EFD＝∠AME＝∠MCB，AD＝BC，
∴△ADJ≌△BCM（ASA），
∴AJ＝BM＝2，
∴JM＝4，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴MJ＝FD＝4，GJ＝DG，
∴AG＝DG＝GJ，
∴∠GAD＝∠GDA＝∠GFD，
又∵∠AEG＝∠FED，
∴∠AGE＝∠FDE＝90°，
又∵FG＝GM，
∴AF＝AM＝6，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
当点G在矩形的外部时，延长DG交BA的延长线于L，
同理可求AD＝2 ，
综上所述：AD＝3 或2 ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．
