文档内容
2018 年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（ ）
A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10
2．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C．2x4+3=0 D．
3．（4分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，
利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺
丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，
B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（ ）
A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm
4．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．如果k=0或 ，那么
B．设m为实数，则
C．如果 ，那么
D．在平行四边形ABCD中，
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．3
6．（4分）将抛物线y =x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，
1
与抛物线y =ax2+bx+c重合，现有一直线y =2x+3与抛物线y =ax2+bx+c相交，当
2 3 2
第1页（共29页）y ≤y 时，利用图象写出此时x的取值范围是（ ）
2 3
A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ，则 的值是 ．
8．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那
么AP长为 厘米．
9．（4分）已知△ABC的三边长是 、 、2，△DEF的两边长分别是1和 ，如果
△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是 ．
10．（4分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，
a），那么这个反比例函数的解析式是 ．
11．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的
部分是上升的，那么a 0．（填“＜”或“＞”）
12．（4分）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值
是 ．
13．（4分）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC
是6米，那么斜坡AB′的长度是 米．
14．（4分）在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G是重心，联结BG，那么
∠CBG的余切值是 ．
15．（4分）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=
．
16．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和点F分别在两腰AB和DC上，且EF是
梯形的中位线，AD=3，BC=4．设 ，那么向量 = ．（用向量 表示）
第2页（共29页）17．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线MN∥BC，且分别交边
AB，AC于点M、N，已知直线MN将△ABC分为面积相等的两部分．如果将线段
AM绕着点A旋转，使点M落在边BC上的点D处，那么BD= ．
18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE
折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣tan60°×sin60°．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C
点，求△ABC的面积．
22．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个
观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，
AB=600米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）
第3页（共29页）（参考数据： ≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）
23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上
一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）如果 ，求 的值．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣ ，经过点
A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1）求此抛物线顶点C的坐标；
（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对
称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．
25．（14分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平
分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
第4页（共29页）（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长
线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞
0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含
a的代数式表示）
第5页（共29页）2018 年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（ ）
A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10
【考点】46：同底数幂的乘法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法计算即可．
【解答】解：（﹣a2）•a5=﹣a7，
故选：B．
【点评】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C．2x4+3=0 D．
【考点】AF：高次方程；AG：无理方程；B2：分式方程的解．
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【专题】52：方程与不等式．
【分析】A、移项根据二次根式的性质即可判断；
B、去分母后，化为整式方程即可判断；
C、根据乘方的意义即可判断；
D、去分母化为整式方程即可判断；
【解答】解：A、由题意 =﹣1＜0，方程没有实数根；
B、去分母得到：x2﹣x+1=0，△＜0，没有实数根；
C、由题意x4=﹣ ＜0，没有实数根，
D、去分母得到：x=﹣1，有实数根，
故选：D．
【点评】本题考查了无理方程，解题的关键要注意是否有实数根，有实数根时是否
有意义，用到的知识点是根的判别式．
第6页（共29页）3．（4分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，
利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺
丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，
B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（ ）
A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形
判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，
∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴ = = ，
∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，
通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．
4．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．如果k=0或 ，那么
B．设m为实数，则
C．如果 ，那么
D．在平行四边形ABCD中，
【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【专题】55：几何图形．
第7页（共29页）【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．
【解答】解：A、如果k=0或 ，那么 ，正确；
B、设m为实数，则 ，正确；
C、如果 ，那么 或 ，错误；
D、在平行四边形ABCD中， ，正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是向量问题，关键是了解即方向相同或相反的非零向量a、b
叫做平行向量．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】T4：互余两角三角函数的关系．
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【专题】33：函数思想．
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴cosA= = = ，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA= ．
故选：A．
【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转
换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
6．（4分）将抛物线y =x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，
1
与抛物线y =ax2+bx+c重合，现有一直线y =2x+3与抛物线y =ax2+bx+c相交，当
2 3 2
y ≤y 时，利用图象写出此时x的取值范围是（ ）
2 3
A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；HC：二次函数与不等式（组）．
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第8页（共29页）【专题】31：数形结合．
【分析】先利用配方法得到抛物线y =x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），再利用抛
1
物线的变换规律得到平移后的抛物线解析式为y=x2，然后解方程组 得
或 ，然后利用函数图象写出一次函数图象在抛物线y=x2上方（含交
点）所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：y =x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4），
1
所以抛物线y =x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式
1
为y=x2，
解方程组 得 或 ，
所以当﹣1≤x≤3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是
常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置
关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式
列成不等式求解．也考查了二次函数图象与几何变换．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ，则 的值是 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据等比性质： = ，可得答案．
⇒
【解答】解：由等比性质，得
= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．
第9页（共29页）8．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那
么AP长为 （ ﹣ 1 ） 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP= AB，代入数据
即可得出AP的长．
【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，
∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，
∴AP= AB=2× =（ ﹣1）厘米．
故答案为（ ﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且
较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄
金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
9．（4分）已知△ABC的三边长是 、 、2，△DEF的两边长分别是1和 ，如果
△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】55D：图形的相似．
【分析】设第三边为x，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：设第三边为x，
∵ ： =1： ，
∵ 与1是对应边， 与 是对应边，
∵△ABC与△DEF相似，
∴ = = ，
解得x= ，
即△DEF的第三边应该是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；
第10页（共29页）（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
10．（4分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，
a），那么这个反比例函数的解析式是 y = ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据题意可以求得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式
即可解答本题．
【解答】解：将x=1代入y=2x，得y=2，
∴点A（1，2），
设反比例函数解析式为y= ，
∵一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，2），
∴2= ．
解得，k=2，
即反比例函数解析式为y= ，
故答案为：y= ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式．
11．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的
部分是上升的，那么a ＜ 0．（填“＜”或“＞”）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】17：推理填空题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即
可得出a＜0，此题得解．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
第11页（共29页）∴a＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．
12．（4分）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值
是 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】33：函数思想．
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．
【解答】解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=
（x+m﹣2）2．其对称轴为：x=2﹣m=0，
解得m=2．
故答案是：2．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接
代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13．（4分）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC
是6米，那么斜坡AB′的长度是 6 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先利用坡度的定义，求出水平宽度AC的长，再利用勾股定理得出斜坡AB
的长度．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度i=1：4，
∴ = ，
∵从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，
∴ = ，
解得：AC=24，
第12页（共29页）则斜坡AB的长为： = =6 （米）．
故答案为6 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理．掌握坡度的
定义是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，
它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
14．（4分）在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G是重心，联结BG，那么
∠CBG的余切值是 4 ．
【考点】K5：三角形的重心；KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出
AD的长，再利用重心的性质即可求出GA的长，进而得出DG的长，利用勾股定
理和三角函数解答即可．
【解答】解：：∵AB=AC=5，BC=8，点G为重心，
∴AD⊥BC，BD=CD= BC= ×8=4，
∴AD= = =3，
∴GA=2，
∴DG=1，
∴BG= ，
∴∠CBG的余切值= = =4，
故答案为：4
【点评】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确
等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一．
15．（4分）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=
第13页（共29页）12 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】由∠ABD=∠C、∠BAD=∠CAB 证△ABD∽△ACB，得 ，即
AB2=AC•AD，据此可得．
【解答】解：∵∠ABD=∠C、∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ ，即AB2=AC•AD，
∵AD=9，DC=7
∴AC=16，
∴AB=12，
故答案为：12
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性
质是解本题的关键．
16．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和点F分别在两腰AB和DC上，且EF是
梯形的中位线，AD=3，BC=4．设 ，那么向量 = ．（用向量 表示）
【考点】LL：梯形中位线定理；LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】利用梯形的中位线定理即可解决问题；
【解答】解：∵EF是梯形的中位线，
∴EF= （AD+BC），
∵AD：BC=3：4， = ，
∴BC= AD，
第14页（共29页）∴ = （ + ）= （ + ）= ．
故答案为
【点评】本题考查平面向量、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考基础题．
17．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线MN∥BC，且分别交边
AB，AC于点M、N，已知直线MN将△ABC分为面积相等的两部分．如果将线段
AM绕着点A旋转，使点M落在边BC上的点D处，那么BD= 3 ．
【考点】R2：旋转的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55D：图形的相似．
【分析】依据直线MN∥BC，可得△AMN∽△ABC，再根据直线MN将△ABC分为面
积相等的两部分，即可得到S ：S =1：2，进而得出 = ，解得AM=3，
△AMN △ABC
过A作AD⊥BC于D，则AD= BC=3，故将线段AM绕着点A逆时针旋转45°，可
以使点M落在边BC上的点D处，此时BD= BC=3．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，
∴AB=cos45°×BC=3 ，
∵直线MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵直线MN将△ABC分为面积相等的两部分，
∴S ：S =1：2，
△AMN △ABC
∴ = = ，即 = ，
第15页（共29页）解得AM=3，
如图，过A作AD⊥BC于D，则AD= BC=3，
∴将线段AM绕着点A逆时针旋转45°，可以使点M落在边BC上的点D处，
此时，BD= BC=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质以及旋转
的性质的运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE
折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为
1.5 或 3 ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】1：常规题型．
【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定
理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，
然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判断
出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．
【解答】解：分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
第16页（共29页）∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△ABC中，AC= = =5，
设BE=x，则CE=BC﹣BE=4﹣x，
由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x，
∴CF=AC﹣AF=5﹣3=2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+22=（4﹣x）2，
解得x=1.5，
即BE=1.5；
②当∠CEF=90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF= ×90°=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=3，
综上所述，BE的长为1.5或3．
故答案为：1.5或3．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性
质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情
况讨论，作出图形更形象直观．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣tan60°×sin60°．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
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第17页（共29页）【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式= + ﹣ ×
=2+ ﹣
=1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用②式求出x﹣y即可解决问题．
【解答】解：由②得：（x﹣y﹣3）（x﹣y+1）=0
∴x﹣y=3或 x﹣y=﹣1
∴ 或
∴ 或 ．
【点评】本题考查二元二次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，把
二元二次方程组转化为二元一次方程组．
21．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C
点，求△ABC的面积．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法
求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）设顶点式y=a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物
线的解析式；
第18页（共29页）（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积
公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，
将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣3）2+5，
（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3
∴B（5，3），
令x=0，y=﹣ （x﹣3）2+5= ，则C（0， ），
△ABC的面积= ×（5﹣1）×（3﹣ ）=5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次
函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列
三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式
来求解．
22．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个
观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，
AB=600米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据： ≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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第19页（共29页）【专题】1：常规题型．
【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，易求AD的长，再由BD=MD可得BD的长，
即M到AB的距离；
（2）过点N作NE⊥AB于点E，易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可
求出，再根据MN=AB﹣AD﹣BE计算即可．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA=∠MDB=90°，
∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，
∴在Rt△ADM中， ；
在Rt△BDM中， ，
∴ ，
∵AB=600m，
∴AD+BD=600m，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点M到AB的距离 ．
（2）过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴ ，MN=DE，
∵∠NBA=53°，
∴在Rt△NEB中， ，
∴ ，
∴ ．
第20页（共29页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中
的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系
去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的
关键．
23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上
一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）如果 ，求 的值．
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55D：图形的相似．
【分析】（1）依据∠CDB=∠DBA=45°=∠A，∠EBA=∠CBD，即可判定
△CBD∽△EBA；
（2）依据△CBD∽△EBA，可得 ，再根据∠CBE=∠DBA， ，即可得到
的值．
【解答】证：（1）∵∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠A=∠DBA=45°，
第21页（共29页）又∵DC∥AB，
∴∠CDB=∠DBA=45°=∠A，
又∵∠CBE=∠DBA=45°，
∴∠EBA=∠CBD，
∴△CBD∽△EBA；
（2）∵△CBD∽△EBA，
∴ ，
∵∠CBE=∠DBA， ，
∴ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等
知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决
问题（2）的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣ ，经过点
A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1）求此抛物线顶点C的坐标；
（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对
称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．
第22页（共29页）【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用
待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C
的坐标．
（2）本题介绍三种解法：
方法一：分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=﹣x﹣1，直线BD：y=
x﹣1，可得D和P的坐标，证明△BPG∽△CPH和△HPG∽△CPB，列比例式可
得HG的长；
方法二：如图 2，过点 H 作 HM⊥CG 于 M，先根据勾股定理的逆定理证明
∠BCD=90°，利用面积法求CH的长，再证明△OBD∽△MCH，列比例式可得CM
的长，从而可得结论；
方法三：直线AC：y=﹣x﹣1，求CH和BD的解析式，联立方程组可得H的坐标，由
勾股定理可得GH的长．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
∴顶点C（2，﹣3）
（2）方法一：设BD与CG相交于点P，
设直线AC的解析式为：y=kx+b
第23页（共29页）把A（﹣1，0）和C（2，﹣3）代入得：
解得：
则直线AC：y=﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1），
同理可得直线BD：y= x﹣1，
∴
∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH
∴△BPG∽△CPH，
∴
∴△HPG∽△CPB，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，
∵ ， ， ，
∴BD2=CD2+BC2，
∴∠BCD=90°，
∵S = BD•CH= BC•CD，
△BCD
∴ ，
∵∠ABD=∠HCG，
∴△OBD∽△MCH，
第24页（共29页）∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得：GH=
∴ ，
方法三：直线AC：y=﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1），
直线BD：y= x﹣1，
∵CH⊥BD，
∴k •k =﹣1，
BD CH
∴直线CH：y=﹣5x+7，
联立解析式： ，解得： ，
∴
∴ ．
第25页（共29页）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、联立方程组
求交点坐标等重要知识点，综合性强，能力要求较高．还考查了数形结合的数
学思想方法．
25．（14分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平
分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长
线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞
0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含
a的代数式表示）
【考点】LO：四边形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，进而得出∠DCA=∠BAC，
∠DAC=∠BCA，即可得出结论；
（2）先判断出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出结论；
第26页（共29页）（3）分三种情况，①当CE=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出
结论，
②当CG=CE时，先判断出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断
出FB=AC，即可得出结论；
③当EG=GE时，判断出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，判断出此种情况不
存在．
【解答】（1）证明：∵AD=DC，AB=BC
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA
又AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠BAC
∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，
∴AB∥DC，AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
又AD=DC
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AF∥BC，AB=BC
∴∠AFB=∠CBF，∠FAC=∠ACB，∠ACB=∠BAC
∴∠EBC=∠BAC=∠AFB=∠FAC=∠ACB
∴△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC
∴
∴BC2=EC•AC
∴a2=EC•x
∴ ，
∴AE=AC﹣EC=x﹣ ，
∵△AEF∽△ABC
∴ ，
第27页（共29页）即
∴ （ ）；
（3）解：∵△CEG是等腰三角形，
①当CE=EG时，
∴∠CGE=∠ECG，
∵∠ECG=∠CBF，
∴∠CGE=∠CBF，
∵∠CGB=∠ABF，
∴∠ABF=∠CBF，
此时，点F，G和点D重合，
∴AF=AB，
∴y=a，
即 ∴ ，
②当CG=CE时，
∴∠CEG=∠CGB，
∵∠CEG=∠ACB+∠CBF=2∠ACB=∠BCD，
∴∠CGB=∠BCD，
∵∠FDG=∠BAD=∠BCD，
∴∠FDG=∠FGD，
∴FG=FD，
∴AF=BF，
∵∠EBCC=∠ECB，
∴BE=CE，
∵∠EAF=∠EFA，
∴AE=EF，
∴FB=AC
第28页（共29页）∴y=x即
∴ （负值已舍），
③当EG=CG时，
∴∠CEG=∠ACD，
∵∠ACD=∠CBF，
∴∠CEG=∠CBF，
∵∠CEG=∠CBF+∠ACB，
∴此种情况不存在．
综上所述： 或 时，△CEG为等腰三角形．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解本题的关键是找出相
关角之间关系．
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日期：2018/12/23 23:59:19；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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