文档内容
2018 年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（ ）
A．x2+1 B． xy2 C．2xy D．（﹣ ）2
2．（4分）下列运算结果正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．2a2+a=3a3
C．a3•a2=a5 D．2a﹣1= （a≠0）
3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y= （k≠0）图象在每个象限内y随着
x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知
道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的
（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那
么圆O与直线a的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：|﹣1|+22= ．
第1页（共27页）8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3= ．
9．（4分）方程 =1的根是 ．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是
．
11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣ x平行，且截距为5，那么这条直
线的解析式为 ．
12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5
秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．
13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分
别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为 ．
14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设 = ， = ，
那么 = （用 、 的式子表示）．
15．（4分）如果二次函数y=a x2+b x+c（a ≠0，a 、b 、c 是常数）与y=a x2+b x+c
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
（a ≠0，a 、b 、c 是常数）满足a 与a 互为相反数，b 与b 相等，c 与c 互为倒
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的
“亚旋转函数”为 ．
16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为 ．
（用锐角α的三角比表示）
17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l
的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得
点A的俯角为 30o，点 B的俯角为 60o．那么此车从 A到B的平均速度为
米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
第2页（共27页）18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=
，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，
那么PD= ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +（﹣1）2018﹣2cos45°+8 ．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为
边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC= ．
（1）求点C的坐标；
（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得
2S =S ，求点M的坐标．
△ABM △ABC
第3页（共27页）22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的
现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上
下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车
所用时间比驾车所用时间多 小时，求自行车的平均速度？
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的
平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．
（1）求证：BF•BC=AB•BD；
（2）求证：四边形ADGF是菱形．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于
点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，
以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重
合）．
第4页（共27页）（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果 =2 ，求ED的长；
（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．
第5页（共27页）2018 年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（ ）
A．x2+1 B． xy2 C．2xy D．（﹣ ）2
【考点】42：单项式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据单项式的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2xy是二次单项式，
故选：C．
【点评】本题考查单项式的定义，解题的关键是正确理解单项式的定义，本题属于
基础题型．
2．（4分）下列运算结果正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．2a2+a=3a3
C．a3•a2=a5 D．2a﹣1= （a≠0）
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式；6F：负整数指数
幂．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；
（B）2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；
（D）原式= ，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题
第6页（共27页）属于基础题型．
3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y= （k≠0）图象在每个象限内y随着
x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，
∴k＞0，
∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象的分布是
解题关键．
4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知
道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的
（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
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【专题】1：常规题型．
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前
5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要
判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意
义．
5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
第7页（共27页）B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判
定．
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【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根
据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩
形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边
形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是
菱形，故本选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD是
矩形，故本选项错误；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方
形，故本选项正确；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那
么圆O与直线a的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．
【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，
∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，
故选：D．
第8页（共27页）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大
小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直
线与圆相离．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：|﹣1|+22= 5 ．
【考点】1G：有理数的混合运算．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．
【解答】解：原式=1+4=5，
故答案为：5
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3= ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
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【专题】44：因式分解．
【分析】符合平方差公式的特点，可以直接分解．平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣
b）．
【解答】解：4a2﹣3= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平方差公式分解因式，把4a2写成（2a）2，3写成 （ ）2是利用平
方差公式的关键．
9．（4分）方程 =1的根是 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】本题思路是两边平方后去根号，解方程．
【解答】解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
故本题答案为：x=1．
【点评】平方时可能产生增根，要验根．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是
m ．
第9页（共27页）【考点】AA：根的判别式．
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【专题】1：常规题型；523：一元二次方程及应用．
【分析】由根的情况，由根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值
范围．
【解答】解：
∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，
∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，
解得m＜﹣ ，
故答案为：m＜﹣ ．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别
式的关系是解题的关键．
11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣ x平行，且截距为5，那么这条直
线的解析式为 y=﹣ x + 5 ．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出k，根据“截距为5”计算求
出b值，即可得解．
【解答】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣ x，
∴k=﹣ ．
又∵截距为5，
∴b=5，
∴这条直线的解析式是y=﹣ x+5．
故答案是：y=﹣ x+5．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k值相等
第10页（共27页）是解题的关键．
12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5
秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结
果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是
绿灯的概率为多少即可．
【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结
果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．
13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分
别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为 8 ．
【考点】V6：频数与频率．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先根据频率=频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一
步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．
【解答】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是 =0.7，
又∵第五组的频率是0.10，
∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，
∴第六组的频数为：40×0.2=8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据
总和，各小组频率之和等于1，比较简单．
14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设 = ， = ，
第11页（共27页）那么 = ﹣ （用 、 的式子表示）．
【考点】LB：矩形的性质；LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】根据 = + ，只要求出 、 即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴ = = ， = = ，
∵AE=2DE，
∴ = ，
∵ = + ．
∴ = ﹣ ，
故答案为 ﹣ ．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题
型．
15．（4分）如果二次函数y=a x2+b x+c（a ≠0，a 、b 、c 是常数）与y=a x2+b x+c
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
（a ≠0，a 、b 、c 是常数）满足a 与a 互为相反数，b 与b 相等，c 与c 互为倒
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的
“亚旋转函数”为 y= x 2 + 3x﹣ ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】23：新定义．
第12页（共27页）【分析】根据“亚旋转函数”的定义解答．
【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等
的数是3，﹣2的倒数是﹣ ，
∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为 y=x2+3x﹣ ．
故答案是：y=x2+3x﹣ ．
【点评】考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是读懂“亚旋转函数”的
定义，找到“二次函数y=a x2+b x+c（a ≠0，a 、b 、c 是常数）与y=a x2+b x+c
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
（a ≠0，a 、b 、c 是常数）满足a 与a 互为相反数，b 与b 相等，c 与c 互为倒
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
数”中的关键信息．
16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为 cotα
（或 ） ．（用锐角α的三角比表示）
【考点】MM：正多边形和圆；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据三角函数解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵正n边形的中心角为2α，边长为5，
∵边心距OD= （或 ），
故答案为： （或 ），
【点评】此题主要考查了正多边形与圆，关键是根据三角函数解答．
17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l
的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得
点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为 17.3
第13页（共27页）米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据题意需求AB长．由已知易知AB=BM，解直角三角形MNB求出BM即
AB，再求速度，与限制速度比较得结论．注意单位．
【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9× =9 ．
在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9× =3 ．
∴AB=AN﹣BN=9 ﹣3 =6 ．
则A到B的平均速度为： = =10 ≈17.3（米/秒）．
故答案为：17.3．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，将已知条件和所求
结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=
，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，
那么PD= 1 2 ﹣12 ．
【考点】LI：直角梯形；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．
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【专题】17：推理填空题；554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，根据矩形的性质可得出
第14页（共27页）BF=5，结合 cos∠ABC= ，可得出 CF 的长度，进而可得出 AD 的长度，在
Rt△BAD中利用勾股定理可求出BD的长度，由折叠的性质可得出BP=BA=12，
再由PD=BD﹣BP即可求出PD的长度．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．
∵AB=12，DC=7，
∴BF=5．
又∵cos∠ABC= ，
∴BC=13，CF= =12．
∵AD=CF=12，AB=12，
∴BD= =12 ．
∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，
∴BP=BA=12，
∴PD=BD﹣BP=12 ﹣12．
故答案为：12 ﹣12．
【点评】本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求
出AD、BD的长度是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +（﹣1）2018﹣2cos45°+8 ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用二次根式的性质和分数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值
第15页（共27页）分别化简得出答案．
【解答】解：原式= ﹣1+1﹣2× +2
= ﹣ +2
=2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）解方程组：
【考点】&E：二元二次方程组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0或x+y=0，分别与第一个方程组成
新的方程组，解出即可．
【解答】解：
由②得：（x﹣2y）（x+y）=0，
x﹣2y=0或x+y=0…………………………………………（2分）
原方程组可化为 ， ………………………………（2分）
解得原方程组的解为 ， …………………………………（5分）
∴原方程组的解是为 ， ……………………………………（6分）
【点评】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解
因式，达到降次的目的．
21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为
边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC= ．
（1）求点C的坐标；
第16页（共27页）（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得
2S =S ，求点M的坐标．
△ABM △ABC
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．
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【专题】533：一次函数及其应用．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B点坐标，根据勾股定理，
可得A的长，根据锐角三角函数，可得AC，根据相似三角形的判定与性质，可
得DC，AD，根据点的坐标，可得答案．
（2）根据面积的和差，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，
解得x=2，
∴点A坐标是（2，0）．
令x=0，则y=4，
∴点B坐标是（0，4）．
∴AB= = =2 ．
∵∠BAC=90°，tan∠ABC= = ，
∴AC= AB= ．
第17页（共27页）如图1 ，
过C点作CD⊥x轴于点D，
∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，
∵∴∠ABO=∠CAD，
，
∴△OAB∽△DAC．
∴ = = = ，
∵OB=4，OA=2，
∴AD=2，CD=1，
∴点C坐标是（4，1）．
（2）S = AB•AC= ×2 × =5．
△ABC
∵2S =S ，
△ABM △ABC
∴S = ．
△ABM
∵M（1，m），
∴点M在直线x=1上；
令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；
第18页（共27页）如图2 ，
分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，
∴AF+BG=OA=2；
∴S =S +S = ME•BG+ ME•AF= ME（BG+AF）
△ABM △BME △AME
= ME•OA= ×2×ME= ，
∴ME= ，
m﹣2= ，
m= ，
∴M（1， ）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用相似三角
形的判定与性质得出AD，CD的长，解（2）的关键是利用面积的和差得出关于
m的方程．
22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的
现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上
下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车
所用时间比驾车所用时间多 小时，求自行车的平均速度？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【专题】1：常规题型．
第19页（共27页）【分析】根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多 小时”，
找到等量关系列出分式方程求解即可．
【解答】解：设自行车的平均速度是x千米/时．
根据题意，列方程得 ﹣ = ，
解得：x =15，x =﹣30．
1 2
经检验，x =15是原方程的根，且符合题意，x =﹣30不符合题意舍去．
1 2
答：自行车的平均速度是15千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的
关键．
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的
平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．
（1）求证：BF•BC=AB•BD；
（2）求证：四边形ADGF是菱形．
【考点】L9：菱形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据两角对应相等可得：△ABF∽△CBD，列比例式得： ，则
BF•BC=AB•BD．
（2）先根据三角形全等证明：AF=FG，再根据两组对边分别平行证明：四边形ADGF
是平行四边形，所以四边形ADGF是菱形．
【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．
∵∠BAC=2∠C，
第20页（共27页）∴∠BAF=∠C=∠EAC．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC．
∵∠BAF=∠C，∠ABD=∠DBC，
∴△ABF∽△CBD．…………………………………………………（1分）
∴ ．………………………………………………………（1分）
∴BF•BC=AB•BD．………………………………………………（1分）
（2）∵FG∥AC，
∴∠C=∠FGB，
∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）
∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，
∴△ABF≌△GBF．
∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）
∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，
∴△ABD≌△GBD．
∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）
∵∠BAD=2∠C，
∴∠BGD=2∠C，
∴∠GDC=∠C，
∴∠GDC=∠EAC，
∴AF∥DG．……………………………………（1分）
又∵FG∥AC，
∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）
∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）
∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、菱形的判定，掌握相似三角形的
判定方法及其性质是解题的关键，注意本题角平分线定义及平行线性质的应
用．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于
第21页（共27页）点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】4：解题方法．
【分析】（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于a、c的方程组，
解得a、c的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐
标；
（2）首先求得A点的坐标，即可证得OA=OC=3．得出∠CAO=∠OCA，然后根据勾股
定理求得AD、DC、AC，进一步证得△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，解直角三
角形得出tan∠OCB= = ，tan∠DAC= = ，即可证得∠DAC=∠OCB，进而求
得∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；
（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，由已知得出QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+
（y﹣4）2，化简得出x﹣2+2y=0，然后与抛物线的解析式联立方程，解方程即可
求得．
【解答】解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标D（﹣1，4）；
（2）令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，
第22页（共27页）解得x =﹣3，x =1，
1 2
∴A（﹣3，0），
∴OA=OC=3，
∴∠CAO=∠OCA，
在Rt△BOC中，tan∠OCB= = ，
∵AC= =3 ，DC= = ，AD= =2 ，
∴AC2+DC2=20=AD2；
∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，
∴tan∠DAC= = = ，
又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，
∴∠DAC=∠OCB，
∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，
即∠DAB=∠ACB；
（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，
∴QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，
化简得：x﹣2+2y=0，
由 ，
解得 ， ．
∴点Q的坐标是（ ， ），（ ， ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了待定系数
法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理及逆定理的
应用以及解直角三角形等，证得AC2+DC2=20=AD2从而得到∠DAC=∠OCB是解
题的关键．
第23页（共27页）25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，
以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重
合）．
（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果 =2 ，求ED的长；
（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先利用勾股定理AB=10，进而EH= x，EH= x，FH= x，利用勾股定理
建立函数关系式；
（2）先判断出∠CAE=∠EBP=∠ABC，进而得出△BEH≌△BEG，即可求出BE，即可
得出结论；
（3）分两种情况，讨论进行判断即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°
∴AB=10，
如图1，过E作EH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，sinB= ，cosB=
在Rt△BEH中，BE=BF=x，
∴EH= x，BH= x，
第24页（共27页）∴FH= x，
在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2=（ x）2+（ x）2= x2，
∴y= x（0＜x＜8）
（2）如图2，取 的中点P，联结BP交ED于点G
∵ =2 ，P是 的中点，EP=EF=PD．
∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．
∵EP=EF，BP过圆心，
∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG，
又∵∠CEA=∠DEB，
∴∠CAE=∠EBP=∠ABC，
又∵BE是公共边，
∴△BEH≌△BEG．
∴EH=EG=GD= x．
在Rt△CEA中，
∵AC=6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC= ，
∴CE=AC•tan∠CAE= =
∴BE=8﹣ =
∴ED=2EG= x= ，
（3）四边形ABDC不可能为直角梯形，
①当CD∥AB时，如图3，如果四边形ABDC是直角梯形，
只可能∠ABD=∠CDB=90°．
在Rt△CBD中，∵BC=8．
第25页（共27页）∴CD=BC•cos∠BCD= ，
BD=BC•sin∠BCD= =BE．
∴ = ， ；
∴ ．
∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．
∴四边形ABDC不可能为直角梯形，
②当AC∥BD时，如图4，如果四边形ABDC是直角梯形，
只可能∠ACD=∠CDB=90°．
∵AC∥BD，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CBD=90°．
∴∠ABD=∠ACB+∠BCD＞90o．
与∠ACD=∠CDB=90°矛盾．
∴四边形ABDC不可能为直角梯形．
即：四边形ABDC不可能是直角梯形
第26页（共27页）【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐
角三角函数，反证法，判断出△BEH≌△BEG是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:04:11；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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