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2017 年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）2 等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（4分）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定的
4．（4分）一次数学作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下
表：
做对题目数 6 7 8 9 10
人数 1 1 2 3 1
那么这8位学生做对题目数的众数和中位数分别是（ ）
A．9和8 B．9和8.5 C．3和2 D．3和1
5．（4分）在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（
）
A．正五边形 B．正六边形 C．等腰梯形 D．平行四边形
6．（4分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中
错误的是（ ）
A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣1﹣20= ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：2x2﹣6= ．
第1页（共25页）9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）函数y= 的定义域是 ．
11．（4分）如果函数y= 的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y
的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是 ．
12．（4分）如果实数x满足（x+ ）2﹣（x+ ）﹣2=0，那么x+ 的值是 ．
13．（4分）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的
体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至
右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕
业生的体重不小于60千克的学生人数约为 人．
14．（4分）布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋
里摸出两个球，摸到两个红球的概率是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，如果 = ， = ，那么 =
（用向量 、 表示）．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，△AEF是等边三
角形，如果AB=1，那么CE的长是 ．
第2页（共25页）17．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转
后点B与点C重合，点C落在点C′，
那么∠ACC′的度数是 ．
18．（4分）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB=3，点O在直线AB上，⊙O与
⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简：（ ﹣ ）÷ ，并求x= 时的值．
20．（10分）解方程： + =1．
21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC
相交于点E，AB=9，cos∠BAC= ，tan∠DBC= ．
求：（1）边CD的长；
（2）△BCE的面积．
22．（10分）有两种包装盒，大盒比小盒可多装20克某一物品．已知120克这一物
品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒．
（1）问小盒每个可装这一物品多少克？
（2）现有装满这一物品两种盒子共50个．设小盒有n个，所有盒子所装物品的总
第3页（共25页）量为w克．
①求w关于n的函数解析式，并写出定义域；
②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同，求所有盒子所装物品的总量
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，
BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．
求证：（1）FD=CG；
（2）CG2=FG•FC．
24．（12分）已知二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点A（2，0）
和点B、与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．
（1）用b的代数式表示顶点M的坐标；
（2）当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．
25．（14分）如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半
径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的
长为x，线段OC的长为y．
第4页（共25页）（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．
第5页（共25页）2017 年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）2 等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】2F：分数指数幂．
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【分析】根据分数指数幂和负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式= = = ，
故选：C．
【点评】本题考查分数指数幂的意义，解题的关键是正确理解分数指数幂的意义，
本题属于基础题型．
2．（4分）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】71：二次根式的定义．
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【分析】根据二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；
B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；
C．x+y的指数为2，所以此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．
3．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定的
【考点】AA：根的判别式．
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第6页（共25页）【专题】11：计算题．
【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，
即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意
义即可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△
＜0，方程没有实数根．
4．（4分）一次数学作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下
表：
做对题目数 6 7 8 9 10
人数 1 1 2 3 1
那么这8位学生做对题目数的众数和中位数分别是（ ）
A．9和8 B．9和8.5 C．3和2 D．3和1
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：根据图表可得：9出现了3次，出现的次数最多，则众数是9；
把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第4、5个数的平均数，
则这8位学生做对题目数的中位数是： =8.5；
故选：B．
【点评】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的
中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；
众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．（4分）在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（
第7页（共25页））
A．正五边形 B．正六边形 C．等腰梯形 D．平行四边形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形
的概念得出其中不是中心对称的图形．
【解答】解：A、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
B、正六边形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，
C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确，
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中
心，旋转180度后与原图重合．
6．（4分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中
错误的是（ ）
A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定．
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【分析】根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形；
B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形
ABCD是矩形；
C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形
ABCD是菱形；
D、如果AD∥BC，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形
ABCD是菱形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形
第8页（共25页）的判定定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣1﹣20= ﹣ ．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】根据负整数指数幂，零次幂，可得答案．
【解答】解：原式= ﹣1=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用零次幂、负整数指数幂是解题关键．
8．（4分）在实数范围内分解因式：2x2﹣6= ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；58：实数范围内分解因式．
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【专题】11：计算题．
【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣（ ）2，符合平方差公式的
特点，可以继续分解．
【解答】解：2x2﹣6=2（x2﹣3）=2（x+ ）（x﹣ ）．
故答案为2（x+ ）（x﹣ ）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看
公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
9．（4分）不等式组 的解集是 ＜ x ＜ 5 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
由①得x＞ ，
由②得x＜5，
故不等式组的解集是 ＜x＜5．
第9页（共25页）故答案为： ＜x＜5．
【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法
则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
10．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式
是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次
根式时，被开方数非负．
11．（4分）如果函数y= 的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y
的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是 m ＜ ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】先根据反比例函数的性质得出1﹣2k＜0，再解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴3m﹣1＜0，
∴m＜ ．
故答案为m＜ ．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、
三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限
内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
12．（4分）如果实数x满足（x+ ）2﹣（x+ ）﹣2=0，那么x+ 的值是 2 ．
第10页（共25页）【考点】B4：换元法解分式方程．
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【分析】根据换元法，可得答案．
【解答】解：设x+ =u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，
解得u=2或u=﹣1，
x+ =2或x+ =﹣1（不符合题意，舍），
故答案为：2．
【点评】本题考查了解方程，利用换元法是解题关键．
13．（4分）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的
体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至
右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕
业生的体重不小于60千克的学生人数约为 1500 人．
【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频率，进而得出后两组的
频率之和，最后根据总数×频率，即可得到体重不小于60千克的学生人数．
【解答】解：∵从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，
∴从左至右前四组的频率依次为 0.02×5=0.1、0.03×5=0.15、0.04×5=0.2、
0.05×5=0.25，
∴后两组的频率之和为：1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.25=0.3，
∴体重不小于60千克的学生人数约为：5000×0.3=1500人，
故答案为：1500．
【点评】本题考查了频数分布图和频率分布直方图的知识，根据频率、频数及样本
容量之间的关系进行正确的运算是解题的关键．
14．（4分）布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋
第11页（共25页）里摸出两个球，摸到两个红球的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可．
【解答】解：
红1 红2 红3 白1 白2
红1 ﹣﹣ 红1红2 红1红3 红1白1 红1白2
红2 红2红1 ﹣﹣ 红2红3 红2白1 红2白2
红3 红3红1 红3红2 ﹣﹣ 红3白1 红3白2
白1 白1红1 白1红2 白1红3 ﹣﹣ 白1白2
白2 白2红1 白2红2 白2红3 白2白1 ﹣﹣
∵从布袋里摸出两个球的方法一共有10种，摸到两个红球的方法有3种，
∴摸到两个红球的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，求出概率．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，如果 = ， = ，那么 =
﹣ （用向量 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平面向量的平行四边形法则解题即可．
【解答】解：∵在△ABC中，点D是边AC的中点，如果 = ， = ，
∴ = （ ﹣ ）= ﹣ ．
第12页（共25页）故答案是： ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量，掌握平面向量的平行四边形法则即可解题，属于基
础题．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，△AEF是等边三
角形，如果AB=1，那么CE的长是 ﹣ 1 ．
【考点】KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．
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【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条
件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那
么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于
x的方程，解方程即可求出BE．
【解答】解：∵四边形正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△EFC中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+1=2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1=0，
∴x=2± ，而x＜1，
∴x=2﹣ ，
即BE的长为=2﹣ ，
∴CE=BC﹣BE=1﹣（2﹣ ）= ﹣1．
第13页（共25页）【点评】本题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背
景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题，难度适中．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转
后点B与点C重合，点C落在点C′，
那么∠ACC′的度数是 50 ° ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】先根据DB=DC，∠B=70°，∠ACB=90°，即可得到∠BCD=70°，∠ACD=90°﹣
70°=20°，再根据旋转可得，∠B=∠A'CC'=70°，最后求得∠ACC'=70°﹣20°=50°．
【解答】解：如图所示，∵△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，
∴DB=DC，
又∵∠B=70°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=70°，∠ACD=90°﹣70°=20°，
由旋转可得，∠B=∠A'CC'=70°，
∴∠ACC'=70°﹣20°=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
18．（4分）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB=3，点O在直线AB上，⊙O与
⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 1. 5 或 4. 5 ．
第14页（共25页）【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据两圆内切时圆心距=两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．
【解答】解：设⊙O半径是R，根据题意，分两种情况：
①如图1，OA=5﹣R，OB=R﹣1，
∵OA=AB+OB，
∴5﹣R=3+R﹣1，
解得R=1.5；
②如图2，OA=5﹣R，OB=R﹣1，
∵OA=OB﹣AB，
∴5﹣R=R﹣1﹣3，
解得R=4.5．
故答案为1.5或4.5．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关
系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为
P；外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
第15页（共25页）19．（10分）化简：（ ﹣ ）÷ ，并求x= 时的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后
的式子即可解答本题．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
= ，
当x= =2+ 时，原式= ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（10分）解方程： + =1．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】根据完全平方公式，可化为整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解： =1﹣ ，平方，得
x+1=1﹣2 +2x﹣5，
2 =x﹣5
8x﹣20=x2﹣10x+25
x2﹣18x+45=0，
解得x =3，x =15，
1 2
经检验：x =3，x =15都是原方程的增根，
1 2
∴原方程无解．
【点评】本题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换
元法，本题利用平方法是解题关键，要检验方程的根．
21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC
第16页（共25页）相交于点E，AB=9，cos∠BAC= ，tan∠DBC= ．
求：（1）边CD的长；
（2）△BCE的面积．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得CD的长；
（2）根据题意可以求得BC和BC边上的高，从而可以求得△BCE的面积．
【解答】解：（1）∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=9，cos∠BAC= ，tan∠DBC= ，
∴设CD=5a，则BC=12a，AB=9a，
∴9a=9，得a=1，
∴CD=5a=5，
即CD的长是5；
（2）由（1）知，AB=9，BC=12，CD=5，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
∴ ，
作EF∥AB交CB于点F，
则△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
解得，EF= ，
第17页（共25页）∴△BCE的面积是： ．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用锐角三角函数和勾股定理解答．
22．（10分）有两种包装盒，大盒比小盒可多装20克某一物品．已知120克这一物
品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒．
（1）问小盒每个可装这一物品多少克？
（2）现有装满这一物品两种盒子共50个．设小盒有n个，所有盒子所装物品的总
量为w克．
①求w关于n的函数解析式，并写出定义域；
②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同，求所有盒子所装物品的总量
【考点】B7：分式方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设小盒每个可装这一物品x克，根据题意，列出分式方程，求出x的值
即可；
（2）①根据两种盒子的数量共有50个，所装物品的重量等于大盒物品质量之和
+小盒物品质量之和；
②根据小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同列出n的方程，求出n的值即
可．
【解答】解：（1）设小盒每个可装这一物品x克，
根据题意得
﹣ =1，
即x2+20x﹣2400=0，
解得x =40，x =﹣60，
1 2
它们都是原方程的解，但x=﹣60不合题意．
第18页（共25页）答：小盒每个可装这一物品40克．
（2）①w=40n+60（50﹣n）=3000﹣20n，（0＜n＜50，n为整数），
②40n=60（50﹣n），
解得n=30，
w=2400；
答：所有盒子所装物品的总量为2400克．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，解题的关键是根
据题意列出分式方程求出每个小盒装物品的重量，此题难度不大．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，
BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．
求证：（1）FD=CG；
（2）CG2=FG•FC．
【考点】L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据菱形的性质得到∠FAD=∠B，根据全等三角形的性质得到
FD=EA，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠DCF=∠BFC，根据平行线的性质得到∠BAE=∠BFC，根
据全等三角形的性质得到∠BAE=∠FDA，等量代换得到∠DCF=∠FDA，根据相
似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
在△ADF与△BAE中， ，
∴△ADF≌△BAE，
∴FD=EA，
第19页（共25页）∵CF∥AE，AG∥CE，
∴EA=CG，
∴FD=CG；
（2）∵在菱形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DCF=∠BFC，
∵CF∥AE，
∴∠BAE=∠BFC，
∴∠DCF=∠BAE，
∵△ADF≌△BAE，
∴∠BAE=∠FDA，
∴∠DCF=∠FDA，
又∵∠DFG=∠CFD，
∴△FDG∽△FCD，
∴ ，FD2=FG•FC，
∵FD=CG，
∴CG2=FG•FC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的
性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）已知二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点A（2，0）
和点B、与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．
（1）用b的代数式表示顶点M的坐标；
（2）当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．
第20页（共25页）【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点；T7：解直角
三角形．
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【分析】（1）由于二次函数过点A，从而可知c=2﹣2b，然后将c代入抛物线的解析
式中即可求出抛物线的顶点坐标．
（2）根据解析式可求出MN= （b﹣2）2，由于点B的位置不确定，需要分情况讨论，
求出b的值，从而求出二次函数的解析式，然后求出B、C的坐标后即可求出
tan∠ACB．
【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象经过点A（2，0），
∴0=﹣ ×4+2b+c
∴c=2﹣2b
∴y=﹣ x2+bx+c=﹣ x2+bx+2﹣2b
=﹣ （x﹣b）2+
∴顶点M的坐标为（b， ）
（2）∵tan∠MAN= =2
∴MN=2AN．
第21页（共25页）∵M（b， ）
∴N（b，0），
∴MN= （b﹣2）2
①当点B在点N左侧时，AN=2﹣b，
∴ （b﹣2）2=2（2﹣b）
∴b=﹣2．不符合题意．
②当点B在点N右侧时，AN=b﹣2，
∴ （b﹣2）2=2（b﹣2）
∴b=6
∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+6x﹣10
∴点C（0，﹣10），
∵点A、B关于直线MN对称，
∴点B（10，0）．
∵OB=OC=10，
∴BC=10，∠OBC=45°，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=8，∴AH=BH=4 ，∴CH=6
∴tan∠ACB= = =
【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是根据题意求出二次函数的
解析式，然后根据锐角三角函数即可求出tan∠ACB的值，本题属于中等题型．
25．（14分）如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半
径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的
长为x，线段OC的长为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．
第22页（共25页）【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）由△ABC∽△OAB，推出 = ，可得 = ，推出BC= x2，由OC=OB
﹣BC，可得y关于x的函数解析式y=2﹣ x2；
（2）分两种情形讨论①当OD∥A B时，②当BD∥OA时，分别想办法构建方程解
决问题；
【解答】解：（1）在⊙O与⊙A中，
∵OA=OB，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=∠OAB，
∴△ABC∽△OAB，
∴ = ，
∴ = ，
∴BC= x2，
∵OC=OB﹣BC，
∴y关于x的函数解析式y=2﹣ x2，
定义域为0＜x＜2．
（2）①当OD∥A B时，
∴ = ，
第23页（共25页）∴ = ，
整理得x2+2x﹣4=0，
∴x=﹣1 （负值舍去），
∴AB= ，这时AB≠OD，符合题意．
∴OC=2﹣ x2=2﹣ （ ﹣1）2= ﹣1．
②当BD∥OA时，设∠ODA=α，
∵BD∥OA，OA=OD，
∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=α，
又∵OB=OD，∴∠BOA=∠OBD=∠ODB=2α，
∵AB=AC，OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO=3α，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴2α+3α+3α=180°，
∴α=22.5°，∠BOA=45°，
∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，
∴BD=2 ，
∵BD∥OA，
∴ = ，
∴ = ，
∴y=2 ﹣2．OC=2 ﹣2，
由于BD≠OA，OC=2 ﹣2符合题意．
∴当四边形ABDO是梯形时，线段OC的长为 ﹣1或2 ﹣2．
第24页（共25页）【点评】本题考查圆综合题、梯形的性质和定义、平行线分线段成比例定理、相似
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会
用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:10:56；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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