文档内容
2017 年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．（4分） （a＞0）等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（4分）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2
C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
3．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， = ，要使DE∥BC，还需满足
下列条件中的（ ）
A． = B． = C． = D． =
4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（ ）
A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα
5．（4分）如果锐角α的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（ ）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
6．（4分）将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1
上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（ ）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
二．填空题（每个小题4分，共48分）
7．（4分）16的平方根是 ．
8．（4分）如果代数式 有意义，那么x的取值范围为 ．
9．（4分）方程 + =1的根为 ．
10．（4分）如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那
么常数m的取值范围为 ．
11．（4分）二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 ．
第1页（共23页）12．（4分）如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为
．
13．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与
△DEF的面积比为 ．
14．（4分）在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB= ，那么△ABC的重心到底边的距离
为 ．
15．（4分）已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，
设 = ， = ，那么 = （用 ， 的式子表示）
16．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，
BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，
如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于 ．
18．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB= （如图），将它折叠
使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为 ．
三、解答题（共78分）
19．（10分）计算： ．
第2页（共23页）20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴
上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．
22．（10分）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°
（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC
后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，
B′O′⊥OA，垂足为C．
（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）
（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时
针方向旋转多少度？
参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
第3页（共23页）（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴
相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x
轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在
DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC= ．
（1）求证：BC2=CD•BE；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．
第4页（共23页）2017 年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．（4分） （a＞0）等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．
【解答】解：a = = = ，
故选：C．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂、分数指数幂是解题关键．
2．（4分）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2
C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
【考点】58：实数范围内分解因式．
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【专题】11：计算题；44：因式分解．
【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
【解答】解：A、原式不能分解；
B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+ ）（x+y﹣ ）；
C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；
D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），
故选：A．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
3．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， = ，要使DE∥BC，还需满足
下列条件中的（ ）
第5页（共23页）A． = B． = C． = D． =
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似
推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可
【解答】解：
只有选项D正确，
理由是：∵AD=2，BD=4， = ，
∴ = = ，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，
能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（ ）
A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：由题意，得
cosA= ，
AC=AB•cosA=m•cosα，
故选：B．
第6页（共23页）【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余角函数的定义是解题关键．
5．（4分）如果锐角α的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（ ）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
【考点】T2：锐角三角函数的增减性．
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【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．
【解答】解：由 ＜ ＜ ，得
30°＜α＜45°，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值
随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减
小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也
考查了互余两角的三角函数之间的关系．
6．（4分）将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1
上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（ ）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A′的坐标．
【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点
坐标是（1，0），
∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x
﹣1）2，
∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，
4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．并用规律求函数解析式．
二．填空题（每个小题4分，共48分）
7．（4分）16的平方根是 ± 4 ．
【考点】21：平方根．
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第7页（共23页）【专题】11：计算题．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x
就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；负数没有平方根．
8．（4分）如果代数式 有意义，那么x的取值范围为 x ＞ ﹣ 2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即
可．
【解答】解：由题意得，x+2＞0，
解得，x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须
是非负数是解题的关键．
9．（4分）方程 + =1的根为 x=2 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣5+2x+2=x2﹣1，
整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，
解得：x=1或x=2，
经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（4分）如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那
第8页（共23页）么常数m的取值范围为 m ＜ 2 ．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、
第四象限，那么图象一定与y轴的负半轴有交点，即可解答．
【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，
∴图象一定与y轴的负半轴有交点，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数 y=kx+b
（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．
11．（4分）二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 （ 4 ，﹣ 6 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．
【解答】解：∵y=2x2﹣8x+10=2（x﹣4）2﹣6，
∴顶点坐标为（4，﹣6），
故答案为：（4，﹣6）．
【点评】此题考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标
是（h，k），对称轴是x=h．
12．（4分）如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为
3 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得
（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，
m﹣1=1﹣（﹣1），
解得m=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对
称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题关键．
第9页（共23页）13．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与
△DEF的面积比为 1 ： 1 6 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比=（ ）2=1：16．
故答案为：1：16．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似
比的平方是解答此题的关键．
14．（4分）在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB= ，那么△ABC的重心到底边的距离
为 2 ．
【考点】K5：三角形的重心；KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股
定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2
倍，求得G到BC的距离．
【解答】解：∵AB=AC=10，
∴△ABC是等腰三角形
∴三角形的重心G在BC边的高
∵cosB= ，
∴在BC边的高=6，
根据三角形的重心性质
∴G到BC的距离是2．
故答案为：2
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边
中点的距离的2倍是解题的关键．
15．（4分）已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，
设 = ， = ，那么 = ﹣ （用 ， 的式子表示）
第10页（共23页）【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得 BC∥AD、BC=AD=2EC，再证
△ADF∽△CEF得 = ，根据 = = ﹣ = ﹣ （ ）可得答案
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，
∴BC∥AD，BC=AD=2EC，
∴△ADF∽△CEF， ，
∴ = =2，
则 = ，
∴ =
= ﹣
= ﹣ （ ）
= ﹣ （ + ）
= ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及向量的基
本运算，熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．
16．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，
BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为 ．
第11页（共23页）【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得
出结论．
【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，
∴ = = ，即 = = ，解得DE= ，AE= ，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3+ + = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解
答此题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，
如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于 3 ： 2 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由DE∥BC，推出∠EDC=∠BCD， = ，由△BDC∽△CED，推出 = =
= ，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD， =
∵∠BDC=∠DEC，
∴△BDC∽△CED，
第12页（共23页）∴ = = = ，
∴ = ．
故答案为3：2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解
题的关键是灵活运用相似三角形的性质，属于中考常考题型．
18．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB= （如图），将它折叠
使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为 1 3 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据直角三角形的性质求出CD，得到∠DCB=∠B，根据垂直的定义、等量
代换得到∠OEC=∠B，根据正切的定义、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC=DB= AB=12，
∴∠DCB=∠B，
由题意得，EF是CD的垂直平分线，
∴∠OEC+∠OCE=90°，又∠DCB+∠OCE=90°，
∴∠OEC=∠B，
设CF=2x，则CE=3x，
由勾股定理得，EF= x，
第13页（共23页）×2x×3x= × x×6，
解得，x= ，
∴EF= × =13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=
=
= ．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】由②得出x﹣3y=±2，由①得出x（x﹣y+2）=0，组成四个方程组，求出方程
组的解即可．
【解答】解：
第14页（共23页）由②得：（x﹣3y）2=4，
x﹣3y=±2，
由①得：x（x﹣y+2）=0，
x=0，x﹣y+2=0，
原方程组可以化为： ， ， ， ，
解得，原方程组的解为： ， ， ， ．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化二元一次方程组是解此
题的关键．
21．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴
上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB= = 得
AF=3，即可知EF，从而得出答案；
（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y= ，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
第15页（共23页）∴反比例函数的解析式y= ；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
∵cot∠ACB= = ，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）当y=1时，由1= 可得x=8，
∴点B的坐标为（8，1），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB= =3 ，
∴cos∠ABC= = = ．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是
解题的关键．
22．（10分）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°
（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC
后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，
B′O′⊥OA，垂足为C．
（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）
（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时
第16页（共23页）针方向旋转多少度？
参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到
结论；
（3）如图 4，过 O′ 作 EF∥OB 交 AC 于 E，根据平行线的 性质 得到
∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，
∴∠AO′C=65°，
∵cos∠CO′A= ，
∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；
（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB=115°，
∴∠BOD=65°，
∵sin∠BOD= ，
∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，
∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），
∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；
（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，
∴∠FEA=∠BOA=115°，
∠FO′B′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，
第17页（共23页）∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正确的作出辅助线是解
题的关键．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得 ，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得
，即可得证；
（2）先根据 AC2=AD•AB 证△ADC∽△ACB 得∠ACD=∠B，再由 证
△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD
可得∠AEC=∠ACE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴ ，
第18页（共23页）又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴ ，
∴DE•AB=AC•BE；
（2）∵AC2=AD•AB，
∴ ，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠ACD=∠B，
∵ ，∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹
角相等的两三角形相似是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴
相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x
轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．
第19页（共23页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形的
性质定理得到 = ，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）设 AC=m，根据正切的定义得到 DC=3m，根据相似三角形的性质得到
∠DBA=∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求
出抛物线的解析式．
【解答】（1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，
∴△BEC∽△DEA，
∴ = ，又∠BED=∠CEA，
∴△BDE∽△CAE；
（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B，
∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，
∵tan∠DAC=3，
∴ =3，
设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，
则点A的坐标为（m+2，0），点D的坐标为（2，3m），
∵△BDE∽△CAE，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
∴BD2+BA2=AD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，
解得，m=2，
则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），
第20页（共23页）∴ ，
解得， ，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数
解析式的一般步骤、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在
DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC= ．
（1）求证：BC2=CD•BE；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到 = ，再根据题意AC=BC，即可证明
（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得 =
，由此即可解决问题．
（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，
推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，
∴∠ACD=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，
第21页（共23页）∴△DAC∽△CEB，
∴ = ，
∴BC•AC=CD•BE，
∵AC=BC，
∴BC2=CD•BE．
（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．
在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9× =3，
∴AB=6，
在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6× =2，
∵AD∥BC，DH=AG，
∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，
∵AG∥DH，
∴GH=AD=x，
∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，
∴CD= = = ，
∵△CEB∽△DAC，
∴ = ，
∴ = ，
∴y= ，
∴y= （x＞0且x≠9）．
（3）∵△DBC∽△DEB，∴∠DBC=∠DEB，
第22页（共23页）∵∠DEB=∠BEC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC，
∵AD∥BC，
∴ = ，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，
∵∠AGB=∠DHC=90°，
∴△ABG≌△DCH，
∴CH=BG=2，
∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．
∴CE=y= ．
【点评】本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判定
和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助
线，属于中考压轴题．
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日期：2018/12/24 0:12:25；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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