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2013年上海市闸北区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）|﹣32|的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．9 D．﹣9
2．（4分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么在下列数
值中，m可以取的是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
4．（4分）一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（4分）某人在调查了本班同学的体重情况后，画出了频数分布图如图．下列结
论中，不正确的是（ ）
A．全班总人数40人
B．学生体重的众数是13
C．学生体重的中位数落在50～55千克这一组
D．体重在60～65千克的人数占全班总人数的
6．（4分）将宽为1cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是
（ ）
第1页（共25页）A．1 B．2 C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（1﹣ ）0＝ ．
8．（4分）已知函数 ，那么f（ ）＝ ．
9．（4分）用科学记数法表示：0.00036＝ ．
10．（4分）分解因式：3x2﹣6x＝ ．
11．（4分）点M（3，1）和点N（3，﹣1）关于 轴对称．
12．（4分）不等式x+2＞2x+1的解集为 ．
13．（4分）方程 的解是 ．
14．（4分）若1、x、2、3的平均数是3，这组数据的方差是 ．
15．（4分）甲有两张卡片，上面分别写着0、1，乙也有两张卡片，上面分别写着2、
3，他们各取出一张卡片，则取出的两张卡片上写的数所得之和为素数的概率
是 ．
16．（4分）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC
＝1：3，设 ＝ ，试用向量 表示向量 ， ＝ ．
17．（4分）我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角
形．如果Rt△ABC是奇异三角形，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，且b＞a，其中，a＝1，那么b＝ ．
18．（4分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的中点是点D，底角的正切值是 ，将
该等腰三角形绕其腰AC上的中点M顺时针旋转，使旋转后的点D与A重合，
得到△A′B′C′，如果旋转后的底边B′C′与BC交于点N，那么∠ANB的
正切值等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程组： ．
第2页（共25页）20．（10分）已知：如图，在 O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于
点C，设 O半径为4cm，MN＝ cm，OH⊥MN，垂足是点H．
⊙
（1）求OH的长度；
⊙
（2）求∠ACM的度数．
21．（10分）观察方程 ：x+ ＝3，方程 ：x+ ＝5，方程 ：x+ ＝7．
（1）方程 的根为： ① ；方程 的根为②： ；方程 的③根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
① ② ③
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．
22．（10分）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，
发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价（元） 25 24 23 … 15
每天销售量（千克） 30 32 34 … 50
如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间
的函数关系是一次函数：
（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）
（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润
是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？
23．（12分）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上， ＝
＝ ：
（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；
（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的
面积．
第3页（共25页）24．（12分）已知：如图，抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P
作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．
（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；
（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP＝∠AOP，求出点D的坐标．
25．（14分）已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，AB＝8，
sinC＝ ，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP＝x，BQ＝
y．
（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；
（2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析
式，并写出定义域；
（3）若以点B为圆心、BQ为半径的 B与以点C为圆心、CP为半径的 C相切，
求线段DP的长．
⊙ ⊙
第4页（共25页）2013 年上海市闸北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）|﹣32|的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．9 D．﹣9
【考点】15：绝对值；1E：有理数的乘方．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先要计算﹣32＝﹣9，再根据绝对值的意义即可解决，负数的绝对值是
它的相反数．
【解答】解：|﹣32|＝|﹣9|＝9．
故选：C．
【点评】注意此题的运算顺序，应先化简平方，再计算绝对值．一个正数的绝对值
是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数
中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、 ＝4 ；
C、 ＝ ；
D、 ＝2 ；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于
2，也不是最简二次根式．
3．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么在下列数
第5页（共25页）值中，m可以取的是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后
对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝16﹣4m＞0，
解得m＜4，
所以m可以取3，不能取5、6、8．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
4．（4分）一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：360°÷45°＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟记正多边形的中心角与边数的关系
是解题的关键．
5．（4分）某人在调查了本班同学的体重情况后，画出了频数分布图如图．下列结
论中，不正确的是（ ）
A．全班总人数40人
B．学生体重的众数是13
C．学生体重的中位数落在50～55千克这一组
第6页（共25页）D．体重在60～65千克的人数占全班总人数的
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】根据频数直方图分析可得ABCD选项，又有众数是出现次数最多的数，则
学生体重的众数是50﹣55千克之间的数；故可得答案．
【解答】解：A、由频数直方图可以看出：全班总人数为7+9+13+7+4＝40（人），故
此选项正确，不符合题意；
B、体重在50千克到55千克的人数最多为13人；故众数在50千克到55千克之
间，学生体重的众数不是13，故此选项错误，符合题意；
C、根据第20和第21个数据都落在50～55千克这一组，则学生体重的中位数落
在50～55千克这一组，故此选项正确，不符合题意；
D、在体重在60千克到65千克的人数为4人，则占全班总人数的4÷40＝ ，故
此选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及众数与中位数等知识，读图时要全
面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想
来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
6．（4分）将宽为1cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】首先作QH⊥PA，垂足为H，则QH＝1cm，易证得△APQ为等边三角形，然
后利用三角函数即可求得PQ的长．
【解答】解：如图，作QH⊥PA，垂足为H，则QH＝1cm，
由平行线的性质，得∠DPA＝∠BAC＝60°，
第7页（共25页）由折叠的性质，得∠DPQ+∠APQ＝180°，
即∠DPA+∠APQ+∠APQ＝180°，60°+2∠APQ＝180°，
∴∠APQ＝60°，
又∵∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
在Rt△PQH中，sin∠HPQ＝ ，
∴PQ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数
问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想应用，注意掌握折叠前后图形的
对应关系，注意证得△APQ为等边三角形是解此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（1﹣ ）0＝ 1 ．
【考点】6E：零指数幂．
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【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）即可得出答案．
【解答】解：∵1﹣ ≠0，
∴（1﹣ ）0＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了零指数幂，掌握a0＝1（a≠0）是解题关键．
8．（4分）已知函数 ，那么f（ ）＝ +1 ．
【考点】76：分母有理化；E5：函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】把x的值代入函数解析式，进行计算即可得解．
【解答】解：f（ ）＝ ＝ ＝ +1．
第8页（共25页）故答案为： +1．
【点评】本题考查了函数值求解，注意要分母有理化．
9．（4分）用科学记数法表示：0.00036＝ 3.6×1 0 ﹣ 4 ．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00036＝3.6×10﹣4，
故答案为：3.6×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（4分）分解因式：3x2﹣6x＝ 3 x （ x ﹣ 2 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】首先确定公因式为3x，然后提取公因式3x，进行分解．
【解答】解：3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．
故答案为：3x（x﹣2）．
【点评】此题考查的是因式分解﹣提公因式法，解答此题的关键是先确定公因式
3x．
11．（4分）点M（3，1）和点N（3，﹣1）关于 x 轴对称．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数
【解答】解：∵点M（3，1）和点N（3，﹣1）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴它们关于x轴对称．
故答案是：x．
【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（4分）不等式x+2＞2x+1的解集为 x ＜ 1 ．
第9页（共25页）【考点】C6：解一元一次不等式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
【解答】解：移项得，x﹣2x＞1﹣2，
合并同类项得，﹣x＞﹣1，
系数化为1得，x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意
移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．（4分）方程 的解是 x ＝ 0 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：两边平方得：x＝x2，
解方程的：x ＝0，x ＝1，
1 2
检验：当x ＝0时，方程的左边＝右边＝0，
1
∴x＝0为原方程的根
当x ＝1时，原方程无意义，故舍去．
2
故答案为：x＝0．
【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法
及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．
14．（4分）若1、x、2、3的平均数是3，这组数据的方差是 ．
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
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【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答
案．
【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+x）÷4＝3，
解得：x＝6；
第10页（共25页）∴方差＝ [（1﹣3）2+（6﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2]＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个
数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
15．（4分）甲有两张卡片，上面分别写着0、1，乙也有两张卡片，上面分别写着2、
3，他们各取出一张卡片，则取出的两张卡片上写的数所得之和为素数的概率
是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【专题】11：计算题．
【分析】列表得到所有等可能的结果个数，找出结果之和为素数的情况个数，即可
求出所求的概率．
【解答】解：根据题意列表如下：
0 1
2 （0，2） （1，2）
3 （0，3） （1，3）
以上等可能的情况有4种，结果之和为素数的情况有3种，
则P ＝ ．
所得之和为素数
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
16．（4分）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC
＝1：3，设 ＝ ，试用向量 表示向量 ， ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥BC，可得△ADE∽△ACB，又由
DE：BC＝1：3，根据相似三角形的对应边成比例，可求得CD＝4DA，继而求得
答案．
第11页（共25页）【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴DA：CA＝DE：BC＝1：3，
∵CD＝DA+CA，
∴CD＝4DA，
∵ ＝ ，
∴ ＝﹣4 ．
故答案为：﹣4 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度不
大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（4分）我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角
形．如果Rt△ABC是奇异三角形，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，且b＞a，其中，a＝1，那么b＝ ．
【考点】KQ：勾股定理．
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【专题】23：新定义．
【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2+b2，记作
，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，
列出关系式2a2＝b2+c2，记作 ，或2b2＝a2+c2，记作 ，由以上关系式即可求
①
出b的值．
② ③
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∴根据勾股定理得：c2＝a2+b2，记作 ，
又∵Rt△ABC是奇异三角形，
①
∴2a2＝b2+c2，
将 代入 得：a2＝2b2，即a＝ b（不合题意，舍去），
②
∴2b2＝a2+c2，
① ②
将 代入 得：b2＝2a2，即b＝ a，
③
① ③
第12页（共25页）∴a＝1时，那么b＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了勾股定理，以及新定义，弄清题中的新定义，熟练掌握勾股定
理是解本题的关键．
18．（4分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的中点是点D，底角的正切值是 ，将
该等腰三角形绕其腰AC上的中点M顺时针旋转，使旋转后的点D与A重合，
得到△A′B′C′，如果旋转后的底边B′C′与BC交于点N，那么∠ANB的
正切值等于 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】解：如图，连接AD、A′A．根据旋转的性质推知MA＝MC′＝ AC，∠C
＝∠C′，所以根据等腰三角形性质、等量代换推知∠ANB＝∠MAN+∠C＝
2∠C，则易求tan2C．
【解答】解：如图，连接AD、A′A．
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C．
∵点M是边AC的中点，
∴根据旋转的性质知，MA＝MC′＝ AC，∠C＝∠C′，
∴∠MAC′＝∠C′＝∠C，
∴∠ANB＝∠MAN+∠C＝2∠C．
又∵tanC＝ ，
∴ ＝ ，
设AD＝2x，C′D＝6x，
∴A′C′＝2 x，
第13页（共25页）∴DM＝ x，
取A′D的中点E，连接ME，过点A′作A′F⊥AM于F，
则ME＝ EC′＝3x，
∵S ＝ A′F•DM＝ A′D•ME，
△A′DM
∴A′F＝ x，
∴FM＝ x，
∴tan2C＝ ＝ ．
故填： ．
【点评】本题考查了旋转的性质．旋转前、后的图形全等．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】将 进行因式分解，然后可将原方程组转化为两个二元一次方程组，解出
即可得出答案．
①
【解答】解：
由 得：（x+2y）（x+3y）＝0，
故可得：x+2y＝0或x+3y＝0…（4分）
①
第14页（共25页）原方程组可化为： ， ，
分别解这两个方程组，得原方程组的解为 或 ．
【点评】此题考查了高次方程的知识，通过将 因式分解可将方程组化为两个独
立的方程组，注意仔细运算．
①
20．（10分）已知：如图，在 O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于
点C，设 O半径为4cm，MN＝ cm，OH⊥MN，垂足是点H．
⊙
（1）求OH的长度；
⊙
（2）求∠ACM的度数．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）连接MO交弦AB于点E，由OH⊥MN，O是圆心，根据垂径定理得到
MH等于MN的一半，然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH；
（2）由M是弧AB的中点，MO是半径，根据垂径定理得到OM垂直AB，在直角三
角形OHM中，根据一条直角边等于斜边的一半，那么这条这条直角边所对的
角为30度，即角OMH等于30度，最后利用三角形的内角和定理即可求出角
ACM的度数．
【解答】解：连接MO交弦AB于点E，
（1）∵OH⊥MN，O是圆心，
∴MH＝ MN，
又∵MN＝4 cm，
∴MH＝2 cm，
在Rt△MOH中，OM＝4cm，
第15页（共25页）∴OH＝ ＝ ＝2（cm）；
（2）∵M是弧AB的中点，MO是半径，
∴MO⊥AB
∵在Rt△MOH中，OM＝4cm，OH＝2cm，
∴OH＝ MO，
∴∠OMH＝30°，
∴在Rt△MEC中，∠ACM＝90°﹣30°＝60°．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°角的直角三角形，熟练掌握垂
径定理是解本题的关键．
21．（10分）观察方程 ：x+ ＝3，方程 ：x+ ＝5，方程 ：x+ ＝7．
（1）方程 的根为： x ① ＝ 1 ， x ＝ 2 ；方程②的根为： x ＝ 2 ， ③ x ＝ 3 ；方程
1 2 1 2
的根为： x ＝ 3 ， x ＝ 4 ；
① 1 2 ② ③
（2）按规律写出第四个方程： x + ＝ 9 ；此分式方程的根为： x ＝ 4 ， x ＝ 5
1 2
；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： x + ＝ 2 n + 1 ；此方程解是： x ＝
1
n ， x ＝ n + 1 ．
2
【考点】B2：分式方程的解．
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【专题】2A：规律型．
【分析】先计算出方程的根，再根据根的变化规律求出方程的一般形式及根的变
化规律．
【解答】解：（1）两边同时乘以x得，x2﹣3x+2＝0，
第16页（共25页）方程 根：x ＝1，x ＝2；
1 2
两边同时乘以x得，x2﹣5x+6＝0，
①
方程 根：x ＝2，x ＝3；
1 2
两边同时乘以x得，x2﹣7x+12＝0，
②
方程 根：x ＝3，x ＝4；
1 2
（2）③方程 ：x+ ＝9；方程 根：x ＝4，x ＝5．
1 2
④ ④
（3）第n个方程：x+ ＝2n+1．
此方程解：x ＝n，x ＝n+1．
1 2
故答案为：x ＝1，x ＝2；x ＝2，x ＝3；x ＝3，x ＝4；x+ ＝9；x ＝4，x ＝5；x+
1 2 1 2 1 2 1 2
＝2n+1；x ＝n，x ＝n+1．
1 2
【点评】本题考查了分式方程的解，从题目中找出规律是解题的关键．
22．（10分）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，
发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价（元） 25 24 23 … 15
每天销售量（千克） 30 32 34 … 50
如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间
的函数关系是一次函数：
（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）
（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润
是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【专题】12：应用题．
【分析】（1）利用表格中的数据得到两个变量的对应值，然后利用待定系数法确
定一次函数的解析式即可；
（2）设这一天每千克的销售价应定为x元，利用总利润是200元得到一元二次方
程求解即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b （k≠0），将（25，30）（24，32）代入得：…（1分）
第17页（共25页）解得： ，
∴y＝﹣2x+80．
（2）设这一天每千克的销售价应定为x元，根据题意得：
（x﹣15）（﹣2x+80）＝200，
x2﹣55x+700＝0，
∴x ＝20，x ＝35．
1 2
（其中，x＝35不合题意，舍去）
答：这一天每千克的销售价应定为20元．
【点评】本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，列方程及函数关系式的关
键是找到等量关系．
23．（12分）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上， ＝
＝ ：
（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；
（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的
面积．
【考点】K5：三角形的重心；L9：菱形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由△ABC中， ＝ ＝ ，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四边
形DBFE是平行四边形，又由BE平分∠ABC，可证得BF＝EF，即可判定四边
形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面积的比等于相似比的平
第18页（共25页）方，可得 ＝（ ）2，然后由点G为△ABC的重心，可得FG：GC＝1：2，可
得S ＝4S ．又由△BCG与△EFG的面积之和为20，即可求得答案．
△BCG △EFG
【解答】解：（1）四边形DBFE是菱形．…（1分）
证明：∵△ABC中， ＝ ＝ ，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四边形DBFE是平行四边形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB＝∠DBE，…（1分）
∴∠FBE＝∠FEB，…（1分）
∴BF＝EF，…（1分）
∴四边形DBFE是菱形；
（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴ ＝（ ）2，…（1分）
∵点G为△ABC的重心，
∴ ＝ ，…（1分）
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S ＝4S ．…（1分）
△BCG △EFG
∵S +S ＝20，
△EFG △BCG
∴S ＝16．…（1分）
△BCG
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及菱形的判
定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
第19页（共25页）24．（12分）已知：如图，抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P
作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．
（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；
（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP＝∠AOP，求出点D的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）根据抛物线解析式求出点A、B、P的坐标，再根据平移变换不改变抛
物线的形状，设平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+c，然后把点A、B的坐标代
入求出b、c的值，从而得到平移后的抛物线解析式，再令y＝0，解关于x的一
元二次方程即可得到点C的坐标；
（2）先求出直线OP的解析式，然后分点D在第一象限时，根据内错角相等两直
线平行求出CD ∥y轴可得CD ⊥x轴，从而求出点D的横坐标坐标是3，然后
1 1
代入直线OP的解析式，计算即可求出点D 的坐标；点D在第三象限时，求出
1
∠CD P＝∠CD P，根据等角对等边可得CD ＝CD ，设D（x，2x），然后利用勾
1 2 1 2 2
股定理列式计算求出x的值，即可得解．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴顶点P（1，2）、B（1，0），
设平移后抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
将点A（0，3）、B（1，0）的坐标代入得， ，
第20页（共25页）解得 ，
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得，x ＝1，x ＝3，
1 2
所以，点C（3，0）；
（2）如图，直线OP过P（1，2），
所以，直线OP解析式为y＝2x，
点D在第一象限时，∵∠CD P＝∠AOP，
1
∴CD ∥y轴，
① 1
∴CD ⊥x轴，
1
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，都是3，
x＝3时，y＝2×3＝6，
∴点D （3，6），
1
点D在第三象限时，
∵∠CD P＝∠AOP，∠CD P＝∠AOP，
② 1 2
∴∠CD P＝∠CD P，
1 2
∴CD ＝CD ，且CD ＝CD ＝6，
1 2 2 1
设D （x，2x），则 ＝6，
2
整理得，5x2﹣6x﹣27＝0，
解得x ＝3（为点D ，舍去），x ＝﹣ ，
1 1 2
所以，点D （3，6）、D （﹣ ，﹣ ）．
1 2
第21页（共25页）【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平
移只改变只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，平行线的判定
与性质，等角对等边的性质，综合题，但难度不大，（2）要注意分情况讨论．
25．（14分）已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，AB＝8，
sinC＝ ，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP＝x，BQ＝
y．
（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；
（2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析
式，并写出定义域；
（3）若以点B为圆心、BQ为半径的 B与以点C为圆心、CP为半径的 C相切，
求线段DP的长．
⊙ ⊙
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，得出四边形ABHD是矩形，推出DH＝AB，BH
＝AD，在Rt△DHC中，求出DC＝10，HC＝6，推出BH＝HC＝6即可；
（2）延长BA、CD相交于点S，根据三角形的中位线求出SD＝DC＝10，SA＝AB＝
第22页（共25页）8，得出DP＝x，BQ＝y，SP＝x+10，证△SPQ～△SAD，得出 ＝ ＝ ，求出
SQ＝ （x+10）即可；
（3）有三种情况：（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两
圆外切，由BQ+CP＝BC，﹣ x+ +10﹣x＝12，求出x即可；（ⅱ）当点P在线
段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，（ⅲ）当点P在线
段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，得出BQ＝ x﹣ ，CP＝
x﹣10，若两圆外切，BQ+CP＝BC，即 x﹣ +x﹣10＝12，若两圆内切，| x﹣
﹣（x﹣10）|＝12，求出即可．
【解答】（1）证明：过D作DH⊥BC于H，如图 ，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
①
∴∠B＝∠A＝90°，∠BHD＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH＝AB，BH＝AD，
又∵AD＝6，AB＝8，
∴DH＝8，BH＝6，
在Rt△DHC中，sinC＝ ，设DH＝4k＝8，DC＝5k
∴DC＝10，HC＝ ＝6，
∴BH＝HC＝6，
又∵DH⊥BC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
（2）解：延长BA、CD相交于点S，如图 ，
∵AD∥BC且BC＝12，
②
第23页（共25页）∴AD＝ BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴SD＝DC＝10，SA＝AB＝8，
∵DP＝x，BQ＝y，SP＝x+10，
∠S＝∠S，∠SAD＝∠SPQ＝90°，
∴△SPQ～△SAD
∴ ＝ ＝ ，
∴SQ＝ （x+10），
∴BQ＝16﹣ （x+10），
∴所求的解析式为：y＝﹣ x+ ，定义域是0≤x≤ ．
（3）解：有三种情况：
（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，
由BQ+CP＝BC，﹣ x+ +10﹣x＝12，
解得：x＝ ，
（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，
（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，
此时BQ＝ x﹣ ，CP＝x﹣10
若两圆外切，BQ+CP＝BC，即 x﹣ +x﹣10＝12，
解得：x＝ ，
若两圆内切，|BQ﹣CP|＝BC，
即| x﹣ ﹣（x﹣10）|＝12，
第24页（共25页）x﹣ ﹣（x﹣10）＝12， x﹣ ﹣（x﹣10）＝﹣12，
x＝22，x＝﹣74（不合题意舍去），
综上所述， B与 C相切时，线段DP的长为 或 或22．
⊙ ⊙
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线，函数的应用
等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题较
好，有一定的难度．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:26:04；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第25页（共25页）
