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2022 年上海市黄浦区九年级二模数学试题
一、选择题
1. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次
根式叫做同类二次根式，据此判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴与 是同类二次根式的是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，理解概念，注意是先要化成最简二次根式后再判断是解答的关键．
2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用同底数幂相乘运算法则计算并判定A；运用合并同类项运算法则计算并判定B；运用同底数
幂相除运算法则计算并判定C；运用幂的乘方运算法则计算并判定D．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 不是同类项不能合并，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握同底数幂相乘、同底
数幂相除、合并同类项、幂的乘方的运算法则是解题的关键．3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能直观反映数据变化
趋势的是（ ）
A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分布直方图
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图的特点判定即可．
【详解】统计图中，能直观反映数据变化趋势的是折线图，
故选：C．
【点睛】本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
4. 下列函数中，当 ＞0时， 值随 值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据在一次函数y=kx+b中，k大于0时，y随x增大而增大，k小于0时，y随x增大而减小；在
反比例函数 (x>0)中，k大于0时，函数图像在第一象限，y随x增大而减小，k小于0时，函数图像
在第三象限，y随x增大而增大；在二次函数y=ax2+h中，a大于0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
在对称轴右侧，y随x增大而增大，对每个选项进行判断．
【详解】A. ，x系数为 大于0，y随x增大而增大，与题意不符，错误；
B.y=-x+1，x系数为-1小于0，y随x增大而减小，与题意相符，正确；
C. ，因为-2<0，x>0，函数图像在第三象限，y随x增大而增大，与题意不符，错误；
D. ，x2系数为1大于0，对称轴为x轴，当 时，函数图像在对称轴右侧，y随x增大而增大，
与题意不符，错误；
故选 B．
【点睛】本题考查了函数的图像及性质，熟练掌握各种函数的图像及性质是解题关键．
5. 关于 的一元二次方程 根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据根的判别式 大于0时有两个不相等的实数根，等于0时有两个相等的实数根，
小于0时没有实数根进行判断．
【详解】因为 ，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选 C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式在不同的值时对应方程
的根的情况．
6. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形
B. 正六边形的每一个外角都等于中心角
C. 正六边形每条对角线都相等
D. 正六边形的边心距等于边长的一半
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形的性质判定即可．
【详解】解：A、正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形，假命题，故此选项不符合题意；
B、正六边形的每一个外角都等于中心角，真命题，故此选项符合题意；
C、正六边形每条对角线都相等，假命题，故此选项不符合题意；
D、正六边形的边心距等于边长的一半，假命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查判定命题真假，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
二、填空题
7. 5的倒数是______．
【答案】
【解析】【分析】试题分析：因为数a（ ）的倒数是 ，所以5的倒数是
考点：倒数
【详解】
8. 如果分式 有意义，那么 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故 ，解得 ．
考点：分式有意义的条件．
9. 方程 的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】将方程两边平方转化成整式方程求解，再检验即可得出原方程的解．
【详解】解：两边平方得：x+2=1，
∴x=-1，
经检验：x=-1是原方程的根，
∴原方程的解为：x=-1，
故答案为：x=-1．
【点睛】本题考查解无理方程，解无理方程的基本思想是将它转化成有理方程求解，注意要验根．
10. 不等式组 的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出不等式组中每个不等式解集，再确定出公共解集即可．
【详解】解： ，
解①得：x>-1，解②得：x<6，
∴-1<x<6．
故答案为：-1<x<6．
【点睛】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集的原则“大大较大，小小取较小，大小小大中间找，
大大小小无处找”是解题的关键．
11. 将抛物线 向下平移1个单位，所得新的抛物线的表达式是________．
【答案】y=x2+x
【解析】
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=x2+x+1向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+x+1-1，即y=x2+x．
故答案为：y=x2+x．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．
12. 一副52张的扑克牌（无大王、小王），从中任意抽出一张，抽到红桃K的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：一副52张的扑克牌（无大王、小王），从中任意抽出一张，抽到红桃K的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．概率 所求情况数与总情况数之
比．
13. 如图，在梯形ABCD中，AB CD，AB＝2CD， ， ，请用向量 、 表示向量
＝（ ）【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，再根据 求解即可．
【详解】解：∵AB＝2CD，
∴CD= AB，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握向量和的线性运算是解题的关键．
14. 如图，已知AB DE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝_______°．
【答案】37
【解析】
【分析】延长ED交BC于点F，根据两直线平行内错角相等证明∠B=∠BFD，通过邻补角性质求出
∠CDF，再利用三角形外角的性质即可求出∠BCD．
【详解】延长ED，交BC于点F，如图，
∵ ，∴ ，
∵∠CDE与∠CDF互为邻补角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：37．
【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角、三角形外角等知识，熟练掌握相关概念灵活运用是解题关键．
15. 一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，
三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年
折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为_____．
【答案】20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【解析】
【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年
折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．
【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【点睛】一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第
三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
16. 已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10， ，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B
的半径r的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，则BD= BC= =5，解Rt ABD，求出AD长，从而求出AB长，再
△
根据点与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD= BC= =5，∠ADB=90°，
∵cot B= ，即
∴AD=12，
由勾股定理，得AB= =13，
∵顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，过点A作AD⊥BC于D，构造
直角三角形是解题的关键．
17. 如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍AB垂直立于水平的地面上，把木棍CD斜钉在木棍AB上，
点D是木棍AB的中点，再把木棍EF斜钉在木棍CD上，点F是木棍CD的中点，如果A、C、E在一条直
线上，那么 的值为________．【答案】
【解析】
【分析】如图，过 作 于 设 则
再证明 再利用含 的直角三角形的性
质与勾股定理求解AC，AE，从而可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于
由题意可得：
设
则，
故答案为： ．
【点睛】本题考查 的是锐角三角函数的应用，含 的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根
式的除法运算，求解 是解本题的关键．
18. 如图，已知边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在半径与这个正方形边长相等的圆O上，顶点C、D
在该圆内．如果将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C与点C'为对应点，那
么△ACC'的面积＝________．
【答案】
【解析】
【分析】设当点D第一次落在圆上时的点为 ，连接O ，OA，OB，过点C作CE⊥ 于E，证
OAB是等边三角形，得∠OAB=60°，从而得∠OAD=30°，同理∠OAD′=60°，即可求得∠DAD′=∠OAD′-
△
∠OAD =30°，再由旋转可得：∠CAC′=∠DAD′=30°， AC′=AC= ，所以 CE= = ，然后由
S = 求解即可．
ACC‘
△【详解】解：如图，设当点D第一次落在圆上时的点为 ，连接O ，OA，OB，过点C作CE⊥ 于
E，
∵正方形ABCD，AB=1，
∴∠BAE=90°，AC= ，
∵OA=OB=AB=1，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴∠OAD=30°，
同理∠OAD′=60°，
∴∠DAD′=∠OAD′-∠OAD =30°，
由旋转可得：∠CAC′=∠DAD′=30°，AC′=AC= ，
∵CE⊥ 于E，
∴CE= = ，
∴S = = ，
△ACC‘
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，本题属中
考常考题目，难度不适中．
三、解答题.
19 计算： ．
【答案】5
【解析】
【分析】先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，并把特殊角三角函数值代入，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
＝5．
【点睛】本题考查实数 的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂运算法则和熟记特殊角的三角函
数值是解题的关键．
20. 解方程： ．
【答案】x＝1
【解析】
【分析】因式分解 ，确定最简公分母，化分式方程为整式方程求解
【详解】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：
4x＝ ﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），
整理得： ﹣4x+3＝0，
解得： ＝1， ＝3，
经检验： ＝3是原方程的增根，
所以，原方程的解为x＝1．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，通过因式分解确定最简公分母，化成整式方程求解是解题的关键，
注意验根是防止出错的根本．
21. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．（1）求证：AB CD；
（2）已知BC＝6，AB＝10，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线定义得， ．再由等腰三角形性质得 ．从而得出
，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出 ，再证 CDE∽ ABE，得 ，代入即可求得 ，然后由
△ △
求解即可．
【小问1详解】
证明：∵BD平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴△CDE∽ ABE，
△
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中，
．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
22. 某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低
于 60 分）绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题．
表a:
分数段 60－70 70－80 80－90 90－100
频数 6 19 m 5
频率 15% n 25% 12．5%（1）参加决赛的学生有 名，请将图b补充完整；
（2）表a中的m＝ ，n＝ ；
（3）如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是 ．
【答案】（1）40，图见解析
（2）10，47.5%
（3）37.5%
【解析】
【分析】（1）根据表a中60-70分段的频数除以频率即为参加决赛的学生总人数，再利用80-90分段的频
率求出m的值，即可补充表b；
（2）在（1）问中已求出m，根据频率=频数/总数即可求出n;
（3）先统计出80分以上人数之和，再除以总人数即可．
【小问1详解】
根据图a可知，分数60-70之间的人数有6人，频率为15%，
所以参加决赛的学生总数为 人，
∵80-90分段的频率为25%，
∴80-90分段的频数为 人，
故答案为：40．
补充图b如下：【小问2详解】
根据（1）问中已求出的80-90分段的频数10即为m，
从表a可知，70-80分段人数为19，
所以 ，
故答案为：10；47.5%．
【小问3详解】
由表a可知，80分以上人数有10+5=15人，
所以优秀率= ，
故答案为：37.5%．
【点睛】本题考查直方图，熟练掌握频数、频率的算法及直方图的作法是解题的关键．
23. 如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、
ON上的点．
（1）求证：∠AOM＝∠AON；（2）如果AE ON，AF OM，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出 ， ，再证Rt AOM≌Rt AON（HL），
△ △
即可得出结论；
（2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性
质得 ， ．然后证 ．得 ，代入即可得出结论．
【
小问1详解】
证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵在Rt AOM和Rt AON中，
△ △
，
∴Rt AOM≌Rt AON（HL），
△ △
∴ ．
【小问2详解】
解：连接EF，交AO于点P．∵ ， ，
∴四边形AEOF是平行四边形．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴四边形AEOF是菱形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，即 ．【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的
判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点A（4，0），顶点为H（2，
4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQ CH，交对称轴l于点Q，且
，求直线PQ的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意将抛物线表达式设为顶点式，将A、H坐标代入即可求出；
（2）过点C向对称轴和x轴作垂线，设C点坐标为 ，根据角度相等，所以正切值相等，
分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以m表示各线段长度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分别作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以两三角形面积比
等于OM与AN的比，延长PQ交x轴于点D，则 ，得到三角形相似，继而得到OM与AN的比等于OD与AD的比，从而求出D点坐标，因为PQ CH，先求出CH表达式为 ，则可将PQ的
表达式设为 形式，将D点坐标代入即可求出表达式．
【小问1详解】
∵抛物线经过点 ，顶点为 ，
∴设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
分别过点C作 ， 轴，垂足为点G、F，
设 ，
则： ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
∴ ，
解得 ，
经检验，m=1是方程的解，
则 ，
∴C点坐标 为．
【小问3详解】
延长PQ交x轴于点D．分别过点O、A作直线PQ的垂线，垂足分别为点M、N．
∵点C坐标为 ，点H坐标为 ，
∴设直线CH的表达式为 ，将C、H坐标代入得 ，
解得 ，
∴直线CH表达式为： ，
①当 、 在直线PQ的两侧时，
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴△ODM∽△ADN，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴D点坐标为 ．
又∵ ，
∴设直线PQ的表达式为 ，
将D点坐标代入得 ，
解得 ，
∴PQ表达式为 ；
②当 、 在直线PQ的同侧时，
∵ ，
∴△ODM∽△ADN，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时D点坐标为 ，
∴设直线PQ的表达式为 ，
将 代入解得 ，
∴直线PQ的表达式为
综上所述，满足条件的直线PQ的表达式为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，需熟练掌握二次函数数形结合的综合应用．
25. 已知：在梯形ABCD中，AD BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中点，过点O
作OE⊥OB，交BC的延长线于点E．
（1）当BC＝EC时，求证：AB＝OE；
（2）设BC＝α，用含α的代数式表示线段BE的长，并写出α的取值范围；
（3）联结OD、DE，当△DOE是以DE为直角边的直角三角形时，求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）BC的长为 或
【解析】【分析】（1） 即可得出结论；
（2）证 ，得 ，由勾股定理求出 ，再代入比例式即可求解；
（3）分两种情况：①当 时，②当 时，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，O是AC的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
【小问3详解】
解：设 ，则 ．
①当 时，延长BO交AD于点G，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ （负根舍）．
②当 时，分别过点O、E作 ， ，垂足分别为点M、N，延长BO交AD
于点G，如图，
由∠ABC=90°及BC∥AD知，四边形ABEN是矩形，
∴EN=AB=6，AN=BE．
∵ ，
∴ ，
∵OA=OC，
∴OB=OG ，AG=BC．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵AB∥OM，
∴∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或- （负根舍）．
综上所述满足条件的BC的长为 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形
的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及运用是解题的关键．
