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2021 学年第二学期九年级数学期中线上练习
一、选择
1. 在 中， ， 的余弦是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的余弦可进行求解．
【详解】解：在 中， ，则 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查角的余弦，熟练掌握求一个角的余弦是解题的关键．
2. 已知非零向量 和单位向量 ，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A. 向量的模只有大小，没有方向，则 不成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. 单位向量 与向量 方向不一定相同，则 ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. 单位向量 与向量 方向不一定相同，则 ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．
3. 下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解．
【详解】解：A、 的被开方数的因式指数为1，故符合题意；
B、 的被开方数的因式分别为5， ，其中x的指数为2，故不符合题意；
C、 的被开方数的因式有3， ，其中4是2的平方，故不符合题意；
D、 的被开方数的因式为 ，指数是2，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键．
4. 下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为 ；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数 ，规定
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根、近似数及分数指数幂可进行排除选项．
【详解】解：①2能被6整除，原说法错误；
②把16开平方得16的平方根，表示为 ，原说法错误；
③把237145精确到万位是 ，原说法错误；
④对于实数 ，规定 ，当m、n不为正整数时， 不成立，原说法错误；所以错误的有
4个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根、近似数及分数指数幂是解题的关键．
5. 下列关于代数式的说法中，正确的有（ ）
①单项式 系数是2，次数是2022次；②多项式 是一次二项；③ 是二次根式；④对于实数
， ．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质逐个分析判断即可．
【详解】解：①单项式 系数是 ，次数是0次，故①不正确；
②多项式 是一次二项，故②正确；
③ 是二次根式，故③正确；
④对于实数 ， ，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了单项式 的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质，掌握
以上知识是解题的关键．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项
式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0， 多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项
的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式
个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的
次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．形如 的代数式是二次根式．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，以 为顶点， 为一边作 角，角的另一边
交 轴于 （ 在 上方），则 坐标为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2， ，BD=1，然
后可得 ， ，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求
解．
【详解】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：
∵ ， ，
∴AD=2， ，BD=1，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设BC=x，则CD=x+1，
∴ ，
在Rt△BEC中，由勾股定理得： ，
解得： （负根舍去），
∴ ，
∴ ，
∴点 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角
三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
二、填空
7. 如果从 、 、-1、 、 任意选取一个数，选到的数是无理数的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】先找出无理数的个数，再利用概率公式计算即可．【详解】解：在 、 、-1、 、 中，无理数有 和 ，共计2个，
所以，选到的数是无理数的概率为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数的定义，找出无理数的个数是解题关键．
8. 将抛物线 向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为 ，则抛物线 解析式
为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设抛物线 为 ，根据平移的规律写出平移后的解析式，并与已知相等，即可求
解．
【详解】设抛物线 为
将抛物线 向左平移2个单位，向上平移1个单位后，可得
即 为
解得
抛物线 为
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
9. 抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________．
【答案】a<1
【解析】
【分析】根据题意列出不等式并解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a−1<0，
解得a<1，
故答案为：a<1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数 的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性．
10. 为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为 ，第一季度的总产值为
（亿元），则 关于 的函数解析式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．
【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为 ，
∴二月份的为
三月份的为
第一季度的总产值为 （亿元），则
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
11. 如图，是实验室里一批种子的发芽天数统计图，其中“1天发芽”的圆心角和“3天发芽”的百分比如图所
示，“2天发芽”与“4天发芽”的扇形弧长相等．则这批种子的平均发芽天数为________．
【答案】2.8
【解析】
【分析】先根据题意及圆周角定理，分别得出各种情况所占的百分比，再求天数的加权平均数即可．
【详解】由图可知，“1天发芽”的圆心角为36°，“3天发芽”的百分比为50%“1天发芽”的百分比为
“2天发芽”与“4天发芽”的百分比之和为
“2天发芽”与“4天发芽”的扇形弧长相等
其所对的圆心角相等，所占的百分比也相等
即“2天发芽”与“4天发芽”的百分比均为
这批种子的平均发芽天数为 天
故答案为：2.8．
【点睛】本题考查了扇形统计图，涉及圆周角定理、加权平均数，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 已知正多边形每个内角的度数为 ，则正多边形的边长与半径的比值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意求出正多边形的边数，然后求出此正多边形的中心角，然后再Rt△ACO中求出
的值，即可求解．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n-2）×180°=144°×n，
∴n=10，
∴正多边形的中心角为 ，
如图，过O作OC⊥AB于C，∵OA=OB，
∴ ，AB=2AC，
∴ ，
∴ ，
即正多边形的边长与半径的比值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的定义，正弦的定义等，求出中心角是解题的关键．
13. 如图，已知平行四边形 中， 是 上一点， ，联结 交 于 ，若向量
，向量 ，则向量 ________．
【答案】
【解析】
的
【分析】先求出 ，再根据△AEF∽CBF，得出 与 关系即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△AEF∽CBF，∴ ，
∵ ，
∴BC=AD=3AE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的计算，平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运
算法则是解答本题的关键．
14. 如图，已知 中，点 是 上一点， ，若 ， ，则
________．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意易得 ，进而问题可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及角的正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定及角的正
切是解题的关键．
15. 小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在 点测得古树顶的仰角为
，向前走了100米到 点，测得古树顶的仰角为 ，则古树的高度为________米．
【答案】
【解析】
【分析】由正切的定义分别确定 的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．
【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则 ，BD=AD-100∴依题意，有
由①得
将③代入②，解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关
键．
16. 如图，已知 中， 、 分别在边 、 上， ， 平分 ，交 于
，若 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ， ，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17. 如图，已知在 中， ， ， ， 是边 上一点，将 沿直线
翻折，点 落在点 处，如果 ，那么点 与点 的距离等于________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，则有
，然后可得 ，进而可得 ，则有
， ，最后问题可求解．
【详解】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及解直角
三角形是解题的关键．
18. 如图，在直角梯形 中， ， ， 是 上一定点， ， ， ，
，点 是 上一个动点，以 为圆心， 为半径作 ，若 与以 为圆心，1为半径的
有公共点，且 与线段 只有一个交点，则 长度的取值范围是________________．
【答案】【解析】
【分析】由题意可得当 与AD相切时，PC为最小值；当 与 内切时，则PC为最大值，进而问
题可求解．
【详解】解：如图所示，
当 与AD相切时，切点为M，此时PC为最小值，
∵PM⊥AD， ，
∴ ；
当 与 内切时，切点为Q，此时PC为最大值，
∴ ，
综上所述： 长度的取值范围是 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查切线的性质及圆与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质及圆与圆的位置关系是解题
的关键．
三、解答
19. 先化简代数式 ，然后在下列数值 、3、 、2、0中，挑选一个作为 的
值代入求值．
【答案】 ，当 时，原分式的值为【解析】
【分析】先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件选取x的值进行代入求解即可．
【详解】解：原式=
=
= ；
由题意知当x=0或3或-3或2时，分式无意义；
∴把 代入得： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是
解题的关键．
20. 解不等式组： 并写出它的自然数解．
【答案】 ，自然数解为
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得由②得
它的自然数解为0、1、2、3、4
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求非负整数解，分母有理化，正确掌握一元一次不等式解集确
定方法是解题的关键．
21. 为了解某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，调研组选择了有600名学生的 校，抽取40名
学生进行调查，调查情况具体如下表：
图表1：感兴趣的运动项目
项目 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 健美操
人数 4 16 10 4 6
（1）此次调查的总体是__________，样本容量是__________．
（2）若从9年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查________（“合适”，“不合适”），原因是样本
不是________样本；
（3）根据图表1，估计该校对篮球感兴趣的学生的总人数为_____；
（4）根据图表2，若从左至右依次是第一、二、三、四、五组，则中位数落在第___组．
（5）若要从对篮球感兴趣的同学中选拔出一支篮球队来，现在有以下两名学生的投篮数据，记录的是每
10次投篮命中的个数．
甲同学：10、5、7、9、4；乙同学：7、8、7、6、7．若想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数
据的________，因为这个量可以代表数据的________．请计算出你所填写的统计量，并且根据计算的结果，
选择合适的队员．
【答案】（1）某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，40（2）不合适；随机抽样
（3）240 （4）三
（5）方差；离散程度；选择乙
【解析】
【分析】（1）根据总体及样本容量的相关概念可直接进行求解；
（2）由题意可直接求解；
（3）由图表1及题意可直接进行求解；
（4）由题意知一共抽取40名学生进行调查，则将数据从小到大排列，第20，21和的平均数即为中位数，
进而根据图表2可求解；
（5）根据题意可求出方差，然后问题可求解．
【
小问1详解】
解：总体是指要调查对象的全体，所以此次调查的总体是某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，样
本容量是样本中个体的数量，所以样本容量是40；
故答案为某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，40；
【小问2详解】
解：9年级某学习加强班不具有代表性，样本抽取选择要有代表性，所以这样的调查不合适，样本不是随
机抽样样本；
故答案为：不合适；随机抽样；
【小问3详解】
解：由题意得： （名）；
故答案为240；
【小问4详解】
解：由题意知一共抽取40名学生进行调查，则将数据从小到大排列，第20，21和的平均数即为中位数，
∴ ，
所以中位数落在第三组；
故答案为三；
【小问5详解】
解：选择最稳定的同学，应该计算两位同学的方差，方差代表数据的离散程度；∴甲的平均数： ；乙的平均数： ，
甲 方差： ；
的
乙的方差： ；
因为 ，所以从稳定性考虑，应选择乙同学；
故答案为方差；离散程度；选择乙．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、中位数、方差及频数直方图；熟练掌握平均数、众数、中位数、方
差及频数直方图是解题的关键．
22. 如图，已知 是 的直径， 是 上一点，点 、 在直径两侧的圆周上，若 平分 ，
求证：劣弧 与劣弧 相等．
【答案】见详解
【解析】
【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然
后可得 ，进而问题可求证．
【详解】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵ 平分 ，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴ （HL），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的联系是解题的关键．
23. 如图，已知在梯形 中， ，对角线 、 交于 ， 平分 ，点 在底边
上，连结 交对角线 于 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连结 ，求证： ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，然后可得 ，则有
，由角平分线及平行线的性质可得 ，进而问题可求证；
（2）由（1）可知 ，然后可得 ，进而可得
，最后根据相似三角形的性质可求证．
【小问1详解】证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
证明：由（1）可知 ，
∵DE=DE，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定，
熟练掌握菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．24. 已知直线 经过点 ， 两点，抛物线 与已知直线交于 、
两点（点 在点 的右侧），顶点为 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求 的取值范围；
（3）若直线 与直线 所成夹角的余切值等于3，求抛物线 的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法直接代入点坐标求解即可得到答案．
（2）由抛物线顶点式求得顶点坐标，进而依题意“顶点不在第一象限”列出不等式，进而可得到答案．
（3）由直线及抛物线的表达式，求出交点坐标，确定点D坐标，进而作PH垂直AB于点H，设出点H坐
标，依题意有 ， 即有 ，联立等式成方程组，进而求解可得到答案．
【小问1详解】
解：∵直线 经过点A、B，∴有 解得
∴直线的表达式为
【小问2详解】
解：∵
∴
∴顶点坐标为（2,2-4a）
∵顶点不在第一象限
∴
∴
【小问3详解】
解：依题意有 ，解得 或
∴抛物线与已知直线交于（0,2）、 两点
∵顶点P坐标为（2，2-4a）且点C在点D的右侧
∴点C ，点D（0,2）
过点P作PH垂直AB于点H，设点H坐标为（m，m+2）
∴ ，
∴直线DP与直线AB所成夹角的余切
设直线PH的表达式为 ，直线PH过点P、H，
∴有 解得∵
∴ 即
联立①②，解得 或
∵当 时，点C坐标为（0,2）与点D重合，不符合题意
∴
∴抛物线的表达式为 ．
【点睛】本题为二次函数的综合题，考查二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、余切的概念
定义、解二元一次方程组等知识；熟练掌握相关知识，构造直角三角形建立方程组求解是解题的关键．
25. 梯形 中， ， 于点 ， ， ， 以 为直径， 以
为直径，直线 与 交于点 ，与 交于点 （如图），设 ．（1）记两圆交点为 、 （ 在上方），当 时，求 的值；
（2）当 与线段 交于 、 时，设 ，求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接 ，线段 与 交于点 ，分别连接 、 ，若 与 相似，求 的
值．
【答案】（1）1+
（2） =- (x+3)2+64（1≤x＜2）
（3）6-
【解析】
【分析】（1）过点A作AG⊥BC，连接OE，OE，由题意得 垂直平分EF， ，通过解直
1 2
角三角形可得AG=8，BG=6，再由 ， ， ，AG⊥BC得四边形ADCG和四边形ADO I是矩形，根据勾股定理求出ON和OH，进而求AD；
2 1 2
（2）过点O 作OG⊥PQ于点G，勾股定理求OG= ，再由正切求得 关于 的函数关系式；
2 2 2
（3）由 ∽ ，得 = ，由 = ，得MN=GN，过点A作AH⊥MN，利用正切
和勾股定理求出AM=2 ，再由相似的性质和判定求出AM= （6-x），进而得x．
【小问1详解】
解：过点A作AG⊥BC，连接OE，OE
1 2
由题意得 垂直平分EF，
又
∴ ，∠EHO =∠EHO =90°，EH= EF=3
2 1
又AG⊥BC，
∴∠AGC=∠AGB=90°，∠DCG=90°
∵
∴∠AIO=∠AIO=90°，∠DO I=∠OOC=∠ADO =90°
2 1 2 1 2 2
∴四边形ADCG和四边形ADO I是矩形
2
∴DC=AG，DA=CG= IO ，DO =AI
2 2
∵O 是DC的中点
2
∴I是AG的中点
∵O 是AB的中点
1
∴OI是 ABG的中位线
1
△
∴OI= BG
1
∵ ，
∴AG=8，BG=6∴OI= BG= ×6=3
1
在Rt OHE和Rt OHE中
1 2
△ △
OH= = =4
1
OH= = =
2
∴O O= OH + OH=4+
1 2 1 2
∴AD=IO = O O- OI==4+ -3=1+
2 1 2 1
【小问2详解】
解：由（1）可知，O O= AD+OI=x+3
1 2 1
过点O 作OG⊥PQ于点G
2 2
∴PG= PQ= y
在Rt OPG中
2
△
OG= = =
2
∵
∴∠OOG=∠B
2 1
又
∴tan∠OOG=
2 1∴sin∠OOG=
2 1
又O O= x+3
1 2
∴ =
∴ =- (x+3)2+64（1≤x＜2）
【小问3详解】
解：∵MN=ON+O M-O O
2 1 1 2
∴MN=4+5-（3+x）=6-x
由 ∽ ，得
=
由 = ，得MN=GN=6-x
∴∠GMN=∠MGN
又OA= OM
1 1
∴∠GMN=∠OAM
1
∴∠OAM=∠MGN
1
∴∠AM O 为公共角
1
∴ AMO∽ GMN
1
△ △
∴ AMO∽
1
△∴ =
∴AM= （6-x）
∵
∴
又
∴
过点A作AH⊥MN
又OA=5
1
∴OH=3，AH=4
1
∴HM=OM-O H=5-3=2
1 1
在Rt△AHM中
AM= = =2
∴ （6-x）=2
解得x=6-
【点睛】本题是圆的综合，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数求值，中
位线的性质以及勾股定理等知识点，属于中考中的压轴题．
