文档内容
2014年上海市黄浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）抛物线y＝x2+3x﹣4的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝ D．直线x＝
2．（4分）抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若E为CD中点，且AE与BD交于点F，
则△EDF与△ABF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
4．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处
送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米 B． 米 C． 米 D．3 米
5．（4分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定
△AED∽△ABC是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，若AB＝1，则线段
BD的长是（ ）
A．sin2A B．cos2A C．tan2A D．cot2A
第1页（共26页）二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的
相应位置上】
7．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝9，c＝4，那么b＝ ．
8．（4分）计算： ＝ ．
9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为
．
10．（4分）若将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是
．
11．（4分）如果抛物线y＝（a+2）x2+ax﹣3的开口向上，那么a的取值范围是
．
12．（4分）若抛物线y＝（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是
．
13．（4分）若AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，FD＝2，则线段AD的
长为 ．
14．（4分）在△ABC中，∠A＝90°，若BC＝4，AC＝3，则cosB＝ ．
15．（4分）如图，若在△ABC中，AB＝AC＝3，D是边AC上一点，且BD＝BC＝2，
则线段AD的长为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH
的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为
x（0＜x＜3），矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ．
第2页（共26页）17．（4分）若抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，则a的
值为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，cotA＝ ，点D、E分别是边
BC、AC上的点，且∠EDC＝∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，
则DE的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
21．（10分）如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上
一点，且EG∥BD，GF∥DC
（1）求证：EF∥BC；
（2） 时，求 的值（S 表示△EFG的面积，S 表示△BCD的面
△EFG △BCD
积）
第3页（共26页）22．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，B在A的正东方向，
AB＝10千米，在某一时刻，从观测站A测得一艘集装箱货船位于北偏西62.6°
的C处，同时观测站B测得改集装箱船位于北偏西69.2°方向，问此时该集装
箱船与海岸之间距离CH约多少千米？（最后结果保留整数）
（参考数据：sin62.6°≈0.89，cos62.6°≈0.46，tan62.6°≈1.93，sin69.2°≈0.93，
cos69.2°≈0.36，tan69.2°≈2.63）
23．（12 分）如图已知点 M 是△ABC 边 BC 上一点，设 ＝ ， ＝
（1）当 ＝2时， ＝ ；（用 与 表示）
（2）当 ＝m（m＞0）时， ＝ ；（用 、 与m表示）
（3）当 ＝ + 时， ＝ ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝
x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线
上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴
的夹角为 ，当 ＝∠ABM时，求P点坐标．
α α
第4页（共26页）25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，sinB＝ ，D为边AC中点，P
为边AB上一点（点P不与点A、B重合），直线PD交BC延长线与E，设线段
BP长为x，线段CE长为y．
（1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）过点D作BC平行线交AB与点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF＝DF，
联结PQ、QE、QE交边AC于G点
当△EDQ与△EGD相似时，求x的值；
①求证： ．
②
第5页（共26页）2014 年上海市黄浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）抛物线y＝x2+3x﹣4的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝ D．直线x＝
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】已知解析式为抛物线解析式的一般式，利用对称轴公式直接求解．
【解答】解：由对称轴公式：对称轴是x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ，
故选：D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶对称轴的方法，解题的关键是牢记对称轴公式．
2．（4分）抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【考点】H2：二次函数的图象．
菁优网版权所有
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2的图象经过坐标原点，且开口方向向下，
∴一定经过第三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象，是基础题，需熟练掌握二次函数的有关性质：
开口方向、对称轴、顶点坐标等．
3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若E为CD中点，且AE与BD交于点F，
则△EDF与△ABF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
第6页（共26页）【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，即可得出△DFE∽△BFA，进而利
用相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴△DFE∽△BFA，
∴ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，根据已知
得出△DFE∽△BFA是解题关键．
4．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处
送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米 B． 米 C． 米 D．3 米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【分析】根据坡比求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图：作BF⊥AF，垂足为F．
∵BF：AF＝1：3，
∴2：AF＝1：3，
∴AF＝6，
∴AB＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．
第7页（共26页）5．（4分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定
△AED∽△ABC是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
菁优网版权所有
【分析】根据相似三角形的判定定理：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹
角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似
进行分析即可．
【解答】解：A、有条件∠ADE＝∠C，∠A＝∠A可利用两角法：有两组角对应相等
的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；
B、有条件∠AED＝∠B，∠A＝∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角
形相似证明△AED和△ABC相似；
C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相
似证明△AED和△ABC相似；
D、不能证明△AED和△ABC相似；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是熟练掌握相似三角形的判定
定理．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，若AB＝1，则线段
BD的长是（ ）
A．sin2A B．cos2A C．tan2A D．cot2A
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
【分析】求出∠＝∠BCD，解直角三角形求出BC、求出BD即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝1，
∴BC＝AB•sinA＝sinA，
∵CD为边AB上的高，
∴∠CDB＝90°，
第8页（共26页）∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴BD＝BC•sin∠DCB＝1×sinA×sinA＝sin2A，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求
出BC的长和BD的长．
二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的
相应位置上】
7．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝9，c＝4，那么b＝ 6 ．
【考点】S2：比例线段．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．
【解答】解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．则b＝ ＝ ＝6
【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
8．（4分）计算： ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】直接利用整式加减的运算法则求解可求得答案．
【解答】解： ＝3 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ＝ ﹣5 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握平面向量的运算．
9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为
6 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
菁优网版权所有
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出 ＝ ＝ ，再根据DF＝BF× 代
入计算即可．
第9页（共26页）【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ ＝ ，
∵BF＝10，
∴DF＝10× ＝6；
故答案为；6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比
例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
10．（4分）若将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是 y ＝ x 2
﹣ 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向下平移2个单位的顶点坐标为（0，﹣2），
∴所得抛物线的表达式为：y＝x2﹣2．
故答案为：y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛
物线解析式更简便．
11．（4分）如果抛物线y＝（a+2）x2+ax﹣3的开口向上，那么a的取值范围是 a
＞﹣ 2 ．
【考点】H1：二次函数的定义；H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数a+2＞0．
【解答】a＞﹣2解：因为抛物线y＝（a+2）x2+ax﹣3的开口向上，
所以a+2＞0，即a＞﹣2．
故答案为：a＞﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜
0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
12．（4分）若抛物线y＝（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是
（ 1 ，﹣ 2 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
第10页（共26页）【分析】首先根据对称轴是直线x＝1，从而求得m的值，然后根据顶点坐标公式直
接写出顶点坐标；
【解答】解：∵抛物线y＝（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x＝1，
∴m＝﹣1，
∴解析式y＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标为：（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适
中．
13．（4分）若AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，FD＝2，则线段AD的
长为 6 ．
【考点】K5：三角形的重心．
菁优网版权所有
【分析】根据题意画出图形，根据AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F得
出点F是△ABC的重心，再根据重心的性质得出AF的长，由AD＝AF+FD即
可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，FD＝2，
∴点F是△ABC的重心，
∴AF＝2FD＝2×2＝4，
∴AD＝AF+FD＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点
的距离之比为2：1是解答此题的关键．
14．（4分）在△ABC中，∠A＝90°，若BC＝4，AC＝3，则cosB＝ ．
【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
第11页（共26页）【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：AB＝ ＝ ＝ ，
则cosB＝ ＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．（4分）如图，若在△ABC中，AB＝AC＝3，D是边AC上一点，且BD＝BC＝2，
则线段AD的长为 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠C＝∠CDB＝∠ABC，即可得出
△ABC∽△BCD，进而利用相似三角形的性质得出CD的长，即可得出AD的
长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠CDB，
∴∠C＝∠CDB＝∠ABC，
∴△ABC∽△BCD，
∴ ＝ ，
∵AB＝AC＝3，BD＝BC＝2，
∴ ＝ ，
第12页（共26页）∴CD＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，根据
已知得出△ABC∽△BCD是解题关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH
的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为
x（0＜x＜3），矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 y ＝﹣
x 2 +5 x ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】设边 EF 的长为 x（0＜x＜3），则 AN＝3﹣x，进而利用已知得出
△AEH∽△ABC，进而得出EH的长，即可得出答案．
【解答】解：设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：EH＝ （3﹣x），
∵矩形EFGH的面积为y，
∴y关于x的函数解析式是：y＝ （3﹣x）×x＝﹣ x2+5x．
第13页（共26页）故答案为： ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数
解析式，根据已知得出EH的长是解题关键．
17．（4分）若抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，则a的
值为 3 ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
菁优网版权所有
【分析】根据y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，则b2﹣4ac＝
（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＝0，进而得出即可．
【解答】解：∵y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，
∴b2﹣4ac＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＝0，
解得：a ＝3，a ＝﹣1，当a＝﹣1，则a+1＝0，故舍去．
1 2
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，根据题意得出b2﹣4ac＝0得出是
解题关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，cotA＝ ，点D、E分别是边
BC、AC上的点，且∠EDC＝∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，
则DE的长为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，
第14页（共26页）根据折叠的性质得到 DE⊥CF，OC＝OF，再根据等角的余角相等得∠1＝
∠EDC，而∠EDC＝∠A，则∠1＝∠A，所以FC＝FA，同理可得FC＝FB，于是
有CF＝ AB，OC＝ AB，然后根据余切的定义和勾股定理得到BC＝4，AB＝
5，所以OC＝ ，
再分别在Rt△OEC和Rt△ODC中，利用余切的定义计算出OE＝ ，OD＝ ，
再计算OE+OD即可．
【解答】解：把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O
点，如图，
∴DE⊥CF，OC＝OF，
∵∠EDC+∠OCD＝90°，∠1+∠OCD＝90°，
∴∠1＝∠EDC，
而∠EDC＝∠A，
∴∠1＝∠A，
∴FC＝FA，
同理可得FC＝FB，
∴CF＝ AB，
∴OC＝ AB，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，
∴cotA＝ ＝ ，
∴BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∴OC＝ ，
在Rt△OEC中，cot∠1＝cot∠A＝ ，即 ＝ ，
第15页（共26页）∴OE＝ ，
在Rt△ODC中，cot∠ODC＝cot∠A＝ ，即 ＝ ，
∴OD＝ ，
∴DE＝OD+OE＝ + ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理
和锐角三角函数．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝ ＝2+ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
第16页（共26页）【分析】（1）设一般式y＝ax2+bx+c，再把A、B、C三点坐标代入得到关于a、b、c的
方程组，然后解方程组求出a、b、c即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择
恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点
或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点
时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（10分）如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上
一点，且EG∥BD，GF∥DC
（1）求证：EF∥BC；
（2） 时，求 的值（S 表示△EFG的面积，S 表示△BCD的面
△EFG △BCD
积）
【考点】S4：平行线分线段成比例；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）先根据相似比的性质得出 ＝ ， ＝ ，故可得出 ＝ ，由
此即可得出结论；
（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故
第17页（共26页）可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠ GEF＝∠DBC，故可得出
△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
【解答】解：（1）∵EG∥BD，
∴ ＝ ，
∵GF∥DC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF∥BC；
（2）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∵EG∥BD，
∴∠AEG＝∠ABD，
∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，
同理可得，∠GEF＝∠DBC，
∴△EGF∽△BDC，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比等
第18页（共26页）于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
22．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，B在A的正东方向，
AB＝10千米，在某一时刻，从观测站A测得一艘集装箱货船位于北偏西62.6°
的C处，同时观测站B测得改集装箱船位于北偏西69.2°方向，问此时该集装
箱船与海岸之间距离CH约多少千米？（最后结果保留整数）
（参考数据：sin62.6°≈0.89，cos62.6°≈0.46，tan62.6°≈1.93，sin69.2°≈0.93，
cos69.2°≈0.36，tan69.2°≈2.63）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】设CH＝x，在直角△ABC中利用三角函数和x，表示出AH的长，同理在直
角△BHC中，利用x表示出BH，根据AB＝10，即BH﹣AH＝10，即可列方程求
得CH的长．
【解答】解：设CH＝x，在直角△ABC中，∠ACH＝62.6°，
∵tan∠ACH＝ ，
∴AH＝x•tan62.6°，
在直角△BHC中，∠BCH＝69.2°，
∵tan∠BCH＝ ，
∴BH＝x•tan69.2°，
∵AB＝BH﹣AH，
∴x•tan69.2°﹣x•tan62.6°＝10，
解得：x＝ ≈14．
答：此时该集装箱船与海岸之间距离CH约14千米．
【点评】此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关
知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
23．（12 分）如图已知点 M 是△ABC 边 BC 上一点，设 ＝ ， ＝
第19页（共26页）（1）当 ＝2时， ＝ + ；（用 与 表示）
（2）当 ＝m（m＞0）时， ＝ + ；（用 、 与m表示）
（3）当 ＝ + 时， ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】（1）由 ＝ ， ＝ ，根据三角形法则即可求得 ，又由 ＝2，即可求
得 的值，继而求得答案；
（2）由 ＝ ， ＝ ，根据三角形法则即可求得 ，又由 ＝m，即可求得 的
值，继而求得答案；
（3）根据（2）的结论，可得 ＝ ，继而求得m的值．
【解答】解：（1）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵ ＝2，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ + ＝ +（ ﹣ ）＝ + ；
（2）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵ ＝m，
第20页（共26页）∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ + ＝ +（ ﹣ ）＝ + ；
（3）∵ ＝ + ，
∴ ＝ ，
解得：m＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为：（1） + ；（2） + ；（3） ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝
x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线
上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴
的夹角为 ，当 ＝∠ABM时，求P点坐标．
α α
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
第21页（共26页）【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点
M的坐标，令x＝0求出A点的坐标，把x＝3代入函数解析式求出点B的坐标；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB＝∠EBA
＝45°，同理求出∠FAM＝∠FMA＝45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据
相似三角形对应边成比例列式求出 ，再求出∠BAM＝90°，然后根据锐角的
正切等于对边比邻边列式即可得解；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用 的正切
值列出方程求解即可．
α
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y＝（x
﹣1）2﹣3，
顶点M（1，﹣3），
令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣3＝﹣2，
点A（0，﹣2），
x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣3＝4﹣3＝1，
点B（3，1）；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB＝EA＝3，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，
同理可求∠FAM＝∠FMA＝45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠BAM＝180°﹣45°×2＝90°，
∴tan∠ABM＝ ＝ ；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
第22页（共26页）∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），
点P在x轴的上方时， ＝ ，
①整理得，3x2﹣7x﹣6＝0，
解得x ＝﹣ （舍去），x ＝3，
1 2
∴点P的坐标为（3，1）；
点P在x轴下方时， ＝ ，
②整理得，3x2﹣5x﹣6＝0，
解得x ＝ （舍去），x ＝ ，
1 2
x＝ 时，x2﹣2x﹣2＝﹣ × ＝﹣ ，
∴点P的坐标为（ ，﹣ ），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物
线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点
在于作辅助线并分情况讨论．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，sinB＝ ，D为边AC中点，P
为边AB上一点（点P不与点A、B重合），直线PD交BC延长线与E，设线段
BP长为x，线段CE长为y．
（1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
第23页（共26页）（2）过点D作BC平行线交AB与点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF＝DF，
联结PQ、QE、QE交边AC于G点
当△EDQ与△EGD相似时，求x的值；
①求证： ．
②
【考点】SO：相似形综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）在直角三角形ACB中，由AC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求
出AB的长，进而求出BC的长，过P作PH垂直于BC，交BC于点E，在直角三
角形PHB中，利用锐角三角函数定义，根据PB＝x，表示出PH于BH，再由CD
与HP平行，利用平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围
即可；
（2） 连接QB，哟DQ＝BC＝6，且DQ与BC平行，利用一组对边平行且相等的
四边形为平行四边形得到四边形BCDQ为平行四边形，确定出QB的长，当
①
△EDQ与△EGD相似时，得到∠EDC＝∠DQE，由QD与CE平行，得到一对
内错角相等，等量代换得到∠EDC＝∠QEB，再由一对直角相等，得到三角形
DCE与三角形QBE相似，由相似得比例，列出关系式，求出y的值，代入（1）得
出的解析式中计算即可求出x的值；
延长PQ，交EB延长线于M，由DQ与BM平行，根据平行得比例，列出关系式
将QF＝DF代入得到MB＝BE，由 得到QB垂直于ME，得到QE＝QM，由
②
QD与ME平行，得到比例式，将QE＝QM代入，变形后即可得证．
①
【解答】解：（1）∵在Rt△ACB中，AC＝8，sinB＝ ＝ ，
∴AB＝10，BC＝6，
过点P作PH⊥BE，垂直为H，
第24页（共26页）在Rt△PHB中，PH＝ x，BH＝ x，
∵CD∥HP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：y＝ （5＜x＜10）；
（2） 连接QB，
∵DQ＝BC＝6，DQ∥BC，
①
∴四边形QBCD是平行四边形，
∴BQ＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBQ＝90°，
当△EDQ与△EGD相似时，
∵∠EDG＜∠EDQ，
∴∠EDC＝∠DQE，
∵DQ∥CE，
∴∠DQE＝∠QEB，
∴∠EDC＝∠QEB，
∵∠EBQ＝∠DCE＝90°，
∴△EBQ∽△DCE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：y ＝﹣8（舍去），y ＝2，
1 2
代入y＝ 得：x＝8；
延长PQ，交EB延长线于M，
∵DQ∥ME，
②
∴ ＝ ＝ ，
∵QF＝FD，
第25页（共26页）∴MB＝BE，
由 得QB⊥ME，
∴QE＝QM，
①
∵DQ∥ME，
∴ ＝ ＝ ，
则 ＝ ．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股
定理，锐角三角函数定义，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:15:28；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
