文档内容
2014年上海市普陀区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A．平移变换 B．相似变换 C．对称变换 D．旋转变换
2．（4分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实
际长度约为（ ）
A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km
3．（4分）在△ABC中，tanA＝1， ，那么△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
4．（4分）二次函数y＝ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．
5．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直
线一定平行于三角形的第三边
B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同
C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D．相似三角形的中线的比等于相似比
6．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝a，∠ACB＝ ，那么下面各式正确的是（
）
θ
A．AB＝a•sin B．AB＝a•cos C．AB＝a•tan D．AB＝a•cot ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
θ θ θ θ
7．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝ AC，DE＝4，那么EF的值是 ．
8．（4分）在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i＝ ．
9．（4分）抛物线y＝x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式是 ．
10．（4分）请写出一个以直线x＝﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛
第1页（共24页）物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是 ．
11．（4分）如果E、F是△ABC的边AB和AC的中点， ＝ ， ＝ ，那么 ＝
．
12．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三
角形中，相似的三角形是 ．
13．（4分）已知 为一锐角，且cos ＝sin60°，则 ＝ 度．
14．（4分）已知α为一锐角，化简：α + α sin ＝ ．
15．（4分）如果直角α 三角形的斜边长为12，那么它的重心α与外心之间的距离为
．
16．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），并且经过平移后能与抛物线y＝
﹣2x2重合，那么这个二次函数的解析式是 ．
17．（4分）若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为
．
18．（4分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝15，CD＝13，AD＝8，∠B是锐角，
∠B的正弦值为 ，那么BC的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）求值：
20．（10分）已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC＝2：1．
（1）设 ＝ ， ＝ ，先化简，再求作：（﹣2 ﹣ ）﹣（﹣3 ﹣ ）；
（2）用x +y （x、y为实数）的形式表示 ．
第2页（共24页）21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC形内一点，且
∠APB＝∠APC＝135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．
22．（10分）如图，浦西对岸的高楼AB，在C处测得楼顶A的仰角为30°，向高楼
前进100米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，求高楼AB的高．
23．（12分）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且
CD2＝BC•CE，AD＝6，AE＝4．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣ ），且与x轴交于点A、
点B，若tan∠ACO＝ ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），∠MPQ＝
第3页（共24页）45°，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．
25．（14分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点P是边BC上的任意一点，E是
BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结
AF交边CD于点G．
（1）求证：AP＝PF；
（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不
变吗？如改变，试直接写出函数关系式．
第4页（共24页）2014 年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A．平移变换 B．相似变换 C．对称变换 D．旋转变换
【考点】RA：几何变换的类型．
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【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，
大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
2．（4分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实
际长度约为（ ）
A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km
【考点】S2：比例线段．
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【专题】12：应用题．
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．
【解答】解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000＝266000（cm）＝2.66（km）．故选B．
【点评】理解比例尺的概念，正确进行有关计算，注意单位的转换．
3．（4分）在△ABC中，tanA＝1， ，那么△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cotB＝ 求出∠A及∠B的度数，再由三角形
内角和定理求出∠C的度数，进而可判断出三角形的形状．
【解答】解：∵△ABC中，tanA＝1，cotB＝ ，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
第5页（共24页）∴△ABC是钝角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，先特殊角的三
角函数值求出∠A及∠B的度数是解答此题的关键．
4．（4分）二次函数y＝ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x＝0求出y的值，进而可
得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2x﹣3（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝
＜0，
∴其顶点坐标在第二或三象限，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线一定经过第四象限，
∴此函数的图象一定不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题
的关键．
5．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直
线一定平行于三角形的第三边
B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同
C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D．相似三角形的中线的比等于相似比
【考点】LM：*平面向量；O1：命题与定理．
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【专题】16：压轴题．
【分析】定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；不同向量的单位向量的长度不
第6页（共24页）一定相等，方向也不一定相同；一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；相似
三角形的对应中线的比等于相似比．
【解答】解：A、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，故本选项错误．
B、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误．
C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．
D、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查真假命题的概念关键是了解黄金分割点，相似比，向量等知识．
6．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝a，∠ACB＝ ，那么下面各式正确的是（
）
θ
A．AB＝a•sin B．AB＝a•cos C．AB＝a•tan D．AB＝a•cot ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
θ θ θ θ
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【分析】根据正弦、余弦、正切、余切定义可得sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ，
θ θ θ
cot ＝ ，再变形可得答案．
θ
【解答】解：A、sin ＝ ，故此选项错误；
θ
B、cos ＝ ＝ ，则CB＝a•cos ，故此选项错误；
θ θ
C、tan ＝ ＝ ，则AB＝a•tan ，故此选项正确；
θ θ
D、cot ＝ ，则AB＝ ，故此选项错误；
故选：θ C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切、余切定
第7页（共24页）义．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝ AC，DE＝4，那么EF的值是 2 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据BC＝ AC可得 ＝ ，再根据条件AD∥BE∥CF，可得 ＝ ，再
把DE＝4代入可得EF的值．
【解答】解：∵BC＝ AC，
∴ ＝ ，
∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ，
∵DE＝4，
∴ ＝2，
∴EF＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两
条直线，所得的对应线段成比例．
8．（4分）在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i＝ ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡度＝竖直方向上升的
距离：水平方向前进的距离，即可解题．
【解答】解：如图所示：AC＝5米，BC＝3米，
第8页（共24页）则AB＝ ＝ ＝4（米），
则坡度i＝ ＝ ．
故答案为：3：4．
【点评】本题考查了坡度的概念，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又
叫做坡比．
9．（4分）抛物线y＝x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式是 y ＝﹣ x 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数即可得出
【解答】解：根据题意，﹣y＝x2﹣1，化简得：y＝﹣x2+1，
故抛物线y＝x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1．
故答案为：y＝﹣x2+1．
故答案为：y＝﹣x2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质
是解答此题的关键．
10．（4分）请写出一个以直线x＝﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛
物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是 y ＝﹣（ x + 2 ） 2 等 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】在对称轴左侧部分是上升的抛物线必然开口向下，即a＜0，直线x＝﹣2
为对称轴可直接利用配方法的形式写出一个二次函数的解析式．
【解答】解：根据题意得：y＝﹣（x+2）2．（答案不唯一）．
【点评】配方法：将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴
是x＝h．二次函数当a＞0，函数开口向上，当a＜0，函数开口向下．
11．（4分）如果E、F是△ABC的边AB和AC的中点， ＝ ， ＝ ，那么 ＝
第9页（共24页）．
【考点】KX：三角形中位线定理；LM：*平面向量．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】先根据向量的三角形法则得出 + ＝ ，故 ＝ ﹣ ，即 ＝ ﹣ ，
再由三角形中位线定理可知， ＝ ，进而可求出答案．
【解答】解：∵ + ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ，即 ＝ ﹣ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是向量的三角形法则，即首尾相连的两个向量的和是以第一
个向量的起点指向第二个向量的终点．规定：零向量与向量 的和等于 ．
12．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三
角形中，相似的三角形是 △ APB ∽△ CPA ．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】24：网格型．
【分析】△APB∽△CPA，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对
应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【解答】解：△APB∽△CPA，
理由如下：
由题意可知：AP＝ ＝ ，PB＝1，PC＝5，
∴ ， ，
第10页（共24页）∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判
定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关
键．
13．（4分）已知 为一锐角，且cos ＝sin60°，则 ＝ 3 0 度．
【考点】T4：互余两角三角函数的关系．
α α α
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【专题】11：计算题．
【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA＝cosB，那么∠A+∠B＝90°即可得到结论．
【解答】解：∵sin60°＝cos（90°﹣60°），
∴cos ＝cos（90°﹣60°）＝cos30°，
即锐角 ＝30°．
α
故答案为：30．
α
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是
解答此类题目的关键．
14．（4分）已知 为一锐角，化简： +sin ＝ 1 ．
【考点】73：二次α根式的性质与化简；T1：锐角三角函数α 的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据 是锐角得出sin ＜1，再根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵ 是锐角，
α α
∴sin ＜1，
α
∴原式＝1﹣sin +sin ＝1．
α
故答案为：1．
α α
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答
此题的关键．
15．（4分）如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与外心之间的距离为
2 ．
【考点】K5：三角形的重心；MA：三角形的外接圆与外心．
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第11页（共24页）【专题】11：计算题．
【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点，以
及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 即可得出答案．
【解答】解：∵直角三角形斜边长为12，
∴斜边上的中线AM长为6，
∵重心O到顶点A的距离与重心O到外心M的距离之比为2：1，
∴三角形的重心与外心之间的距离OM为2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质以及直角三角形斜边上中线的性质
利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解决问题的关
键．
16．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），并且经过平移后能与抛物线y＝
﹣2x2重合，那么这个二次函数的解析式是 y ＝﹣ 2 （ x + 2 ） 2 + 3 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】先设原抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线
y＝﹣2x2重合可知a＝﹣2，再由二次函数的顶点坐标为（﹣2，3）即可得出结论．
【解答】解：先设原抛物线的解析式为y＝a（x+h）2+k，
∵经过平移后能与抛物线y＝﹣2x2重合，
∴a＝﹣2，
∵二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），
∴这个二次函数的解析式是y＝﹣2（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x+2）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质
是解答此题的关键．
17．（4分）若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为
6 ， 10 ， 12 ．
第12页（共24页）【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方
程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得x ＝4，x ＝2；
1 2
当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4＝10；
当2为腰，4为底时4﹣2＝2＜4+2不能构成三角形，
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为
6，12，故△ABC的周长是6或10或12．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，
不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习
惯，把不符合题意的舍去．
18．（4分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝15，CD＝13，AD＝8，∠B是锐角，
∠B的正弦值为 ，那么BC的长为 2 2 或 1 2 ．
【考点】LH：梯形；T7：解直角三角形．
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【分析】首先根据题意画出图形，然后过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作
DF⊥BC于点F，易得四边形AEFD是矩形，然后由AB＝15，∠B的正弦值为 ，
求得AE与BE的长，再由勾股定理求得CF的长，继而可求得答案．
【解答】解：如图 ，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
①
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝8，AE＝DF，
∵AB＝15，∠B的正弦值为 ，
∴AE＝AB•sin∠B＝15× ＝12，
∴BE＝ ＝9，
∴DF＝AE＝12，
第13页（共24页）∴CF＝ ＝ ＝5，
∴BC＝BE+EF+CF＝9+8+5＝22．
如图 ，BC＝BE+EF﹣CF＝9+8﹣5＝12．
故答案为：22或12．
②
【点评】此题考查了梯形的性质以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌
握数形结合思想的应用．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）求值：
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解： ＝ ＝﹣1
【点评】本题考查了特殊角的三角函数，是基础知识比较简单．
20．（10分）已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC＝2：1．
（1）设 ＝ ， ＝ ，先化简，再求作：（﹣2 ﹣ ）﹣（﹣3 ﹣ ）；
（2）用x +y （x、y为实数）的形式表示 ．
第14页（共24页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）首先化简：（﹣2 ﹣ ）﹣（﹣3 ﹣ ），可得原式＝ + ，然后根据
三角形法则求解，即可作出：（﹣2 ﹣ ）﹣（﹣3 ﹣ ）；
（2）首先根据三角形法则求得 ，然后由AD：DC＝2：1，求得 ，继而求得答案．
【解答】解：（1）（﹣2 ﹣ ）﹣（﹣3 ﹣ ）＝﹣2 ﹣ +3 + ＝ + ；
如图 ，作BC的垂直平分线，交BC于点E，则 ＝ ＝ ，
①
如图 ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
②
则 即为所求；
（2）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵AD：DC＝2：1，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ + ＝ +（ ﹣ ）＝ + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC形内一点，且
∠APB＝∠APC＝135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
第15页（共24页）（2）试求tan∠PCB的值．
【考点】KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定与性质；T1：锐角三角函数
的定义．
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【分析】（1）结合题意，易得∠BAC＝45°，从而可得出∠PAC+∠PAB＝45°，又在
△APB中，∠APB＝135°，以及∠APB＝∠APC，即可得出△CPA∽△APB；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，即可得出CA和AB之间的关系，利用（1）的
条件， ，在△BCP中，∠BPC＝90°，易得出tan∠PCB的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝45°，即∠PAC+∠PAB＝45°，
又在△APB中，∠APB＝135°，
∴∠PBA+∠PAB＝45°，
∴∠PAC＝∠PBA，
又∠APB＝∠APC，
∴△CPA∽△APB．
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵△CPA∽△APB，
∴ ，
令CP＝k，则 ，
又在△BCP中，∠BPC＝360°﹣∠APC﹣∠APB＝90°，
∴ ．
第16页（共24页）【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定
理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性
较强，有一定难度．
22．（10分）如图，浦西对岸的高楼AB，在C处测得楼顶A的仰角为30°，向高楼
前进100米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，求高楼AB的高．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】首先AB＝x，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x，在Rt△ACB
中，∠ACB＝30°，可得BC＝ ＝ x，继而可得方程： x﹣x＝100，解
此方程即可求得答案．
【解答】解：由题意可知：AB⊥CD，
设AB＝x，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝x，
在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，
∴BC＝ ＝ x．
∵CD＝CB﹣BD，
∴ x﹣x＝100，
解得：x＝50 +50（m）．
答：高楼AB的高为（50 +50）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查了三角函数的
定义，一个角的正切值等于对边比邻边．
23．（12分）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且
CD2＝BC•CE，AD＝6，AE＝4．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
第17页（共24页）（3）求CE的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．
【解答】（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，
∴∠BCD＝∠DCE．
∵CD2＝BC•CE，
∴ ，
∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；
（2）证明：∵△BCD∽△DCE，
∴∠EDC＝∠DBC（相似三角形的对应角相等）．
∵∠ADC＝∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE＝∠ACD．
∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；
（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴ ，
AC＝9，
CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，两边对应成比例且夹角相等的两
第18页（共24页）个三角形相似，两角对应相等的两个三角形相似．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣ ），且与x轴交于点A、
点B，若tan∠ACO＝ ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），∠MPQ＝
45°，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣ ），求出b＝﹣ ，再根据
tan∠ACO＝ ，求出点A的坐标，再代入y＝ax2﹣2ax﹣ 即可得出此抛物线的
解析式；（2） 过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点
Q，先求出PB＝PM＝2，再根据∠PMQ＝45°，得出∠MPQ＝45°，再求出点P
①
的坐标即可；
当∠MPQ＝45°，PM＝PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP＝3﹣m，根据
△MPQ∽△MBP，得出MB＝BP，2 ＝3﹣m，求出m的值即可得出点P的坐
②
标，再根据点P是线段OB上一动点，得出不合题意，舍去；
当∠MPQ＝45°，PM＝QM时，点P与点A重合，得出不合题意，舍去．
③【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣ ），
∴b＝﹣ ，
第19页（共24页）∴OC＝ ，
∵tan∠ACO＝ ，
∴OA＝1，
∴点A的坐标是：（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣ 得；a＝ ，
∴此抛物线的解析式为：y＝ x2﹣x﹣ ，
（2） 过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，
∵点M的坐标为：（1，﹣2），
①
点B的坐标为：（3，0），
∴PB＝PM＝2，
∴∠PMQ＝45°，
∴∠MPQ＝45°，
∴PQ＝MQ，
∴点P的坐标为（1，0）；
当∠MPQ＝45°，PM＝PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP＝3﹣m，
∵∠M＝∠M，∠MPQ＝∠MBP，
②
∴△MPQ∽△MBP，
∴ ＝ ，
∵PM＝PQ，
∴MB＝BP，
∵MB＝ ＝2 ，
∴2 ＝3﹣m，
∴m＝3﹣2 ，
∴点P的坐标为（3﹣2 ，0）；
当∠MPQ＝45°，PM＝QM时，点P与点A重合，
（当PM＝QM时，∠MPQ＝∠MQP＝45°，所以∠M＝90°，又因为∠B＝45°，所以
③
第20页（共24页）△MBP是等腰直角三角形，所以，点M在线段BP的垂直平分线上．
又点M是抛物线的顶点，所以，点M在BA的垂直平分线上，所以，点P与点A重
合）
∵点P是线段OB上一动点，
∴不合题意，舍去．
综上所述：点P（1，0），（3﹣2 ，0）．
【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质，关
键是根据题意画出所有图形，注意把不合题意的结果舍去．
25．（14分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点P是边BC上的任意一点，E是
BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结
AF交边CD于点G．
（1）求证：AP＝PF；
（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不
变吗？如改变，试直接写出函数关系式．
第21页（共24页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）利用全等三角形证明．如答图1，在线段AB上截取AQ＝PC，构造
△APQ≌△PFC；
（2）利用相似三角形求解．如答图 2，过点 F 过 FN⊥CE 于点 N，易证
△ABP≌△PNF，则有FN＝BP＝x；过点F作FM⊥CD于点M，则MCNF为正
方形，从而得到：MF＝x，MG＝2﹣x﹣y；最后利用相似三角形
△ADG∽△FMG，列出比例关系式，求出表达式；
（3）与（2）相同方法求解，如答图3所示，结论不变．
【解答】（1）证明：如答图1，在线段AB上截取AQ＝PC，
则有BP＝BQ，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴∠AQP＝135°．
∵PF⊥AP，
∴∠FPC+∠APB＝90°，
又∠PAQ+∠APB＝90°，
∴∠PAQ＝∠FPC．
在△APQ与△PFC中，
，
∴△APQ≌△PFC（ASA）
∴AP＝PF．
第22页（共24页）（2）解：如答图2，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN＝BP＝x．
过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC＝MF＝FN＝BP＝x，
∴MG＝MD﹣DG＝CD﹣MC﹣DG＝2﹣x﹣y．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴ ，即 ，
解得：y＝ （0≤x≤2）．
（3）解：解析式变化．理由如下：
如答图3，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN＝BP＝x．
过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC＝MF＝FN＝BP＝x，
∴MG＝MC﹣DG﹣CD＝x﹣y﹣2．
∵MF∥AD，
第23页（共24页）∴△ADG∽△FMG，
∴ ，即 ＝ ，
解得：y＝ ．
【点评】本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质、正方形、角平分线性质等知识点，题目难度不大，重点是对几何基础知
识的考查．
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日期：2018/12/26 20:16:31；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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