文档内容
2014年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上平移一个
单位，那么平移后的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，
那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
4．（4分）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜
色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率
为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形重心是三条中线交点
B．三角形外心到各顶点距离相等
C．三角形内心到各边距离相等
D．等腰三角形重心、内心、外心重合
6．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB
＝ ，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
第1页（共23页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的
相应位置]
7．（4分）36的平方根是 ．
8．（4分）因式分解：2a3﹣8a＝ ．
9．（4分）函数y＝ 的定义域是 ．
10．（4分）一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，那么函数解析式是
．
11．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S ＝2cm2，则S ＝
△ABC △DEF
cm2．
12．（4分）解方程 ﹣ ＝ ，设y＝ ，那么原方程化为关于y的整式
方程是 ．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，设向量 ＝ ， ＝
．用含 、 的式子表示向量 ＝ ．
14．（4分）1纳米等于 0.000000001米，用科学记数法表示：2014纳米＝
米．
15．（4分）一山坡的坡度为i＝1： ，那么该山坡的坡角为 度．
16．（4分）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为
5，那么点P的坐标是 ．
17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，tanB＝ ．若 O的半径为 ，且 O经过
⊙ ⊙
点B、C，那么线段OA的长等于 ．
18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，如果以点C为圆心，r为半径，
且 C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，
⊙
第25题14分，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）﹣1+（ ﹣1）0+27 ．
π
20．（10分）先化简分式（ ﹣ ）÷ ，再从不等式组 的解
集中取一个非负整数值代入，求原分式的值．
第2页（共23页）21．（10分）汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“献出我
们的爱”赈灾捐款活动．八年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活
动，下表是小明对全班捐款情况的统计表：
捐款（元） 10 15 30 50 60
人数 3 6 11 13 6
因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元．
（1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程．
（2）该班捐款金额的众数，中位数分别是多少？
22．（10分）如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O， O是否是△ABC的外接圆，并证明你的
结论．
⊙
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的
边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
24．（12分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北
偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20
海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方
向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即
第3页（共23页）按原来的速度给考察船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
25．（14分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上一动点
（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE＝∠A，以D为圆心、
DC的长为半径作 D．
（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
⊙
（2）当 D与AB边相切时，求BD的长．
（3）如果 E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时， D
⊙
与 E相切？
⊙ ⊙
⊙
第4页（共23页）2014 年上海市普陀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】27：实数．
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【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．
【解答】解：A. ＝0.3…，故本选项错误；
B. ＝0.2，故本选项正确；
C. ＝0.42857…，故本选项错误；
D. ＝0.1…，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的除法，在解题时要根据有理数的除法法则分别
计算是解题的关键．
2．（4分）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上平移一个
单位，那么平移后的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】先由“上加下减”的平移规律求出正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上
平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解．
【解答】解：将正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上平移一个单位得到y＝kx+1（k
＞0），
∵k＞0，b＝1＞0，
第5页（共23页）∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确
得出函数平移后的解析式是解题的关键．
3．（4分）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，
那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由两圆的半径分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，利用因式分解法即可求
得两圆的半径，又由两圆的圆心距为3，即可求得这两个圆的位置关系．
【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x ＝2，x ＝5，
1 2
∴两圆的半径分别是2，5，
∵3＝5﹣2，
∴这两个圆的位置关系是：内切．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题难度不大，解
题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系
得出两圆位置关系．
4．（4分）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜
色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
① ②
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄
第6页（共23页）球，共15个，
摸到红球的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
5．（4分）下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形重心是三条中线交点
B．三角形外心到各顶点距离相等
C．三角形内心到各边距离相等
D．等腰三角形重心、内心、外心重合
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】利用三角形的内心、外心及重心的定义逐项分析后即可确定正确的答案．
【解答】解：A、三角形的重心是三条中线的交点，正确；
B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故正确；
C、三角形的内心是三角平分线的交点，到各边的距离相等，故正确；
D、等边三角形的重心、内心和外心才重合，故错误，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内心、外心及重心的定义，了解其性质及定义是解答
本题的关键．
6．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB
＝ ，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
第7页（共23页）【分析】设CD＝x，在 Rt△ACD中，根据∠DAC＝30°的正切可求出 AC．在
Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x，即可求出AC．
【解答】解：设CD＝x，则AC＝ ＝ x，
∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，
∴（ x）2+（x+2）2＝（2 ）2，
解得，x＝1，∴AC＝ ．
故选：A．
【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的概念求解．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的
相应位置]
7．（4分）36的平方根是 ± 6 ．
【考点】21：平方根．
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【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：36的平方根是±6，
故答案为：±6．
【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有
两个，且互为相反数．
8．（4分）因式分解：2a3﹣8a＝ 2 a （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形
式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【解答】解：2a3﹣8a，
＝2a（a2﹣4），
＝2a（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式
首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直
到不能分解为止．
9．（4分）函数y＝ 的定义域是 x ＜ 3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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第8页（共23页）【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
就可以求解．
【解答】解：根据题意得：3﹣x＞0，
解得：x＜3．
故答案是：x＜3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是
非负数．
10．（4分）一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，那么函数解析式是
y ＝﹣ x +3 ．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式．
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【分析】一次函数的解析式是：y＝﹣x+b，把（0，3）代入解析式，求得b的值，即可
求得函数的解析式．
【解答】解：设一次函数的解析式是：y＝﹣x+b，
把（0，3）代入解析式，得：b＝3，
则函数的解析式是：y＝﹣x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确理解平行的两个一次函数
的解析式之间的关系是关键．
11．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S ＝2cm2，则S ＝
△ABC △DEF
cm2．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求
S 的值．
△DEF
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4
∴S ：S ＝9：16
△ABC △DEF
∴S ＝ ．
△DEF
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的
平方．
12．（4分）解方程 ﹣ ＝ ，设y＝ ，那么原方程化为关于y的整式
第9页（共23页）方程是 3 y 2 ﹣ 4 y ﹣ 3 ＝ 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是
，设y＝ ，换元后整理即可求得．
【解答】解：设y＝ ，
则原方程可变为y﹣ ＝ ，
去分母得3y2﹣4y﹣3＝0．
故答案为：3y2﹣4y﹣3＝0．
【点评】本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数
式 ，再用字母y代替解方程．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，设向量 ＝ ， ＝
．用含 、 的式子表示向量 ＝ + ．
【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 ＝ ＝ ，又由三角形法则求得 ，
继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝ ＝ （ + ）＝ + ．
故答案为： + ．
第10页（共23页）【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意
掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（4 分）1 纳米等于 0.000000001 米，用科学记数法表示：2014 纳米＝
2.014×10 ﹣ 6 米．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：2014纳米＝2014×0.000000001m＝2.014×10﹣6m．
故答案为：2.014×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．（4分）一山坡的坡度为i＝1： ，那么该山坡的坡角为 3 0 度．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡度i等于坡角的正切即可求解．
【解答】解：设坡角为 ，
由题意得，tan ＝ ＝α ，
∴ ＝30°． α
故答案为：30．
α
【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概
念．
16．（4分）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为
5，那么点P的坐标是 （ 5 ，﹣ 2 ） ．
【考点】D1：点的坐标．
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【分析】根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵
坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
第11页（共23页）【解答】解：∵第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的横坐标是5，纵坐标是﹣2，
∴点P（5，﹣2）．
故答案为：（5，﹣2）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的
距离等于横坐标的长度是解题的关键．
17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，tanB＝ ．若 O的半径为 ，且 O经过
⊙ ⊙
点B、C，那么线段OA的长等于 3 或 5 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
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【分析】分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB＝AC，OB＝OC，利用线段垂直平
分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC
的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在
直角三角形 OBD 中，由 OB 与 BD 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，由
AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD﹣OD即可求出AO的长，综上，得
到所有满足题意的AO的长
【解答】解：分两种情况考虑：
（i）如图1所示，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝ ＝ ，
设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝52，
第12页（共23页）x＝1，
∴BD＝3，AD＝4，
在Rt△BDO中，OD＝ ＝1，BD＝3，
则AO＝AD+OD＝4+1＝5；
（ii）如图2所示，AO＝AD﹣OD＝4﹣1＝3；
综合上述，OA的长为3或5．
故答案为：3或5．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的
性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，如果以点C为圆心，r为半径，
且 C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是 r ＝ 或 5 ＜
⊙
r ≤ 12 ．
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，
但只有一个交点在斜边上．
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是 ＝13．
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于 ；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而
小于长直角边，则5＜r≤12．
故半径r的取值范围是r＝ 或5＜r≤12．
故答案为：r＝ 或5＜r≤12．
【点评】考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边
只有一个公共点即可．
三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，
第25题14分，满分78分）
第13页（共23页）19．（10分）计算：（ ）﹣1+（ ﹣1）0+27 ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数π 幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三
项变形后化为最简二次根式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ +1+3
＝ ﹣1+1+3
＝4 ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）先化简分式（ ﹣ ）÷ ，再从不等式组 的解
集中取一个非负整数值代入，求原分式的值．
【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．
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【专题】26：开放型．
【分析】首先利用分式的混合运算法则化简分式，利用不等式组的求解方法求出
不等式的解集，即可求得其非负整数解，然后由不等式有意义的条件确定x的
取值即可求得答案．
【解答】解：∵（ ﹣ ）÷ ＝（ ﹣ ）• ＝3（x+1）﹣（x﹣
1）＝2x+4，
∵ ，
解 得：x≤2，
解 得：x＞﹣3，
①
∴此不等式组的解集是﹣3＜x≤2；
②
∴非负整数值有0，1，2，
∵x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠±1且x≠0，
∴当x＝2时，原式＝8．
【点评】此题考查了分式的化简求值与不等式组的解法．题目难度不大，但解题时
第14页（共23页）需细心．
21．（10分）汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“献出我
们的爱”赈灾捐款活动．八年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活
动，下表是小明对全班捐款情况的统计表：
捐款（元） 10 15 30 50 60
人数 3 6 11 13 6
因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元．
（1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程．
（2）该班捐款金额的众数，中位数分别是多少？
【考点】8A：一元一次方程的应用；VA：统计表；W4：中位数；W5：众数．
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【专题】27：图表型．
【分析】（1）所求人数＝50减去图中已有人数，捐款数＝（38×50﹣各类捐款钱数
×人数）÷前面算出的人数；
（2）50出现的次数最多，为13次，所以50是众数；50个数，中位数是第25个和第
26个数的平均数．
【解答】解：（1）被污染处的人数为50﹣3﹣6﹣11﹣13﹣6＝11人
被污染处的捐款数＝[50×38﹣（10×3+15×6+30×11+50×13+60×6）]÷11＝40元
答：被污染处的人数为11人，被污染处的捐款数为40元．
（2）捐款金额的中位数是（40+40）÷2＝40（元），捐款金额的众数是50（元）．
答：捐款金额的中位数是40元，捐款金额的众数是50元．
【点评】本题考查的知识点是：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组
数据的众数；
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位
数．
22．（10分）如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O， O是否是△ABC的外接圆，并证明你的
结论．
⊙
第15页（共23页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；MA：三角形的外接圆与外心．
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【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出
△BDE≌△CDF，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD＝CD，可知AD过圆
心O，故可得出结论．
【解答】（1）答：△ABC是等腰三角形．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵AD是角平分线，
∴DE＝DF．
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O， O是△ABC的外接圆．
证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，
⊙
∴AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AD过圆心O．
作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心
∴ O是△ABC的外接圆．
⊙
第16页（共23页）【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知等腰三角形三线合一的性质
是解答此题的关键．
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的
边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出抛
物线的解析式；
（2）过B作BC⊥x轴于C，根据A、B的坐标易求得OC＝BC＝AC＝2，由此可证
得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可证得△OAB是等腰直角三角
形；
（3）当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时，OB′正好落在y轴上，易求得
OB、AB的长，即可得到OB′、A′B′的长，从而可得到A′、B′的坐标，进而
可得到A′B′的中点P点的坐标，然后代入抛物线中进行验证即可．
【解答】解：（1）方法一：
由题意得 ，
解得 ；
第17页（共23页）∴该抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+2x；
方法二：∵B（2，2）
∴设抛物线方程为：y＝a（x﹣2）2+2；
将A（4，0）代入得：
a（4﹣2）2+2＝0，
∴a＝ ，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣2）2+2＝﹣ x2+2x；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC＝BC＝AC＝2；
∴∠BOC＝∠OBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°；
∴∠OBA＝90°，OB＝AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA＝4，
∴OB＝AB＝2 ；
由题意得：点A′坐标为（﹣2 ，﹣2 ）
∴A′B′的中点P的坐标为（﹣ ，﹣2 ）；
当x＝﹣ 时，y＝﹣ ×（﹣ ）2+2×（﹣ ）≠﹣2 ；
∴点P不在二次函数的图象上．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定、图形的
旋转变化等知识．
24．（12分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北
偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20
海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方
第18页（共23页）向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即
按原来的速度给考察船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路
程公式即可求得所需的时间．
（2）过C作CH⊥OA，垂足为H．设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和
考察船在OA上的D处相遇，则CD＝60x，OD＝20（x+2）．根据直角三角形的
性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考察船相遇的最短的时
间．
【解答】解：（1）由题意可知：∠CBO＝60°，∠COB＝30度．
∴∠BCO＝90度．
在Rt△BCO中，
∵OB＝120，
∴BC＝60，OC＝60 ．
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60＝1（小时）．
（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在
OA上的D处相遇，则CD＝60x．
过点D作DE⊥CO于点E，
∵考察船与快艇是同时出发，
∵快艇从港口B到小岛C的时间是1小时，在小岛C用1小时装补给物资，
第19页（共23页）∴考察船从O到D行驶了（x+2）小时，
∴OD＝20（x+2）．
过C作CH⊥OA，垂足为H，
在△OHC中，
∵∠COH＝30°，OB＝120，
∴CO＝60 ，
∴CH＝30 ，OH＝90．
∴DH＝OH﹣OD＝90﹣20（x+2）＝50﹣20x．
在Rt△CHD中，CH2+DH2＝CD2，
∴ +（50﹣20x）2＝（60x）2．
整理得：8x2+5x﹣13＝0．
解得：x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
∵x＞0，
∴x＝1．
答：快艇从小岛C出发后最少需要1小时才能和考察船相遇．
【点评】此题考查学生对方向角的理解及解直角三角形的综合计算能力，难易程
度适中．
25．（14分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上一动点
（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE＝∠A，以D为圆心、
DC的长为半径作 D．
（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
⊙
（2）当 D与AB边相切时，求BD的长．
⊙
第20页（共23页）（3）如果 E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时， D
与 E相切？
⊙ ⊙
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）通过相似三角形△BDE∽△BAC的对应边成比例得到 ＝ ，把相
关线段的长度代入并整理得到y＝5﹣ x（0＜x≤ ）；
（2）如图，假设AB与 D相切于点F，连接FD．通过相似三角形△BFD∽△BGA
⊙
的对应边成比例得到 ＝ ．DF＝6﹣BD，由勾股定理求得AG＝4，BA＝5，
所以把相关线段的长度代入便可以求得BD的长度；
（3）分类讨论： D与 E相外切和内切两种情况．由（1）的相似三角形推知BD
＝ED．所以如图2，当 D与 E相外切时．AE+CD＝DE＝BD；如图3，当 D
⊙ ⊙
与 E相内切时．CD﹣AE＝DE＝BD．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：（1）如图，∵∠B＝∠B，∠BDE＝∠A，
⊙
∴△BDE∽△BAC，
∴ ＝ ，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝x，AE＝y，
∴ ＝ ，即y＝5﹣ x．
∵0＜x≤6，且0＜y≤5，
∴0＜x≤ ．
综上所述，y关于x的函数关系式及其定义域为：y＝5﹣ x（0＜x≤ ）；
第21页（共23页）（2）如图，假设AB与 D相切于点F，连接FD，则DF＝DC，∠BFD＝90°．
过点A作AG⊥BC于点G，则∠BGA＝90°．
⊙
∴在△BFD和△BGA中，∠BFD＝∠BGA＝90°，∠B＝∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴ ＝ ．
又∵AB＝AC＝5，BC＝6，AG⊥BC
∴BG＝ BC＝3，AG＝ ＝ ＝4，
∴ ＝ ，解得BD＝ ；
（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ＝1，
∴BD＝DE．
如图2，当 D与 E相外切时．
AE+CD＝DE＝BD，
⊙ ⊙
∵由（1）知，BD＝x，AE＝y，y关于x的函数关系式是y＝5﹣ x，
∴5﹣ x+6﹣x＝x，
解得，x＝ ，符合0＜x＜ ，
∴BD的长度为 ．
如图3，当 D与 E相内切时．CD﹣AE＝DE＝BD，
∵由（1）知⊙，BD ⊙＝x，AE＝y，y关于x的函数关系式是y＝5﹣ x，
∴6﹣x﹣5+ x＝x，
解得，x＝ ，符合0＜x＜ ，
第22页（共23页）∴BD的长度为 ．
综上所述，BD的长度是 或 ．
【点评】本题考查了圆的综合题．其中涉及到了相切两圆的性质，相似三角形的判
定与性质，一次函数图象上点的坐标特征．遇到动点问题，需要对动点的位置
进行分类讨论．
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日期：2018/12/26 20:19:14；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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