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2014年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a+a＝a2 C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
2．（4分）一次函数y＝6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．若∠1＝25°，则
∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．50° C．25° D．12.5°
4．（4分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝ ，那么△ABC的形状
是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
5．（4分）“大衣哥”朱之文是从“我是大明星”这个舞台走出来的民间艺人．受
此影响，卖豆腐的老张也来参加节目的海选，当天共有15位选手参加决逐争
取8个晋级名额．已知他们的分数互不相同，老张要判断自己是否能够晋级，
只要知道下列15名选手成绩统计量中的（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
6．（4分）如图，AB与 O相切于点B，AO的延长线交 O于点C，联结BC，若
∠A＝36°，则∠C等于（ ）
⊙ ⊙
A．36° B．54° C．60° D．27°
第1页（共27页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）函数y＝ 的定义域是 ．
8．（4分）因式分解：a3﹣ab2＝ ．
9．（4分）如果反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个函数的解析式是
．
10．（4分）2014年政府报告中安排财政赤字约为13500亿元，13500亿用科学记
数法表示为 亿．
11．（4分）不等式组 的解集是 ．
12．（4分）若关于x的方程ax2﹣4x+3＝0有两个相等的实数根，则常数a的值是
．
13．（4分）掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，设 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ．
15．（4分）解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，
该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计
划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 ．
16．（4分）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝5，
BO＝4，则AO的长为 ．
17．（4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果
圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为
y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为
．
第2页（共27页）18．（4分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，
DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角
三角形，则AD长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ÷ +（2﹣ ）0﹣（﹣1）2014+| ﹣2|+（﹣ ）﹣1．
20．（10分）先化简，再求值：（1+ ）÷（x﹣ ），其中x＝ ．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinC＝ ，点D是BC上一点，且DC
＝AC．
（1）求BD的长；
（2）求tan∠BAD．
22．（10分）春季流感爆发，某校为了解全体学生患流感情况，随机抽取部分班级
对患流感人数的进行调查，发现被抽查各班级患流感人数只有1名、2名、3名
4名、5名、6名这六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：
第3页（共27页）（1）抽查了 个班级，并将该条形统计图（图2）补充完整；
（2）扇形图（图1）中患流感人数为4名所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若该校有45个班级，请估计该校此次患流感的人数．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，点E
是BC的中点、F是CD上的点，联结AE、EF、AC．
（1）求证：AO•OF＝OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，联结BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．
24．（12分）如图，直线y＝4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y＝ax2﹣
2ax+c（a≠0）过点B、C，且与x轴另一个交点为A，以OC、OA为边作矩形
OADC，CD交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；
（2）已知直线x＝m交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线（CD上
方部分）于点P，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，联结PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．
第4页（共27页）25．（14分）如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O＝ 且OA＝5，点D
为线段OA上的动点（不与O重合），以A为圆心、AD为半径作 A，设OD＝
x．
⊙
（1）若 A交∠O 的边OM于B、C两点，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写
出函数的定义域；
⊙
（2）将 A沿直线OM翻折后得到 A′．
若 A′与直线OA相切，求x的值；
⊙ ⊙
若 A′与以D为圆心、DO为半径的 D相切，求x的值．
① ⊙
② ⊙ ⊙
第5页（共27页）2014 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a+a＝a2 C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项法则；幂的乘方，底数
不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相减；对各选项分析判断后利用
排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、a+a＝2a，故本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项正确；
D、a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌
握运算性质，理清指数的变化是解题的关键．
2．（4分）一次函数y＝6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【专题】2C：存在型；31：数形结合．
【分析】先判断出一次函数y＝6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答
即可．
【解答】解：∵一次函数y＝6x+1中k＝6＞0，b＝1＞0，
∴此函数经过一、二、三象限，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，
第6页（共27页）函数图象经过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．
3．（4分）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．若∠1＝25°，则
∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．50° C．25° D．12.5°
【考点】IJ：角平分线的定义；JA：平行线的性质．
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【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2，再根据角平分线的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AC，∠1＝25°，
∴∠2＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠2＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确
识图是解题的关键．
4．（4分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝ ，那么△ABC的形状
是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝ ，可得出∠A和∠B的度数，继
而可得出三角形ABC的形状．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝ ，
第7页（共27页）∴∠A＝30°，∠B＝60°，
则∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
5．（4分）“大衣哥”朱之文是从“我是大明星”这个舞台走出来的民间艺人．受
此影响，卖豆腐的老张也来参加节目的海选，当天共有15位选手参加决逐争
取8个晋级名额．已知他们的分数互不相同，老张要判断自己是否能够晋级，
只要知道下列15名选手成绩统计量中的（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
【考点】WA：统计量的选择．
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【分析】由于比赛设置了8个获奖名额，共有15名选手参加，故应根据中位数的
意义分析．
【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是15名参赛选手中最高的，而且15个不
同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道
自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意
义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性
因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6．（4分）如图，AB与 O相切于点B，AO的延长线交 O于点C，联结BC，若
∠A＝36°，则∠C等于（ ）
⊙ ⊙
A．36° B．54° C．60° D．27°
【考点】MC：切线的性质．
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第8页（共27页）【分析】根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C＝ ∠BOA，即可求
出答案．
【解答】∵AB与 O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
⊙
∵∠A＝36°，
∴∠BOA＝54°，
∴由圆周角定理得：∠C＝ ∠BOA＝27°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是
求出∠BOA度数．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）函数y＝ 的定义域是 x ≥﹣ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
8．（4分）因式分解：a3﹣ab2＝ a （ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】44：因式分解．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式
利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次
公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
9．（4分）如果反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个函数的解析式是 y
第9页（共27页）＝﹣ ．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】设反比例函数解析式为 （k≠0），把点（1，﹣2）代入函数解析式
（k≠0），即可求得k的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．
由图象可知，函数经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝ ，
得k＝﹣2．
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶
段的重点．
10．（4分）2014年政府报告中安排财政赤字约为13500亿元，13500亿用科学记
数法表示为 1.35×1 0 4 亿．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将13500用科学记数法表示为：1.35×104．
故答案为：1.35×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（4分）不等式组 的解集是 ＜ x ≤ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
第10页（共27页）【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出
不等式组的解集．
【解答】解： ，
由 得：x＞ ；
由①得：x≤2，
②
则不等式组的解集为 ＜x≤2．
故答案为：
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解
本题的关键．
12．（4分）若关于x的方程ax2﹣4x+3＝0有两个相等的实数根，则常数a的值是
．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4a×3＝0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4a×3＝0，
解得a＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实
数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13．（4分）掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由掷一个材质均匀的骰子，共有6种等可能的结果，其中向上一面的点数
是3的倍数的有，3和6；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵掷一个材质均匀的骰子，共有6种等可能的结果，其中向上一面的
点数是3的倍数的有，3和6；
第11页（共27页）∴掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
14．（4分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，设 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ﹣
．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 ＝ ， ＝ ，利用三角形法则可求得 ，又由在△ABC中，D是BC
的中点，即可求得答案．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵在△ABC中，D是BC的中点，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
15．（4分）解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，
该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计
划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 ﹣ ＝ 2 4 ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提
前24小时完成任务，列出方程即可．
第12页（共27页）【解答】解：设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，
由题意得， ﹣ ＝24．
故答案为： ﹣ ＝24．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是设出未知数，
找出合适的等量关系列方程．
16．（4分）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝5，
BO＝4，则AO的长为 6 ．
【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．
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【分析】先根据勾股定理得到OD的长，再根据重心的性质即可得到AO的长．
【解答】解：∵BE⊥AD，BD＝5，BO＝4，
∴OD＝ ＝3，
∵AC、BC上的中线交于点O，
∴AO＝2OD＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之
间的关系进而求出是解题关键．
17．（4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果
圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为
y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为
3+ ．
第13页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，
BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求
出CD的长．
【解答】解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO＝1，BO＝3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2＝AO•BO＝3，
∴CO＝ ，
∴CD＝CO+OD＝3+ ，
故答案为：3+ ．
第14页（共27页）【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一
元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解
题的关键．
18．（4分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，
DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角
三角形，则AD长为 或 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝
AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝ x，EC＝5﹣ x，A′B＝2x﹣4，在
Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据
勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，
∴AC＝5，
∵DE∥BC，
∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5，
设AD＝x，则AE＝A′E＝ x，EC＝5﹣ x，A′B＝2x﹣4，
第15页（共27页）在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∵△A′EC是直角三角形，
∴ 当 A'落在边 AB 上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝
①
3×tan∠ACB＝ ，AD＝ ；
点A在线段AB的延长线上（ ）2+（5﹣ x）2＝（ x）2，
②
解得x ＝4（不合题意舍去），x ＝ ．
1 2
故AD长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折
后哪些线段是对应相等的．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ÷ +（2﹣ ）0﹣（﹣1）2014+| ﹣2|+（﹣ ）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化简、负整数指数幂等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝2+1﹣1+2﹣ ﹣2
＝2﹣ ．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值的化简、负整数指数幂
等知识，属于基础题．
20．（10分）先化简，再求值：（1+ ）÷（x﹣ ），其中x＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
第16页（共27页）【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinC＝ ，点D是BC上一点，且DC
＝AC．
（1）求BD的长；
（2）求tan∠BAD．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，求出CE，BE，再由CD＝AC，可求出BD的
长度．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△BDF中求出DF，BF，继而可得AF，从而可
求tan∠BAD．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
在Rt△ACE中，AC＝10，sin∠C＝ ，
∴AE＝6，
∴CE＝ ＝8，
∴BC＝2CE＝16，
∴BD＝BC﹣BD＝BC﹣AC＝6．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
第17页（共27页）在Rt△BDF中，BD＝6，sin∠B＝sin∠C＝ ，
∴DF＝ ，
∴BF＝ ＝ ，
∴AF＝AB﹣BF＝ ，
∴tan∠BAD＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直
角三角形，注意熟练掌握锐角三角函数的定义．
22．（10分）春季流感爆发，某校为了解全体学生患流感情况，随机抽取部分班级
对患流感人数的进行调查，发现被抽查各班级患流感人数只有1名、2名、3名
4名、5名、6名这六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：
（1）抽查了 2 0 个班级，并将该条形统计图（图2）补充完整；
（2）扇形图（图1）中患流感人数为4名所在扇形的圆心角的度数为 72 ° ；
（3）若该校有45个班级，请估计该校此次患流感的人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）根据患流感人数有6名的班级有4个，占20%，可求得抽查的班级数，
再减去其它班级数，即可补全统计图；
（2）用患流感人数为4名的班级4个除以抽查的班级数，再乘以360°即可；
第18页（共27页）（3）先求出该校平均每班患流感的人数，再利用样本估计总体的思想，用这个平
均数乘以45即可．
【解答】解：（1）抽查的班级个数为4÷20%＝20（个），
患流感人数只有2名的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）＝2（个），
补图如下：
（2） ×360°＝72°；
（3）∵该校平均每班患流感的人数为：（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）÷20＝4，
∴若该校有45个班级，则此次患流感的人数为：4×45＝180．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体的思想，读
懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图
能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比
大小．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，点E
是BC的中点、F是CD上的点，联结AE、EF、AC．
（1）求证：AO•OF＝OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，联结BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．
【考点】L9：菱形的判定；LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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第19页（共27页）【分析】（1）由BC＝2AD，点E是BC的中点，可得AD＝CE，又由AD∥BC，可得
四边形AECD是平行四边形，即可得AE∥CD，继而证得△AOE∽△COF，即
可判定AO•OF＝OC•OE；
（2）易得EF是△BCD的中位线，则可判定四边形EFDG是平行四边形，又由直
角三角形斜边上的中线的性质，证得DG＝EG，继而证得四边形EFDG是菱形
【解答】证明：（1）∵BC＝2AD，点E是BC的中点，
∴AD＝EC＝ BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC＝OE：OF，
∴AO•OF＝OC•OE；
（2）∵E是BC的中点，F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG＝AD：EB＝AG：EG，
∵AD＝BE＝ BC，
∴AG＝EG，DG＝BG，
∵∠ABC＝90°，
∴BG＝GE＝ AE，
∴EG＝DG，
∴四边形EFDG是菱形．
第20页（共27页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形
中位线的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想
的应用．
24．（12分）如图，直线y＝4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y＝ax2﹣
2ax+c（a≠0）过点B、C，且与x轴另一个交点为A，以OC、OA为边作矩形
OADC，CD交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；
（2）已知直线x＝m交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线（CD上
方部分）于点P，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，联结PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据直线的解析式易求B，C的坐标将，再把其坐标分别代入y＝ax2
﹣2ax+c，即可求出抛物线的解析式，设y＝0，解方程即可求出A的坐标；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线
和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形
和 △ AEM 相 似 时 ， 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： △ PFC∽ △ AEM ，
△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根
①
第21页（共27页）
②据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴C坐标为（0，4），
设y＝0，则x＝﹣1，
∴B坐标为（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过点B、C，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+4，
设y＝0，0＝﹣ x2+ x+4，
解得：x＝﹣1或3，
∴A的坐标为：（3，0）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y＝﹣ x2+ x+4上，
∴点P的坐标为（m，﹣ m2+ m+4），
∴PM＝PE﹣ME＝（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）＝﹣ m2+4m，
第22页（共27页）即PM＝﹣ m2+4m；
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以
P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE＝3﹣m，EM＝﹣ m+4，CF＝m，PF＝﹣ m2+ m+4﹣4＝﹣
m2+ m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
若△PFC∽△AEM，则PF：AE＝FC：EM，
①
即（﹣ m2+ m）：（3﹣m）＝m：（﹣ m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m＝ ．
若△CFP∽△AEM，则CF：AE＝PF：EM，
②即m：（3﹣m）＝（﹣ m2+ m）：（﹣ m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m＝1．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为 或1．
【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次
第23页（共27页）函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角
形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，
要分类讨论，以免漏解．
25．（14分）如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O＝ 且OA＝5，点D
为线段OA上的动点（不与O重合），以A为圆心、AD为半径作 A，设OD＝
x．
⊙
（1）若 A交∠O 的边OM于B、C两点，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写
出函数的定义域；
⊙
（2）将 A沿直线OM翻折后得到 A′．
若 A′与直线OA相切，求x的值；
⊙ ⊙
若 A′与以D为圆心、DO为半径的 D相切，求x的值．
① ⊙
【考点】MR：圆的综合题．
② ⊙ ⊙
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）作AH⊥OM于H，如图1，在Rt△OAH中，根据正弦的定义求出AH
＝3，根据垂径定理由AH⊥BC得CH＝BH＝ BC＝ y，由于OD＝x，则AD＝
5﹣x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（ y）2＝（5﹣x）2﹣32，再整理即可
得到y与x的函数关系；
（2）作A′E⊥OA于E，根据折叠的性质得A′H＝AH＝3， A′的半径为5﹣x，
在Rt△OAH中，利用勾股定理计算出OH＝4；由于 A′与直线OA相切，根
⊙
据切线的性质得A′E＝5﹣x，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AE，利用相似比得
⊙
到5：6＝4：（5﹣x），然后解方程可得到x的值；
第24页（共27页）（3）作A′G⊥OA于G，连结A′D，根据两圆相切的性质得A′D＝x+5﹣x＝5，
再证明Rt△OAH∽Rt△A′AG，利用相似比可计算出AG＝ ，A′G＝ ，则
DG＝AG﹣AD＝x﹣ ，然后在Rt△A′GD中，根据勾股定理得到（ ）2+（x﹣
）2＝52，整理得x2﹣ x＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）作AH⊥OM于H，如图1，
在Rt△OAH中，OA＝5，sin∠AOH＝ ＝ ，
∴AH＝3，
∵AH⊥BC，
∴CH＝BH＝ BC＝ y，
∵OD＝x，
∴AD＝5﹣x，
在Rt△ACH中，AC＝5﹣x，AH＝3，CH＝ y，
∴（ y）2＝（5﹣x）2﹣32，
∴y＝2 （0＜x＜2）；
（2） 作A′E⊥OA于E，如图，
∵ A沿直线OM翻折后得到 A′，
①
∴A′H＝AH＝3， A′的半径为5﹣x，
⊙ ⊙
在Rt△OAH中，OH ⊙＝ ＝4，
∵ A′与直线OA相切，
∴A′E＝5﹣x，
⊙
∵∠HAO＝∠EAA′，
∴Rt△OAH∽Rt△A′AE，
∴OA：AA′＝OH：A′E，即5：6＝4：（5﹣x），
第25页（共27页）∴x＝ ；
当 D与 A'外切时，作A′G⊥OA于G，连结A′D，如图3，
∵ A′与以D为圆心、DO为半径的 D相切，
② ⊙ ⊙
∴A′D＝x+5﹣x＝5，
⊙ ⊙
∵∠HAO＝∠GAA′，
∴Rt△OAH∽Rt△A′AG，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴AG＝ ，A′G＝ ，
∴DG＝AG﹣AD＝ ﹣（5﹣x）＝x﹣ ，
在Rt△A′GD中，∵A′G2+GD2＝A′D2，
∴（ ）2+（x﹣ ）2＝52，
整理得x2﹣ x＝0，解得x ＝0（舍去），x ＝ ，
1 2
当 D与 A'内切时，同理作图求解得x＝ （舍去）
⊙ ⊙
∴x的值为 ．
第26页（共27页）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的性质和两圆相切的性
质；会运用锐角三角函数、相似比和勾股定理进行几何计算．
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日期：2018/12/26 20:19:29；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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