文档内容
黄浦区 2024 年九年级学业水平考试模拟考
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
2024年4月
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相
应位置上】
1. 多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解
方法是（ ）
A. 提取公因式法 B. 公式法 C. 十字相乘法 D. 分组分解法
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因
式分解方法是提取公因式法．
【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互
逆因式分解方法是提取公因式法．
故选∶A．
2. 已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的坐标特点，根据第二象限内点的坐标特征和点到 x轴的距离等于纵坐标的绝对值，
到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，∴点P的横坐标是 ，纵坐标是 ，
∴点P的坐标为 ．
故选：B．
3. 如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地
占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号 1、型号2、型号3和型号4．将这
4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重
叠的是（ ）
A. 型号1 B. 型号2 C. 型号3 D. 型号4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键．
【详解】解：把型号4逆时针旋转 ，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与
已有的3张纸片不重叠；
故选D
4. 对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（ ）
A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的中位数
C. 这组数据的众数 D. 这组数据的标准差
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数是反映一组数据的平均水平的量即可解答．
【详解】解：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，由于数据中有极端值100，平均数易受极端
值的影响；众数为2，数值过小，不能很好的反映这组数据平均水平；方差表示波动情况，它和平均数一
样，受极端值的影响大，不能很好的表示平均水平；故用这组数据的中位数能较好反映这组数据平均水平；
故选：B．
5. 反比例函数 的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理
由中，正确的是（ ）A. 自变量 且x的值可以无限接近0 B. 自变量 且函数值y可以无限接近0
C. 函数值 且x的值可以无限接近0 D. 函数值 且函数值y可以无限接近0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可
【详解】解：A．自变量 且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；
B．自变量 且函数值y可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；
C．函数值 且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；
D．函数值 且函数值y可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意；
故选：D．
6. 小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯
形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个
相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，
你认为（ ）
A. 结论1、结论2都正确 B. 结论1正确、结论2不正确；
C. 结论1不正确、结论2正确 D. 结论1、结论2都不正确．
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；
连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．
的
【详解】解：如图，存在与上、下底边相交 直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正
确；
如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 的平方根是_______________；
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】 的平方根
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，
那么这个数x就叫做a的平方根．
8. 计算： ____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘法则”处理．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
9. 方程 的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查无理方程的求法， 把方程两边平方求解，再检验即可得到答案．
【详解】解：把方程两边平方得： ，整理得： ，
解得： 或 ，
经检验， 是原方程的解．
故答案为： ．
10. 已知关于x的方程 ，判断该方程的根的情况是________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先计算 ，再判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等 的实数根．
11. 将直线 向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．
本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加
下减”．
【详解】解：直线 向上平移2个单位长度得到： ，
令 ，即 ，
解得 ，
令 ，得 ，
所以直线与 轴和 轴的交点坐标分别为： 与 ，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
故答案为：1．
12. 一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取 1张，取得的是
黑桃A．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式求概率，由题意得剩下的牌有51上，其中牌A还有3张，根据概率
公式即可求解．
【详解】解：由题意得剩下的牌有51上，其中牌A还有3张，
∴小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A的概率是 ．
故答案为： ．
13. 小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随
机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主
食满意的学生约有________名．
类别 主食 荤菜 蔬菜 汤
满意人数 16 5 20 8
【答案】448
【解析】
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用总体乘以对午餐中主食满意的学生占比即可求出答案．
【详解】解：根据题意 （名）
故答案为：448．
14. 现有一张矩形纸片，其周长为 厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为 厘米的正方形，然后沿虚
线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是 立方厘米，设原矩形纸片的长是 厘米，那么可列出方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目
的数量关系列出方程．
设原矩形纸片的长是 ，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可．
【详解】解：
设原矩形纸片的长是 ，则宽为 ，
长方体纸盒的长为 ，宽为 ，高为 ，
由长方体体积是 立方厘米得： ．
故答案为： ．
15. 如图，D、E分别是 边 、 上点，满足 ， ．记 ，
，那么向量 ________（用向量a、b表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识．由判定出 ，由平行线的得出 ，再根据向量得知识即可得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
的
16. 如图，正六边形 位于正方形 内，它们 中心重合于点O，且 已知正
方形 的边长为a，正六边形 的边长为b，那么点P到边 的距离为________．（用
a、b的代数式表示）【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形与圆，熟记正多边形的性质是解本题的关键，如图，连接 ， ，
并延长与 交于点 ，由正多边形的性质结合 ，可得 ， ，
，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ， ， 并延长与 交于点 ，
∵正六边形 位于正方形 内，它们的中心重合于点O，且 ，
∴ 为等边三角形， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
17. 如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ，内部形成一个小正方形 ．如果正方形 的面积是正方形 面积的一半，那么． 的正切值是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理以及解直角三角形，设 ， ，则
，根据面积可列出 ，整理得 ，求得 ，即
可解得答案．
【详解】解：设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
即
整理得： ，
变形得： ，
令 ，则 ，
∴原始 ，解得， ，
∴ ，
∴ （舍去），
∴ ．
18. 如图，D是等边 边 上点， ，作 的垂线交 、 分别于点E、F，那
么 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】如图，过 作 交 于 ，延长 交 于 ，过 作 于 ，作
于 ，设 ，则 ，可得 ， ，
，证明 ， ，同理可得 ，
证明 ，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，过 作 交 于 ，延长 交 于 ，过 作 于 ，作于 ，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助
线是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母
有理话，计算零次幂，最后再算加减法．
【详解】解：
20. 解不等式组：【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较
小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集．
【详解】解：
解①得： ，
解②得： ，
∴不等式组的解集为： ．
21. 如图，D是 边 上点，已知 ， ， ．
（1）求边 的长；
（2）如果 （点A、C、D对应点C、B、D），求 的度数．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点．
（1）证明 ，由相似的性质可得出 ，然后计算出 ，代入求值即可．
（2）由 得出 ，由勾股定理的逆定理得出 ，进一步得出， 由等量代换即可求出 ，即 的度数．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
22. 网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵 80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，
但不找零．
（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？
（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当
时，写出y关于x的函数关系式；
（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？
说说你的理由．
【答案】（1）355 （2）
（3）不是，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用．
（1）根据题意列式计算即可算得答案；
（2）当 时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可．
（3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同
理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由．
【小问1详解】
解：根据题意有：
故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元．
【小问2详解】
当 时，可使用4张代金券，
故 ．
【小问3详解】
如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶
当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；
同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；
故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．
23. 如图，M、N分别是平行四边形 边 、 的中点，对角线 交 、 分别于点P、Q．
（1）求证： ；
（2）当四边形 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形 的形
状特征．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质，
（1）根据平行四边形的性质和中点得到 是平行四边形，有 ，则有 和
，即可得到结论．
（2）由正方形的性质得到 ， ，结合中点 ，则有
，进一步可得 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵M、N分别是 、 的中点，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
则 ，即 ，
同理 ，即 ，
．
【小问2详解】
如图，
由（1）知，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
即 ．
24. 问题：已知抛物线L： ，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物
线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该
点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；
再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线
W的表达式是 ⑤ ．
（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式．
（3）如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为 计算即可解题；
（2）仿照（1）中的方法，给定坐标为 计算即可解题；
（3）抛物线W的顶点坐标为 ，把抛物线L的顶点是 代入求出a的值，然后再
根据抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等得到抛物线M过 ，代入得 ，
求出m值，即可得到解析式．
【小问1详解】
先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线
W的表达式是 ；然后求出抛物线L的顶点是 ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ；最后写出抛物线W的表达式是 ．
【小问2详解】
解： ，
∴抛物线L 的顶点是 ，
取抛物线W的顶点坐标为 ，
设抛物线W的解析式为 ，把 代入得： ，
∴抛物线W的解析式为 ；
【小问3详解】
解：令 ，则 ，解得： ， ，
∴抛物线L在x轴上所截得的线段长为 ，
设抛物线W的顶点坐标为 ，
设解析式为 ，把 代入得： ，
整理得 ，即 ，
∴ ，
又∵抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，
∴抛物线M在x轴上所截得的线段长为 ，
∴抛物线M过 ，代入得 ，
解得： 或 ，
∴抛物线 解析式为 或 ．
的
25. 已知：如图， 是圆O的内接三角形， ， 、 的中点分别为 M、N， 与
、 、 分别交于点P、T、Q．（1）求证： ；
（2）当 是等边三角形时，求 的值；
（3）如果圆心O到弦 、 的距离分别为7和15，求线段 的长．
【答案】（1）见详解 （2）1
（3）15或
【解析】
【分析】（1）连接 ，由题意得 ，则点A在 的中垂线上，结合圆的性质得点O在
的中垂线上，则 垂直平分 即可；
（2）连接 ，由圆周角定理得 ，证得 是等边三角形，则有 ，
可得 即可；
（3）连接 交 于点G，延长 交 于点H，由（1）得 ，同理 ，且
，结合 ，设圆O的半径为r，利用 和
，整理得到 ，进一部分分当 与 位于元O得两侧和当 与
位于元O得同侧求解即可．
【小问1详解】证明：连接 ，如图，
由题意得 ，则点A在 的中垂线上，
∵ ，
∴点O在 的中垂线上，
则 垂直平分 ，
那么， ；
【小问2详解】
连接 ，如图，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 点N为 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，∴ ；
【小问3详解】
连接 交 于点G，延长 交 于点H，如图，
由（1）得 ，同理 ，且 ，
∵ ， ，
∴ ，
设圆O的半径为r，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
当 与 位于元O得两侧时，则 ，
，解得 ， （舍去），
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
则 ；当 与 位于元O得同侧时，如图，
则 ，
，解得 ， （舍去），
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
则 ；
故线段 的长为15或 ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，
解题的关键是熟练掌握圆的性质和解直角三角形，第三问主要分情况讨论．
