文档内容
静安区 2024 年初中学业质量调研
九年级数学试卷
（满分150分，100分钟完成）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1. 下列各数中，是无理数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是无理数，零指数幂及数的开方法则．根据无理数的定义，零指数幂及数的开方法则
对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、 ，2是有理数，本选项不符合题意；
B、 是无理数，本选项符合题意；
C、 ，1是有理数，本选项不符合题意；
D、 是有理数，本选项不符合题意．
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的除法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方，合并同类项．分
别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，正确，本选项符合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，本选项不符合题意；
D、 ，原计算错误，本选项不符合题意．
故选：A．
3. 下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 正三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．先根据轴对称图形的定义确定各选
项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．
【详解】A：等腰直角三角形有1条对称轴；
B：等腰梯形有1条对称轴；
C：正方形有4条对称轴；
D：正三角形有3条对称轴；
综上所述正方形对称轴条数最多，
故选：C．
4. 一次函数 中，如果 ，那么该函数的图像一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．
【详解】解：当一次函数 中 ， ，该函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
5. 如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，那么下列条件中，能判断菱形 是正方形的
为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形到现在和正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：A、 ， ，
，
，
四边形 是菱形，
，故不能判断菱形 是正方形；故A不符合题意；
B、 四边形 是菱形，
， ，
故不能判断菱形 是正方形；故B不符合题意；
C、 四边形 是菱形，
， ，
，
故不能判断菱形 是正方形；故C不符合题意；
D、 四边形 是菱形，
平行于 ，
，，
，
菱形 是正方形，故D符合题意．
故选：D．
6. 对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的
弧相等．下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、
弦的关系定理判断即可．
【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题；
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题
故选：A．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的化简，运用绝对值垢性质进行化简即可．
【详解】解： ．
为
故答案 ： ．
8. 函数 的定义域是_____．
【答案】x≠﹣1
【解析】
【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x≠1，故答案为x≠1.
9. 方程 的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了无理方程的意义．依据题意， ，从而 ，可得 ，进而计
算可以得解．
【详解】解：由题意得， ，
．
．
．
．
．
故答案为： ．
10. 如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心
角的度数即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为 ，
由题意得， ，
解得 ，
正六边形的中心角是 ，
故答案为： ．
11. 如果关于x的一元二次方程 有实数根，那么a的取值范围是______．
【答案】 且【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，而且
解得： 且 ；
故答案为： 且 ．
12. 反比例函数 的图像在第______象限．
【答案】一、三
【解析】
【分析】根据 ＞0，判定函数图像的分布即可．
【详解】解：∵ ＞0，
反比例函数的图像在第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．
13. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ．
故答案为： ．考点：列表法与树状图法．
14. 一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次 ，1次 ，3次 ，4次 ，那么这10个数
据的中位数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．据此求解即可．
【详解】解：这组数据中第5、6个数据分别为 ， ，
所以这10个数据的中位数是 ，
故答案为： ．
15. 在 中，点D、E、F分别是边 的中点，设 ，那么向量 用向
量 表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用三角形中位线定理求得 ，则 ；然后由三角形法则求得
．代入求值即可．
【详解】解：在 中， 点 、 分别是边 、 的中点，是 的中位线．
．
．
， ，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与直线 交于点 ，它们的夹角为 ．直线 交x负
半轴于点A，直线 与x正半轴交于点 ，那么点A的坐标是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出 的长，从而得出点 的坐标．
【详解】解： ，
，
轴 轴，
，
，
，
，
，
点 ，点 ，
， ，
，
，
点 在 轴的负半轴，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
17. 如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距 ，那么r的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆心距 与两圆内含的性质得出 的取值范围即可．本题考查了圆与圆的位置关系，当
时，两圆外离；当 时，两圆外切；当 时，两圆相交；当 时，两圆内切；当 时，两圆内含；
【详解】解： 半径分别为 和2的两个圆内含，圆心距 ，
，
，
，
∴
的取值范围是 ，
故答案为： ．
18. 如图，矩形ABCD中， ，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形 ，使点D在
直线 上，那么线段 的长度是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键．
根 据 旋 转 的 性 质 可 得 ， ， 再 由 解 三 角 形 求 出
， ，进而在 中求出线段 的长
度．
【详解】解：由旋转性质可知： ， ，当点D在线段 上时，如图1，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
当点D在线段 延长线上时，如图2，同理可得： ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把 的值代入计算
即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．20. 解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】不等式组 的解集为 ，不等式组的整数解为：0，1，2，3．
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的整数解．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公
共解集，从公共解集中找到整数解即可．
【详解】解： ．
解不等式①得： ，
．
解不等式②得： ，
，
．
不等式组的解集为： ．
不等式组的整数解为：0，1，2，3．
21. 已知：如图， 是 的直径， 、 、 是 的弦， ．
（1）求证： ；
（2）如果弦 长为8，它与劣弧 组成的弓形高为2，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：（1）作 于点E，交 于点F，连接 运用 证明 ，可得出结论；
（2）设 的半径为 ，在 中，运用勾股定理列出方程求出 的值即可得出结论．
【小问1详解】
解：作 于点E，交 于点F，连接 如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：设 的半径为 ，则 ，
又 ，∴ ，
在 中， ，
即： ，
解得， ，
∴ .
22. 某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如下表所示：
第 1 第 2 第 3 第 4 第 5
年份
年 年 年 年 年
GDP （ 百 亿
10.0 11.0 12.4 13.5 ■
元）
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点： 、 、
、 ．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直
线AC等函数模型来进行分析．
（1）根据点A、B的坐标，可得直线 的表达式为 ．请根据点A、C坐标，求出直线 的
表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选
用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通
过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离
方差越小越适宜．）
例 如 ， 分 析 直 线 ， 即 上 的 点 ： 可 知
， 求 得 偏 离 方 差
．
请依据以上方式，求出关于直线 的偏离方差值： ______；问题：你认为在选用直线 与直线 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式：______；
根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为______百亿元．
【答案】（1）
（2）0.0125， ，14.8
【解析】
【分析】本题考查一次函数和方差的应用，解题的关键是理解题意，正确运用．
（1）设直线 的表达式为 ，代入即可作答；
（2）分析直线 ，即 ，分别求出 ， ， ， ，进而求出偏离方差 ；
根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入 ，作答即可．
【小问1详解】
解：设直线 的表达式为 ，
根据题意 ，
解得 ，
直线 的表达式为 ；
【小问2详解】
分析直线 ，即 ，
，
，
，
偏离方差 ，，
直线 更合适，
当 时， ，
故答案为：0.0125， ，14.8．
23. 已知：如图，直线 经过矩形 顶点 ，分别过顶点 、 作 的垂线，垂足分别为点E和
点F，且 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 和 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出 是
解题关键．
（1）连接 交 于点 O，得 是梯形 的中位线，进而可得 ，再证明
，由相似三角形性质即可得出结论，
（2）根据 垂直平分 即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接 交 于点O，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
【小问2详解】
由（1）得 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴24. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于直线 对称，且经过点 和点 ，
横坐标为4的点 在此抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结 、 、 ，求 的值；
（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且 ，过点P作 轴，垂足为Q，请说明
，并求点P的坐标．
【答案】（1）该抛物线的表达式为 ；
（2）
（3）点 的坐标为 ．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先证得 是等腰直角三角形，可得 ， ，过点 作 轴
于 ，则 ， ， ，进而证得 是等腰直角三角形，可得 ，
，推出 ，再运用三角函数定义即可求得答案；（3）连接 ，先证得 ，得出 ，即 ，设 ，则
，可得 ，得出 ，代入抛物线解析式求得 ，即可求得答案．
【小问1详解】
解： 抛物线关于直线 对称，
设抛物线的解析式为 ，把 、 代入，
得： ，
解得： ，
，
该抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
解：在 中，令 ，得 ，
，
、 ，
，
是等腰直角三角形，， ，
如图，过点 作 轴于 ，则 ， ， ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
；
【小问3详解】
证明：如图，连接 ，
由（2）知 是等腰直角三角形，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
点 在对称轴右方的抛物线上，
，且 ，
解得： ，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和
性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．
25. 如图1， 中，已知 为锐角， ．（1）求 的值；
（2）如图2，点P在边 上，点Q是边 的中点， 经过点A， 与 外切，且 的直径不
大于 ，设 的半径为x， 的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题条件下，连接 ，如果 是等腰三角形，求 的长．
【答案】（1）
（2）
（3） 的长为 或3
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）构建直角三角形，根据 ，得出 ，根据勾股定理，得出 ，然后
，再运用正弦 的定义列式计算，即可作答．
（2）设 的半径为 ， 的半径为 ，作图，根据已有的条件得出 ，结合勾股定理，得出 ， ，在 中，
，代入数值进行计算，即可作答．
（3）因为 是等腰三角形，所以进行分类讨论，分为 , 以及 ，结合等
腰三角形的性质以及线段的和差运算，列式作答即可．
【小问1详解】
解：过点A作
∵ 为锐角， ．
∴在
解得
∴
∵
∴
∴在
∴ ；
【小问2详解】
解：如图：∵ 与 外切，设 的半径为 ， 的半径为
∴
∵
∴
∵ ，点Q是边 的中点
∴
过点P作 于点G
∵
∴
则
在 中，
则
∴当 时，则 ，得出 ；
当 时，则 ，得出 ；
∵
∴
则
【小问3详解】
解：∵ 是等腰三角形，
∴当 时， ，
∴当 时， ，
则 ，
∵点Q是边 的中点，
∴点P是边 的中点，
∴ ，
∴当 时， ，
此时∴
解出 （舍去）
综上： 是等腰三角形， 的长为 或3
