精品解析：上海市上宝中学2022-2023学年八年级上学期期中模拟数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 初二数学期中（上）复习四 一、选择题（本大题共 5题，每题 2分，共 10分） m2xm 3mx10 1. 方程 是关于x的一元二次方程，则（ ） A. m2 B. m  2 C. m2 D. m的值无法确定． 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，绝对值的性质即可求解． 【详解】解：方程m2xm 3mx10是关于x的一元二次方程， m20 m2 ∴ ，解得， ，  m 2 m2 ∴m  2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义，绝对值的性质是解题的关 键． 2. ①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判断定理逐项判断即可． 【详解】解：①角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该项错误； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，故该说法正确； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故该项错误； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等，故该项正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定定理，正确理解 判定定理是解题关键． 3. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3Cm的纸带边沿上，另一个顶 第 1 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3）， 则三角板的最大边的长为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 3 2 cm D. 6 2 cm 【答案】D 【解析】 【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边 的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边． 【详解】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=6 2， 故选：D． 4. 如图，在四边形ABCD中，ABC ADC 90，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则（ ） A. EF  BD B. AEF ABD 第 2 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 C. EF  ABCD D. EF  ABCD 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接BE，DE，根据中点的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得 BF  DF，BE  DE ，根据“边边边”可证 BEF≌  DEFSSS ，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接BE，DE， ∵ABC ADC 90，点E分别是对角线AC的中点， 1 ∴在Rt△ABC 中，BE 是斜边AC的中线，则BE AC， 2 1 在Rt ADC中，DE是斜边AC的中线，则DE  AC，  2 ∴BE  DE ， ∵点F 是对角线BD的中点， ∴BF  DF ， 在 BEF，DEF 中，   BE  DE  BF  DF ，  EF  EF  ∴ BEF≌  DEFSSS ， ∴BFE DFE，且BFEDFE 180， ∴BFE DFE 90， ∴EF  BD，故A选项正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识 是解题的关键． 第 3 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5. 下列命题错误的是（ ） A. 若一个三角形的两边垂直平分线的交点在第三边上，则该三角形一定是直角三角形． B. 三角形三边中线的交点到三角形三个顶点距离相等． C. 三角形三个内角平分线的交点到三边距离相等． D. 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半． 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形角平分线，中线，三条边垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质依次分析各项即 可． 【详解】A．若一个三角形的两边垂直平分线的交点在第三边上，则该三角形一定是直角三角形，本选项 正确； B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点距离相等，故本选项错误； C．三角形三个内角平分线的交点到三边距离相等，本选项正确； D．等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，本选项正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形角平分线，中线，三条边垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的 关键是熟练掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共 15题，每题 2分，共 30分） 1 6. 把根号外的因式移到根号内： (a1) ＝_______. 1a 【答案】 1a 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得a与1的关系，根据a与1的关系，可得答案． a12 【详解】原式=- = 1a 1a 故答案为 1a 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，被开方数是非负数得出a＜1是解题关键． 7. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 【答案】k＜9，且k 0 【解析】 第 4 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，得到 =b2 4ac=364k＞0且k 0，解不等式即可求解 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴=b2 4ac=364k＞0， k 0， ∴k＜9且k 0． 故答案为：k＜9，且k 0 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当一元二次方程有两个不相等的实数根时， ＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当一元二次方程无实数根时，＜0，注意本题 为一元二次方程，故要注意k 0这一隐含条件，这是易错点． 8. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值是__． 【答案】1 【解析】 【分析】把x＝0代入已知方程，得到关于a的方程，通过解新方程求得a的值．注意二次项系数不等于 零． 【详解】解：依题意得，|a|﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得a＝﹣1． 故答案是：﹣1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次 方程的解是解题的关键． 9. 已知m、n是方程x2  2x 1 0 的两根，  7m2 14ma  3n2 6n7  8，则a ___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据m,n是一元二次方程x2 2x10的两个数根，可得m2 2m10，n2 2n10， 则有m2 2m1，n2 2n1，然后代入  7m2 14ma  3n2 6n7  8求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2 2x10的两个根， ∴m2 2m10，n2 2n10， ∴m2 2m1，n2 2n1， 第 5 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴7m2 14m7  m2 2m  717，3n2 6n3  n2 2n  313， ∵  7m2 14ma  3n2 6n7  8 ∴ 7a378 解得a  9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 10. 点P到x轴和点Q5，2 的距离都为10，则点P的坐标是_________________； 【答案】 1，10 或 11，10 【解析】 【分析】设点P的坐标为  m，n  ，根据题意可得 n 10，m52 n22 102，再讨论n的值求出 对应的m的值即可． 【详解】解：设点P的坐标为  m，n  ， ∵点P到x轴和点Q5，2 的距离都为10， ∴ n 10，m52 n22 102， ∴n10，m52 n22 100， ∴当n10时，m52 1022 102，即m52 44，此时不成立； 当n10时，m52 1022 102，即m52 36， 解得m1或m11， 综上所述，点P的坐标为 1，10 或 11，10 ， 故答案为： 1，10 或 11，10 ． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标系中两点距离公式，熟知两点距离公式和点到x轴的距 离是纵坐标的绝对值是解题的关键． 11. 已知x为实数，且  x2 3x  x2 3x1  12则x2 3x的值为__________． 【答案】4 【解析】 第 6 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】设x2 3x y，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到x2 3x的可 能取值，再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【详解】解：设x2 3x y， ∵  x2 3x  x2 3x1  12 ∴yy112 ∴y2  y 12， 整理得：y2  y120， 因式分解得 y4y30， ∴y40或y30， ∴y 4或y=3， 当y 4时，即x2 3x4， 整理得x2 3x40， ∵32 414916250， ∴方程有实数根，符合题意， 当y=3时，即x2 3x3， 整理得x2 3x30， ∵32 41391230， ∴方程没有实数根，不符合题意， ∴x2 3x的值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程ax2 bxc  0(a  0)的 根与b2 4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0时，方程有两个相等 的实数根；当Δ0时，方程无实数根． 12. 在 ABC中，AB15，AC 13，边BC上的高AD12，则 ABC的面积为_____．   【答案】84或24 第 7 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，第一种情况，锐角三角形，则边BC上的高AD在三角形内部；第二种情 况，钝角三角形，则边BC上的高AD在三角形外部；图形结合分析，即可求解． 【详解】解：①如图所示，AB15，AC 13，ADBC，AD12， ∴在Rt△ABD中，BD AB2AD2  152122 9， 在Rt△ACD中，CD AC2 AD2  132 122 5， ∴BC  BDCD9514， 1 1 ∴S  BC·AD 141284； ABC 2 2 ②如图所示， ∴在Rt△ABD中，BD AB2AD2  152122 9， 在Rt△ACD中，CD AC2 AD2  132 122 5， ∴BC  BDCD954， 1 1 ∴S  BC·AD 41224； ABC 2 2 综上所述， ABC的面积为84或24，  故答案为：84或24． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握锐角三角形，钝角三角形高的计算方法是解题的关键． 13. CD是Rt△ABC 斜边AB上的高，若AB 1，AC:BC 4:1，则CD的长为______． 4 【答案】 17 第 8 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据 AC:BC 4:1，设BC  xx0 ，则 AC 4x，在Rt△ABC 中根据勾股定理可求出 AC,BC 的值，根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示， AC 已知 ABC是直角三角形，ACB90，CD AB，AB 1， 4，  BC 设BC  xx0 ，则AC 4x， 17 在Rt△ABC 中，AB2  BC2  AC2，即x2 (4x)2 1，解得，x  ， 17 17 4 17 ∴BC  ，AC 4x ， 17 17 1 1 ∵CD AB，且S  ACgBC  ABgCD， VABC 2 2 AC·BC 4 17 17 4 ∴CD    ， AB 17 17 17 4 故答案为： ． 17 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，运用等面积法求高，掌握以上知识的运用是解题的关键． 14. 若线段AB3cm，以线段AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是_______________． 3 【答案】以AB中点为圆心，以 cm为半径的圆 2 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点， 第 9 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 3 ∴CD AD BD AB cm， 2 2 3 ∴点C的轨迹是以AB中点为圆心，以 cm为半径的圆． 2 3 故答案为：以AB中点为圆心，以 cm为半径的圆． 2 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半． 15. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝ AF．如果∠AED＝62°，那么∠DBF＝___． 【答案】28° 【解析】 【分析】证明△BDF≌△ADE，得到∠DBF=∠DAE即可． 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD． 又∵∠BAC=90°， ∴BD=AD=CD． 又∵CE=AF， ∴DF=DE． ∴△BDF≌△ADE． ∴∠DBF=∠DAE=90°-62°=28°． 故答案为：28°． 第 10 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用 等腰直角三角形三线合一性质及全等三角形的判定定理是解题的关键． 16. 如图，在 ABC中，AB BC，B120，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC 6cm，则  AD________________cm． 【答案】2 【解析】 【分析】连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC 2BD，根据线段垂直平分线的 性质求出AD BD，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接BD． AB BC，ABC 120，  1 AC  180ABC30， 2 AB的垂直平分线是DE，  AD  BD， DBAA30， DBC 90， DC 2BD， AD BD，  DC 2AD， AC 6，  1 AD 62， 3 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内 第 11 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD BD和DC 2BD是解此题的关键． 17. 已知直角三角形的周长为2 6，斜边上的中线为1，则这个三角形的面积为________． 1 【答案】 2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得斜边为2，从而求得两直角边ac  6， 再根据勾股定理可得a2 c2 4，然后利用完全平方公式即可求得ac1，进而求出三角形面积． 【详解】解：如下图  斜边中线为1， BD1，AC 2， 又 ABC周长为2 6，  ABBC  6． 设ABc，BC a，则ac  6， a2 c2  AC2 4． (ac)2 (a2 c2) ( 6)2 4 ac  1， 2 2 1 1 S  ac ． VABC 2 2 1 故答案为： ． 2 【点睛】此题主要是运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及完全平方公 式．能借助完全平方公式灵活变形是解题关键． 18. 如图，直线l上有三个正方形a,b,c，若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为__________． 第 12 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】16 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结 合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°， ∴∠ABC=∠DAE， ∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)， ∴BC=AE，AC=ED， 故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16， 即正方形b的面积为16. 点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全 等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键. 19. 在 ABC中，AB AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则B等于  ____________． 【答案】70或20 【解析】 【分析】首先根据题意作图，然后由AB 的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，即可得 ADE 50，AED90，然后分两种情况讨论：①当三角形是锐角三角形时，即可求得A的度 数，②当三角形是钝角三角形时，可得A的邻补角的度数；又由AB AC，根据等边对等角与三角形 内角和的定理，即可求得B． 【详解】∵AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50， ∴ADE 50，AED90， ①如图1，当 ABC是锐角三角形时，A90ADE 905040．  ∵AB AC， 第 13 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 18040 ∴BC  70， 2 ②如图2，当 ABC是钝角三角形时，BAC ADEAED5090140．  ∵AB AC， 180140 ∴BC  20． 2 综上所述：B的度数是70或20． 故答案为：70或20． 【点睛】本题考查了等腰三角形与线 段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，要注意分情况讨论． 20. 如图，Rt ABC中，AC  BC,AD平分BAC交BC于点D,DE  AD交AB于点E,M 为AE  中点，连接MD，若BD 2,CD1．则MD的长为______． 2 【答案】 3 3 【解析】 【分析】过点D作DF  AB于点F ．根据角平分线AD的性质，以及已知条件“BD 2,CD1”可以 推知B 30；然后在含有30角的直角△AFD和△AED中求MD的长度． 【详解】解：过点D作DF  AB于点F ． ∵AD平分BAC交BC于点D,CD1， ∴FD CD 1； 在RtVBDF中，FD 1,BD 2， ∴B 30 第 14 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴1230， ∴在Rt AFD中，AD2FD2；  4 3 ∴在Rt AED中，AE  ，  3 1 2 ∴MD AE  3． 2 3 2 故答案为： 3． 3 【点睛】本题考核知识点：角平分线，勾股定理，直角三角形性质．解题的关键：做出辅助线，通过特殊 边的数量关系推出特殊角，再解直角三角形即可．此题比较综合． 三、简答题（本大题共 4题，第 21、22题每题 5 分，第 23、24题每题 8分，共 26分） 21. 解方程 1 3  8 5 （1）  1 y  y   y 2 2  3 6   （2）x2 2 21 x32 2 0 2 【答案】（1）y  y  1 2 3 （2）x  x 1 2 1 2 【解析】 【分析】（1）方程整理后，利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 1 3  8 5 解：  1 y  y   y 2 2  3 6 整理得，9y2 12y40 ∴3y22 0 第 15 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴3y20 2 解得y  y  ； 1 2 3 【小问2详解】   解：x2 2 21 x32 2 0  2 x 21 0 解得x  x 1 2． 1 2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式 法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 22. 如图，点 D是  ABC内一点，把△ABD绕点 B顺时针方向旋转60得到△CBE，若 AD4， BD3，CD5． （1）判断 DEC的形状，并说明理由；  （2）求ADB的度数． 【答案】（1） DEC为直角三角形  （2）150 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出△ADB≌△CEB，再结合△ABD绕点B顺时针方向旋转60得到 BDE为等边三角形，得到DE  BD3，EC  AD4，再根据勾股定理逆定理，判断出 DEC为直角   三角形． （2）根据△ADB≌△CEB，得到BDABEC，根据等边三角形和直角三角形的内角度数求出 BEC的度数即可． 【小问1详解】 结论： DEC为直角三角形．  证明：根据图形的旋转不变性，可得△ADB≌△CEB， ∴BA BC，ADEC，BD BE，BDABEC， 第 16 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵DBE ABC 60， ∴ ABC和 DBE均为等边三角形，   ∴DE  BD3，EC  AD4， ∵CD5， ∴DE2 EC2 32 42 52 CD2； ∴ DEC为直角三角形．  【小问2详解】 ∵ ADB≌ CEB，   ∴BDABEC， ∵ DEC为直角三角形，  ∴DEC 90， ∵ BDE为等边三角形，  ∴BED60， 故BEC 9060150， ∵BDABEC ∴ADB150． 【点睛】此题考查了图形的旋转不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知 识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论． 23. 如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证： （1）G为CE的中点． （2）∠B=2∠BCE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证G是CE的中点，即GE CG，可证它们所在的三角形全等，即连接DE，证 EDG≌ CDG；   （2）由（1）知： CDE是等腰三角形，则BE  DE CD，根据三角形外角的性质可得  第 17 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BEDB2BCE． 【详解】证明：（1）连接DE， AD BC，E是AB的中点，  1 DE是Rt△ABD斜边上的中线，即DE  BE  AB； 2 DC DEBE； 又 DG  DG，  Rt EDG≌Rt CDG (HL)，   GE CG， G是CE的中点． （2）由（1）知：BE  DE CD； BBDE，DEC DCE； BBDE2BCE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键． 四、解答题（本大题共 4题，第 25、26、27题每题 8分，第 28题 10分，共 34分） 24. 如图（1），直角梯形OABC中，A90，AB∥CO，且AB 2，OA2 3，BCO60． （1）求证：△OBC为等边三角形； （2）如图（2），OH BC于点H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出 发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积 为S，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围； （3）设PQ与OB交于点M，当OM  PM 时，求t的值． 第 18 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 3 【答案】（1）见解析 （2）S  t2  t(0t 2 3) 4 2 2 3 （3）t  3 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出OB，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到AOB30， ABO60，则BOC ABO60，在△OBC中有两60的角，根据等边三角形的判定即可得到 结论； 3 （2）根据等边三角形的性质易得COH 30，OH  BC 2 3，则QOP60， 2 1 OP2 3t，利用三角形的面积公式得到S  OQNP，代值即可得到 2 3 3 S  t2  t(0t 2 3)； 4 2 （3）由OM  PM 得到MOPMPO30，则PQO90，利用含30度的直角三角形三边的 关系得到OP2OQ，即2 3t 2t，解方程即可． 【小问1详解】 在Rt  OAB中，AB 2，OA2 3， OB AO2  AB2  (2 3)2 22 4， AOB30，ABO60， AB∥OC，  BOC ABO60， 而BCO60，  OBC为等边三角形；  【小问2详解】 OH  BC ，过点P作PN  AO，  第 19 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 3 COH 30，OH  BC  42 3， 2 2 QOP60，OP2 3t， ∴OPN 30， 1 1 ∴ON  OP 3 t ， 2 2 3 ∴NP OP2 ON2 3 t ， 2 而OQt， 1 1  3  3 3 S  OQNP t3 t t2  t(0t 2 3)；   2 2 2 4 2   【小问3详解】 OM  PM ，  MOPMPO30， 而QOP60 PQO90， OP2OQ，即2 3t 2t， 2 3 t  ． 3 【点睛】本题考查了梯形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的 直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角 的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于Q，探究；设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边 第 20 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) CD上时，线段 PQ与 PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想； （2）当点Q在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y与 x之间的函数关系，并写出函数自变量 x的取值范围； （3）当点P在线段 AC上滑动时， △PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使 △PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的 x值，如果不可能． 【答案】（1）PBPQ，证明见解析 1 2 （2）S  x2  2x1(0 x ) 四边形PBCQ 2 2 （3）x0或1 【解析】 【分析】（1）PQ PB，过P点作MN∥BC 分别交AB、DC 于点M 、N ，可以证明 Rt  MBP≌Rt  NPQ； （2）S S S 分别表示出 PBC与△PCQ的面积就可以． 四边形PBCQ PBC PCQ  （3）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQQC， ②当点Q在DC 的延长线上，且CP  CQ 时，就可以用x表示出面积． 【小问1详解】 PQ PB， 过P点作MN∥BC 分别交AB、DC 于点M 、N ， 第 21 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 在正方形ABCD中，AC为对角线， AM PM ， 又 AB MN ，  MB PN ，  BPQ90， BPM NPQ90； 又 MBPBPM 90，  MBPNPQ， 在Rt△MBP与Rt△NPQ中， PMBPNQ90   BM  PN  MBPNPQ  Rt  MBP≌Rt  NPQASA ， PBPQ． 【小问2详解】  S 四边形PBCQ S △PBC S △PCQ ， AP x，  2 AM  x， 2 CQCD2NQ1 2x， 1 1 2 1 2 又 S  BC·BM  1(1 x)  x，  PBC 2 2 2 2 4 1 1 2 S  CQPN  (1 2x)(1 x)， PCQ 2 2 2 1 3 2 1  x2  x ， 2 4 2 1 2 S  x2  2x1(0 x )； 四边形PBCQ 2 2 【小问3详解】 第 22 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) △PCQ可能成为等腰三角形． ①当点P与点A重合时，点Q与点D重合， PQQC，此时，x0． ②当点Q在DC 的延长线上，且CP  CQ 时， 2 2 2 QN  AM  PM  x，CP 2x，CN  CP1 x， 2 2 2 2 2 CQQN CN  x(1 x) 2x1， 2 2 当 2x 2x1时，x1． 【点睛】此题主要考查正方形及直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用 解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第 23 页 共 23 页