精品解析：上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 南模中学 2023 学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一､填空题（本大题共 12 题，满分 54分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）  1. 已知空间中两条直线 a,b ，“ a  b ”是“a与 b 相交”的__________条件.（选填“充分非必要”，“必要非充 分”，“既非充分又非必要”，“充要”）  a  0,1,m,b 0,n,3 , // mn 2. 已知 分别是平面 的法向量，且 ，则 __________. 4 arccos 5 3. 若圆锥高为3，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥的侧面积为______. r r   a2b  a,b 60 4. 已知 均为空间单位向量，且它们的夹角为 ，则 ______． 5. 如图，点 C 在圆锥 PO 的底面圆 O 上，AB是直径， AB8 ，BAC 30，圆锥的母线与底面成的 角为 60 ，则点A到平面 PBC 的距离为_____． 6. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 6 3 的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为 6 ，则该球的表面积是______． AB6,AB 2 7. 现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知 1 1 ，现按一定的速度匀速往甲 容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水， 当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟． 第 1 页 共 6 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 8. 已知正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1，点E ､ F ､ G 分别为棱AB ､ AA 1､ C 1 D 1的中点，则下列结论 中 3 3 （1）过E ､ F ､ G 三点作正方体的截面，所得截面面积为 4 BC BDDB 60 （2） 1 与平面 1 1 所成的角为： 2 BD （3）异面直线EF 与 1所成角的正切值为 2 1 ACBD （4）四面体 1 1的体积等于2 ； 其中正确的结论________； 9. 用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交 y 1.5 2cosx,x, 线在侧面展开图中对应的函数表达式为 ，则平面与圆柱底面所形成的二面角 的正弦值是__________. A A A A  A A A A A,A , ,A 10. 如图，棱长为1的正方体 1 2 3 4 5 6 7 8的八个顶点分别为 1 2  8，记正方体12条棱的 第 2 页 共 6 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   A ,A , ,A A ,A , ,A A m  A A A A 中点分别为 9 10  20，6个面的中心为 21 22  26，正方体的中心为 27.记 j 1 7 1 j， j{1,2，，27} AA m m m  ，其中 1 7是正方体的体对角线.则 1 2 27 ________. 11. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器 厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____. AB AC  BC 1 12. 空间内存在三点A、B、C，满足 ，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点 与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 二､选择题（本大题共有 4题，满分 20分，每题 5 分） 13. 如图所示，在平行六面体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中，M 为 A 1 C 1与 B 1 D 1 的 交点，若     ABa  ,ADb,AA c   1 ，则BM （ ） 1  1   1  1   A. a bc B. a bc 2 2 2 2 1  1   1  1   C.  a bc D.  a b c 2 2 2 2 14. 有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆 柱部分，已知沙漏总高度为10cm，圆柱部分高度为2cm，则初始状态的沙子高度h为（ ） 第 3 页 共 6 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm 15. 已知两个不同平面,和三条不重合的直线a,b,c，则下列命题： （1）若  b，a b，则a  且a   . （2）若平面内有不在同一直线的三点A､B､C到平面的距离都相等，则  ； （3）若,分别经过两异面直线a,b，且c，则c必与a或b相交； （4）若a,b,c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a,b,c都相交. 其中正确的命题是（ ）. A. （1）（3） B. （2）（4） C. （1）（2）（4） D. （3）（4） 16. 如图，设P为正四面体ABCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成 的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有． A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 14个 三､解答题（共 5道大题，其中 17题 14分，18题 14分，19题 14分，20题 16分，21题 18 分，共计 76 分） 17. 已知空间中三点A2,0,2 、B1,1,2 、C3,0,4 ，设a    A  B  ，b    A  C  ．     （1）若 c 3，且c//BC，求向量c；   （2）求以a、b为一组邻边的平行四边形的面积S． 18. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如 第 4 页 共 6 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥PO 与一个圆柱OO 构成的几何体（如图2）.一般地，设圆 1 1 锥PO 中母线与底面所成角的大小为，当2035时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5 1 米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. （1）求几何体的体积； （2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧CD 的三等分点，求圆柱母线EF 和圆锥母线PB所在异面直线所成 角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 19. 在四棱锥M ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，且BC  AB BD，MCBMCD． （1）求异面直线BD与MC 所成角的余弦值； 7 （2）若CM 2，CD2，二面角BCM D的平面角的余弦值为 ，求DCM 的正弦值． 25 1 20. 如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC  AD2，A60，E为AD中点，点O，F分 2 别为BE，DE的中点，将  ABE沿BE折起到 A 1 BE的位置，使得平面A 1 BE 平面BCDE（如图）. 第 5 页 共 6 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：AOCE ； 1 （2）求直线AB与平面ACE 所成角的正弦值； 1 1 AP （3）侧棱AC上是否存在点P，使得BP∥平面AOF ？若存在，求出 1 的值；若不存在，请说明理由 1 1 AC 1 21. 在棱长均为2的正三棱柱ABC- ABC 中，E为BC 的中点．过AE的截面与棱BB,AC 分别交于点 1 1 1 1 1 1 1 1 F，G． （1）若F为BB 的中点，试确定点G的位置，并说明理由； 1 （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为S ，△AEG面积为S ，△AEF 面积为S ，当点F在棱BB 上变动时，求 0 1 2 1 S2 0 的取值范围． S S 1 2 第 6 页 共 6 页