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2023 学年第二学期初三数学试卷
（总分：150分，时间：100分钟）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相
应位置上】
1. 下列实数中，不是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，根据定义判定即可：整数和分数统称为有理数；无理数即无
限不循环小数．
【详解】解：A、 是有理数，故本选项不符合题意；
B、 为循环小数，是有理数，故本选项不符合题意；
C、 是无理数，故本选项符合题意；
D、 是有理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列四个选项中所表示的 的取值范围与图中表示的 的取值范围相同的是（ ）
A. 满足 的
B. 代数式 中的
C. 的三边长分别为 和
D. 到 所表示的点的距离不大于 的点所表示的
【答案】D【解析】
【分析】由数轴可知，解集为 ，然后根据解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形
三边关系的应用，数轴上两点之间的距离对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由数轴可知，解集为 ，
A中 的解集为 ，故不符合要求；
B中 ， ，
解得， ，故不符合要求；
C中第三边长的取值范围为 ，即 ，故不符合要求；
D中 ，
解得， ，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系
的应用，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有
意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考好了同底数幂乘除法计算，分数指数幂，积的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相
关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算正确，符合题意；C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 下列函数中，当 时， 随 增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数、
二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据反比例函数，一次函数，二次函数的图象与性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中 ，当 时， 随 增大而增大，故符合要求；
B中 ，当 时， 随 增大而减小，故不符合要求；
C中 ，当 时， 随 增大而增大，故不符合要求；
D中 是一条平行于 轴的直线，故不符合要求；
故选：A．
5. 关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 取一切实数 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式的应用，解不等式等知识点，分为两种情况：①当 ，② ，
根据已知得出 ，求出即可，能得出关于a的不等式是解此题的关键，【详解】解：∵方程有实根，
∴分为两种情况：①当 时， ，
解得： ；
②当 时，
∵关于x 的方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
6. 某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形 中， ， ，
， ，由上述条件，得到了两个结论：① ，② ．对于
结论①、②下列说法正确的是（ ）
A. ①正确、②错误 B. ①错误、②正确 C. ①、②正确 D. ①、②都错误
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，如图，过A作 交
的延长线于点E，当 时，可证出 ，在 中可得出 ，进而可得出 ，据此即可得①错误，如图，设 ， 交于点 O，利用勾股定理可得
，故②正确，即可得出正确选项，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过A作 交 的延长线于点E，
∵ ，
∴ 即 ，
当 时，
∴ ，
则 ，
如图，过点B作 交 于点F，
∴四形 为平行四边形，
∴ ，
如图，在 中，
∵
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
故①错误；如图，设 ， 交于点O，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故②正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数
没有平方根．
8. 分解因式： ________．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了提公因式和平方差公式，熟练掌握提公因式和平方差公式是分解因式的关键．
首先用提公因式法，再用平方差公式即可求解．
【详解】原式： ，
故答案为 ．
9. 方程 的解是_____．
【答案】x＝﹣1．
【解析】
【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
10. 已知直线 不经过第四象限，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
的
【分析】本题考查了函数 图象，分 和 两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图
象是解题的关键．
【详解】解：当 ，即 时，直线 ，
此时直线经过一、二象限，与 轴平行；
当 ，直线为一次函数，
∵直线 不经过第四象限，
∴直线经过一、二、三象限，∴ ，
∴ ；
综上， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
11. 从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽取一张，恰好为素
数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先找出1至10（十个自然数）中的素数有2、3、5、7，然后根据概率公式计算．本题考查了概率
公式：某事件的概率 该事件所占有的结果数与总的结果数之比．
【详解】解：依题意，从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽
取一张，
∵1至10（十个自然数）中 的素数有2、3、5、7
∴恰好为素数的概率 ．
故答案为： ．
12. 二元一次方程 的正整数解为 ______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．正确的解二元一次方程是解题的关键．由 ，可得
，当 时， ；当 时， ，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
当 时， ；
当 时， ，
∴二元一次方程 的正整数解为 ， ，
故答案为： ， ．
13. 化简： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可
【详解】解：
，
故答案为： ．
14. 为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小
组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由
此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为_____人．
【答案】1500【解析】
【详解】解∶由图可知：体重不小于60千克的学生人数占总人数的1-(0.02+0.03+0.04+0.05) ×5=0.3，
所以全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数为5000×0.3=1500（人）
故答案为∶1500．
15. 已知： 中， ， 平分 ， ， ， 的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，求一个角的余弦，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
过点D作 ，根据角平分线可得 ，然后得到 ，证明出
，得到 ，即可求得 ，然后设 ，则 ，
利用 代入求出 ，然后根据余弦 的概念求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作 ，
平分 ，
，又 ，
，
， ，
，
即 ，
又
，
，
∴ ，负值舍去，
设 ，则
∵
∴
解得
∴
∴ ．
故答案为： ．
16. 已知 为半径为1的 上两点， 在线段 上， ，若 ，则 关于
的数量关系式为______．【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，画出草图，利用垂径定理和勾股定理列方程，然后整理即可得出
x、y的数量关系．
【详解】解：如图，过O作 于C，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由题意， ，∴ 关于 的数量关系式为 ，
故答案为： ．
17. 如图，平行四边形 的顶点 在双曲线 上， ， ， 与
轴交于点 ，若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作 轴，垂足为G， 轴，垂足为F，
，垂足为Q，可证明 得到 ， ，利用
可得点D的横坐标为3，设 ，则 根据反比例函数图象上点的坐标特
征列出方程求出m值，即可得到点D坐标，从而得到k值．
【详解】解：如图，作 轴，垂足为G， 轴，垂足为F， ，垂足为Q，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ 与四边形 的面积比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∵D、C在反比例函数图象上，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵点D在反比例函数图象上，
∴ ．
故答案为：12．
18. 折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸
片 沿某直线折叠，使点 与点 重合，折痕交 于点 ；（2）展开后，沿过点 的直线 折
叠，使点 落在 边上点 处．连结 ，用量角器测得 ，则长方形纸片中 的值为
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，含 角的直角三角形的三边关系，特殊角的三角函数，关键是理解折叠
的性质．
如详解图，过点 作 于点 ，由平行可知 ， 都是含 角的直角三角形，
利用边之间的关系即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得， 是 中点， ，， ，
如图，过点 作 于点 ，
设 ， ，则 ，
，
在 中， ，
，
在等腰三角形 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，即 ，
．故答案为： ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二
次根式、绝对值，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
20. 解方程组： ．
【答案】 或
【解析】
【分析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解： ，
由方程①可得x+2y＝﹣3或x+2y＝3，
则方程组可变为 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识
点是因式分解、加减法．
21. 已知：如图，第一象限内的点 在反比例函数的图像上，点 在 轴上， 轴，点 的坐标为 ，且 ．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点 的坐标；
（3） 的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角
函数，数形结合思想的运用是解答的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过A作 于D，则 ，设 ，根据坐标与图形性质得到
， ，进而列方程求解t值即可；
（3）先求得 ，再根据勾股定理求解 ，再根据余弦定义求解即可．
【小问1详解】
解：设反比例函数的解析式为 ，∵第一象限内的点 在反比例函数的图像上，点 的坐标为 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：过A作 于D，则 ，
设 ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，经检验，符合所列方程，
故点C坐标为 ；
【小问3详解】
解：∵ 轴，
∴点B的纵坐标为1，
将 代入 中，得 ，则 ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ．
22. 如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等
边 的边长为 ，分别以 为圆心， 为半径作 ， 为 的中心．
（1）若 为 上任意一点，则 的最小值为______ ，最大值为______ ．
（2）转子沿圆 转动时，始终保持 与 相切， 的半径为 ， 的半径为 ，当圆心
在线段 的延长线上时，求 两点间的距离的平方．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，圆与圆的位置关系，
（1）过点 作 交 于点 ，交 于点 ，解 ，求得 ，进而根据点 的位
置求得最值，即可求解；（2）根据题意画出图形，根据两圆的位置关系可得 ，进而根据勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，
∵等边 的边长为 ， 为 的中心．
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴当 点在 点时， 取得最小值，最小值为
当 点在 或 点时， 取的最大值，最大值为
【小问2详解】
解：如图所示，由（1）可得 ，则
∴
∴
∴
．
23. 已知：如图，四边形 的对角线 相交于点 ， ， ；
（1）求证： ．
（2）过点 作 交 延长线于点 ，延长 、 交于点 ，分别取 的中点
，连结 ，求证： 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 由 ， 可 得 ， 进 而 可 证 ， 则
， ；
（2）如图，连结 ，记 交点为 ，由 为 的中点，可得 ，
的
，则 ，由 为 中点，可得 ，则 ， 垂直平分
， ，证明 ，则 ，即 平分 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图，连结 ，记 的交点为 ，
∵ 为 的中点，∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平
分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键．
24. 己知直角坐标平面 中， 为原点，抛物线 经过点 、 ，点
为抛物线顶点．
（1）当 时，求抛物线解析式及顶点 坐标．
（2）若点 在直线 上，且 ，求抛物线的解析式．
（3）联结 交 于点 ，当 为等腰三角形时，求 的值．
【答案】（1） ，顶点（2）
（3） 或
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的
图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点 坐标；
（2）求出点 ，得到 ，则 ，则 ，
求出 ，求出a、b的值，即可得到答案；
（3）分两种情况分别进行求解即可．
【小问1详解】
解；当 时，抛物线 经过点 、 ，把 、 代入得，
解得
∴ ，
∵
∴顶点
【小问2详解】∵抛物线 经过点 、 ，点 为抛物线顶点．
∴ ，
把 代入 得到 ，
把 代入 中
得到
即 ，
，
，
∴ ，【小问3详解】
由题意可知 ，
仅有 和 两种情况，
由（2）可知， ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得到， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
① 时， ，
， ，
（负舍）② ，
， ，
（负舍）
综上所述， 或
25. 已知：四边形 中， ， ， 分别为 中点，
相交于点 ．
（1）如图，如果 ，求证： ．
（2）当 ， 时，求 的长；
（3）当 为直角三角形时，线段 与 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） 或 ，理由见解析
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 过 D 作 交 于 H ， 证 出 四 边 形 为 等 腰 梯 形 ， 再 证 出
，利用三角形的外角性质和等量代换即可得出答案；
（2）先证出 为正三角形，然后设 ，得出 ，证出 ，用相似比得出 ，利用 得出 ，求出a值，即可得解；
（3）先利用三角形边角关系得出 ，然后分类讨论① ② 两种情况，
即可得解．
【小问1详解】
过D作 交 于H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
四边形 为平四边形，
，
，
四边形 为梯形，
，
四边形 为等腰梯形，
，又E，F分别为 中点，
， ，
又 ，
，，
，
∴ ，
【小问2详解】
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为正三角形，
∴
延长 ． 交于M ，设 ，
∴ ，
∵E为 的中点， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
，
， ， ，，
∴ ，
又 ， ，
，
∴ ，
，
，
∴ （负值已舍），
，
∴ ；
【小问3详解】
，
，
，
，
仅两种分类，
① ，延长 交于 ，过D作 于 ，设 ，
∵四边形 为等腰梯形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∵ ， ，
即 ，
② ，则 ，
∴四边形 为正方形，
，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，
等腰梯形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题
的关键．
