文档内容
2020-2021 学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣3不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）对于锐角 ，下列等式中成立的是（ ）
A．sin ＝cos •tanα B．cos ＝tan •cot
C．tanα＝cotα•sinα D．cotα＝sinα•cosα
4．（4分）α已知向α量 与α 非零向量 方向相同，且其模为|α|的2α倍；向α量 与 方向相反，且其
模| |的3倍，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小
心把其中一个蘸上了墨水（表中 ），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
6．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线的交点为点O．如果梯
形ABCD的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
A．点O到边AB的距离 B．点O到边BC的距离
C．点O到边CD的距离 D．点O到边DA的距离
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知三角形的三边长为a、b、c，满足 ，如果其周长为36，那么该三角形的
最大边长为 ．
8．（4分）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是
．
9．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶
点的距离是 ．
10．（4分）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3 ，则这个锐角的正切值为
．
11．（4分）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ．
12．（4分）已知点P位于第二象限内，OP＝5，且OP与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P
的坐标是 ．
13．（4分）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为
度．
14．（4分）已知二次函数图象经过点（3，4）和（7，4），那么该二次函数图象的对称轴是直线
．
15．（4分）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设
该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是 ．（不必写
定义域）
16．（4分）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DE∥BC，EF∥AB，如果△ADE的
面积为2，△CEF的面积为8，那么四边形BFED的面积是 ．17．（4分）如果抛物线y＝x2+（b+3）x+2c的顶点为（b，c），那么该抛物线的顶点坐标是
．
18．（4分）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个
小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：3|tan30°﹣1|+ ．
20．（10分）将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请
结合以上两个函数图象，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中
一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．
21．（10分）如图，一个3×3的网格，其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．
（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与△ABC相似？请说明理由；
（2） ＝ ， ＝ ，写出向量 关于 、 的分解式．
22．（10分）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋
两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡．已知AB＝6米，AE＝BC＝3.2米，斜坡CD、DE的
坡比均为1：2．
（1）求屋顶点D到地面AB的距离；
（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角∠MNP＝ ＝53°，
为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装β一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即0°＜∠FET＝ ≤90°，
长度为1.4米，即EF＝1.4米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？α说说你
的理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈3.16，sin53°＝0.8，cos53°＝
0.6，tan53°＝ ）．
23．（12分）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个
正确的研究结论：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则
①
；
如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、
②
L，则 ．
接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：
过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交
点平分．
（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；
（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平
分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的
正确结论）．
（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作
图，不要涂改．）
24．（12分）如图，平面直角坐标系内直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段
OB的中点．
（1）求直线AC的表达式；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c经过点C，且其顶点位于线段OA上（不含端点O、A）．
用含b的代数式表示a，并写出 的取值范围；
①
设该抛物线与直线y＝x+4在第一象限内的交点为点D，试问：△DBC与△DAC能否相
②似？如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由．
25．（14分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，CB＝CD＝3，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M、
N是边AB、AD上的动点，且∠MCN＝ ∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交于点P、Q．（1）求sin∠MCN的值；
（2）当DN＝DC时，求∠CNM的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比 的值是否发生变化？如不变，请求出这个
值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置．2020-2021 学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，
∴∠A＝∠D＝40°或∠B＝∠D＝60°或∠C＝∠D＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，关键是相似三角形的对应角相等解答．
2．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣3不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据函数的解析式求出函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，再逐个判断
即可．
【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+5＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
顶点坐标是（7，1），
抛物线与x轴的交点坐标是（1，5），0），
当x＝0时，y＝﹣7，
即与y轴的交点坐标是（0，﹣3），
所以抛物线y＝﹣x7+4x﹣3的图象不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次
函数的性质是解此题的关键．
3．（4分）对于锐角 ，下列等式中成立的是（ ）
A．sin ＝cos •tanα B．cos ＝tan •cot
C．tanα＝cotα•sinα D．cotα＝sinα•cosα
【分析α】根据α锐角α三角函数的定义，分别验证每个选α项的正α误即α可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠A＝ 、∠B、b、c，
α有sin ＝ ，cos ＝ ，cot ＝
α α α
A． cos •tan ＝ • ＝ ，因此选项A符合题意；
α α
B． tan •cot ＝ • ，因此选项B不符合题意；
α α
C． cot •sin ＝ • ＝ ，因此选项C 不符合题意；
α α
D． sin •cos ＝ • ＝ ，因此选项D不符合题意；
α α
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
4．（4分）已知向量 与非零向量 方向相同，且其模为| |的2倍；向量 与 方向相反，且其
模| |的3倍，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．
【解答】解：根据题意知， ＝2 ， ．则 ，观察选项．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
5．（4分）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小
心把其中一个蘸上了墨水（表中 ），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是2相等，∴此函数图象的对称轴为直线x＝ ＝1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．
6．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线的交点为点O．如果梯
形ABCD的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
A．点O到边AB的距离 B．点O到边BC的距离
C．点O到边CD的距离 D．点O到边DA的距离
【分析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据梯形ABCD
的两底边长不变，腰长发生变化，可以设AB＝3，DC＝2，AD＝b，得A（0，0），B（3，0），D
（0，b），C（2，b），可得直线AC和BC解析式，然后求出交点O的坐标，进而可得结论．
【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，
∵梯形ABCD的两底边长不变，腰长发生变化，
∴设AB＝3，DC＝2，
∴A（5，0），0），b），b），
∴直线AC解析式为：y ＝ x，
AC
直线BC解析式为：y ＝﹣ x+b，
BD∴ ，
解得 ，
∴点O到边DA的距离为 ，
所以点O到边DA的距离不变．
故选：D．
【点评】本题考查了直角梯形，解决本题的关键是掌握直角梯形的性质．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知三角形的三边长为a、b、c，满足 ，如果其周长为36，那么该三角形的
最大边长为 1 6 ．
【分析】设 ＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，根据周长的定义得到2k+3k+4k＝36，解
得k＝4，然后计算出a、b、c，从而得到最大边长．
【解答】解：设 ＝k，b＝3k，
∵三角形的周长为36，
∴a+b+c＝36，即2k+7k+4k＝36，
∴a＝8，b＝12，
即该三角形的最大边长为16．
故答案为16．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的
长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比
例线段，简称比例线段．
8．（4分）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是
2 ﹣ 2 ．
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝ MN，把MN＝4代入计算即可．【解答】解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，
∴MP＝ MN＝ ﹣3，
故答案为：2 ﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
9．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶
点的距离是 2 ．
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1求解可得答案．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为3和6，
∴斜边的长度为 ＝3 ，
∴该三角形的重心到其直角顶点的距离是 ×3 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题主要考查三角形的重心和勾股定理，解题的关键是掌握重心到顶点的距离与
重心到对边中点的距离之比为2：1及勾股定理．
10．（4分）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3 ，则这个锐角的正切值为
3 ．
【分析】设这个锐角的正切值为t，根据余切的定义得到这个锐角的余切值为 ，则t+ ＝3
，解分式方程得到t ＝3，t ＝ ，然后利用锐角的正切值比余切值大确定t的值．
1 2
【解答】解：设这个锐角的正切值为t，则这个锐角的余切值为 ，
根据题意得t+ ＝7 ，
整理得5t2﹣10t+3＝5，解得t ＝3，t ＝ ，
1 2经检验t ＝3，t ＝ 都为原方程的解，
3 2
因为一个锐角的正切值比余切值大，
所以t＝3．
即这个锐角的正切值为7．
故答案为3．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与邻
边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．锐角A的邻边b与对边b的比叫做∠A的余切，记作
cotA．
11．（4分）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 1 0 ．
【分析】首先作过AAH⊥BC，再利用∠B＝60°，AB＝5，求出AH＝ ，即可得出结果．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝5，
∴sinB＝ ，
∴AH＝AB•sinB＝5×sin60°＝5× ＝ ，
∴S△ABC ＝ AH•BC＝ × ，
故答案为：10 ．
【点评】本题考查了解直角三角形以及三角形面积熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关
键．
12．（4分）已知点P位于第二象限内，OP＝5，且OP与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P
的坐标是 （﹣ 5 ， 1 0 ） ．
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，根据OP＝5，tan ＝2可求出OA、AP的数量关系，再根
据勾股定理可求出PA，由此即可得出点P的坐标．α
【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图所示．∵tan ＝2，
α
∴ ＝2．
∵OP＝6，
∴由勾股定理知：OP＝PA＝ ＝ ＝8，
∴AO＝5，
∴PA＝10，
∴点P的坐标为（﹣5，10）．
故答案是：（﹣4，10）．
【点评】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，通过解直角三角形得到AP＝2AO是解
题的关键．
13．（4分）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为 5 4
度．
【分析】根据题意画出图形进而求出即可．
【解答】解：如图所示：
∵视线AB与水平线AD之间的夹角为36°，
∴视线AB与铅垂线AC之间的夹角为90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与
俯角的定义．
14．（4分）已知二次函数图象经过点（3，4）和（7，4），那么该二次函数图象的对称轴是直线
x ＝ 5 ．
【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴．
【解答】解：∵二次函数图象经过点（3，4）和（8，
∴该二次函数的图象对称轴为直线：x＝ ＝5，
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象
关于对称轴对称．
15．（4分）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设
该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是 y ＝ x 2 +2 0 x
．（不必写定义域） π π
【分析】根据圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，求解即可．
【解答】解：由题意，y＝ •（10+x）2﹣ •102，
∴y＝ x6+20 x． π π
故答案π为：yπ＝ x2+20 x．
【点评】本题考查π圆的面π 积，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
16．（4分）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DE∥BC，EF∥AB，如果△ADE的
面积为2，△CEF的面积为8，那么四边形BFED的面积是 8 ．【分析】证明∠AED＝∠C，∠ADE＝∠EFC推知△ADE∽△EFC．首先运用相似三角形的
性质求出AE：EC的值，进而求出AE：AC的值；设S四边形BFED ＝S；证明△ADE∽△ABC，
列出方程 ，求出S问题即可解决．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC．
∴ ＝（ ）2，
而S△ADE ＝2，S△CEF ＝6，
∴AE：EC＝1：2，
设AE＝k，则EC＝3k．
则AE：AC＝k：3k＝1：5，
设S四边形BFED ＝S；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
即 ＝ ，
解得：S＝7，
即四边形BFED的面积为8．
故答案是：8．
【点评】考查了相似三角形的判定与性质，该题以三角形为载体，以相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解
答．
17．（4分）如果抛物线y＝x2+（b+3）x+2c的顶点为（b，c），那么该抛物线的顶点坐标是 （﹣
1 ， 1 ） ．
【分析】根据二次函数的顶点公式求出b、c的值即可．
【解答】解：根据顶点公式：b＝﹣ ，
解得：b＝﹣1，
c＝ ＝ ，
解得：c＝1．
所以抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）
故答案为：（﹣1，5）．
【点评】此题主要考查了根据二次函数的顶点公式求值，熟练记忆二次函数顶点公式是解
题关键．
18．（4分）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个
小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 2 ： 1 或 1 ： 2 ．
【分析】如图，设AB＝a，AD＝2.5a，AE＝x，则DE＝2.5a﹣x．利用相似多边形的性质，构建
方程求解即可．
【解答】解：如图，设AB＝a，AE＝x．
∵矩形ABFE∽矩形EDCF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理得，x5﹣2.5xa+a5＝0，
解得x＝2a或8.5a，
∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：7或1：2，故答案为：3：1或1：7．
【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属于中
考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：3|tan30°﹣1|+ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝3（1﹣ ）+ ﹣
＝3﹣ + +1﹣
＝ ．
【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请
结合以上两个函数图象，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中
一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．
【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+5，
∴将二次函数y＝x2+2x+8的图象向右平移3个单位，得到函数y＝（x+1﹣2）2+2，即y＝（x
﹣3）2+2，
∵二次函数y＝（x+4）2+2的图象在x＞﹣6时，y随x的增大而增大2+2的图象在x＜时，y
随x的增大而减小，
∴当﹣6＜x＜2时，两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，一个3×3的网格，其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．
（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与△ABC相似？请说明理由；
（2） ＝ ， ＝ ，写出向量 关于 、 的分解式．【分析】（1）利用勾股定理求出三角形的边长，再利用三边成比例两三角形相似证明即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
【解答】解：（1）△NAB∽△ACB．
理由：∵AB＝ ，BC＝1 ，BN＝2 ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴△NAB∽△ACB．
（2）如图，向量 、 的分向量分别为 ， ，则 ，AM＝5 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋
两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡．已知AB＝6米，AE＝BC＝3.2米，斜坡CD、DE的
坡比均为1：2．
（1）求屋顶点D到地面AB的距离；
（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角∠MNP＝ ＝53°，
为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装β一个旋
转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即0°＜∠FET＝ ≤90°，
α长度为1.4米，即EF＝1.4米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你
的理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈3.16，sin53°＝0.8，cos53°＝
0.6，tan53°＝ ）．
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜面的坡比为1：2，求出DH，进而求出DG即可；
（2）过点S作MN的平行线交AB于R，过E作EQ⊥SR，在Rt△QES中，求出QE，比较QE
与EF的大小即可得出答案．
【解答】解：（1）连接EC，则四边形ABCE是矩形，
过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵斜坡CD、DE的坡比均为1：2，
∴ ＝ ＝ ，
又∵EG＝CG＝AH＝BH＝ AB＝3，
∴DG＝1.3，
∴DH＝1.5+2.2＝4.8（米），
即屋顶点D到地面AB的距离为4.7米；
（2）公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求，理由如下：
过点S作MN的平行线交AB于R，过E作EQ⊥SR，
则∠QES＝∠SRA＝∠MNP＝∠ ＝53°，
在Rt△QES中，ES＝AE﹣AS＝7β.2﹣1.6＝2.1，
∴QE＝ES•cos∠QES＝2.1×cos53°＝1.26（米），
∵5.26＜1.4，即QE＜EF，
∴公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求，
答：公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求．【点评】本题考查解直角三角形，理解坡比的意义、构造直角三角形是解决问题的关键．
23．（12分）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个
正确的研究结论：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则
①
；
如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、
②
L，则 ．
接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：
过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交
点平分．
（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、
求证，并给出你的证明；
（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平
分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的
正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作
图，不要涂改．）
【分析】（1）写出已知，求证，证明即可．
（2）连接CA，DB，延长CA交DB 延长线于点F，连接AD，BC交于点F，作直线EF交AB
于点M，交CD于点N，点M，N即为所求作．
【解答】解：（1）已知：如图，四边形ABCD是梯形，AC与BD交于点O，且EF∥BC，
求证：OE＝OF．
证明：∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵AD∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EO＝OF．
（2）如图3中，点M．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
24．（12分）如图，平面直角坐标系内直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段
OB的中点．
（1）求直线AC的表达式；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c经过点C，且其顶点位于线段OA上（不含端点O、A）．
用含b的代数式表示a，并写出 的取值范围；
①
设该抛物线与直线y＝x+4在第一象限内的交点为点D，试问：△DBC与△DAC能否相
②似？如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）求出A，C两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．
（2） 根据顶点的纵坐标为0，对称轴在线段OA上，构建方程与不等式即可解决问题．
能①相似．利用相似三角形的性质构建方程，求出点D的坐标，再利用待定系数法解决问
②题即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣4，6），4），
∴OA＝OB＝4，
∵BC＝OC＝8，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则有 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+2．
（2） 由题意， ，
①
∴a＝ b8，1＞ ＞8．
能相似．如图，∠AOC＝90°，OC＝2，
②
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵△△DBC与△DAC相似，∠CDB＝∠ADC，
∴当∠BCD＝∠DAC时，△DCB∽△DAC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵点D在直线y＝x+4上，
∴可以假设D（t，t+4），
∴ ＝ ，
解得t＝8或﹣ （舍弃），
经检验，t＝4是方程的根，∴D（1，5），
∵抛物线y＝ax4+bx+2经过D（1，2），
∴a+b+2＝5，
∴a+b＝3，
∵a＝ b4，
∴3﹣b＝ b2，
∴b2+5b﹣24＝0，
∴b＝﹣4+2 或﹣4﹣2 ，
∴a＝7﹣2 ，
∴抛物线的解析式为y＝（7﹣2 ）x2+（﹣4+2 ）x+2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考
压轴题．
25．（14分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，CB＝CD＝3，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M、
N是边AB、AD上的动点，且∠MCN＝ ∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交于点P、Q．
（1）求sin∠MCN的值；
（2）当DN＝DC时，求∠CNM的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比 的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置．
【分析】（1）如图，连接AC交BD于H．利用勾股定理求出AC，证明∠MCN＝∠ACB即可
解决问题．
（2）延长AD到E，使得DE＝BM，连接CE．证明△MCN≌△ECN（SAS），可得∠CNM＝
∠CNE，即可解决问题．
（3） ＝ ，值不变．利用相似三角形的相似比等于对应高的比解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC交BD于H．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分线段BD，
∴BH＝DH，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∴CB＝CD，CH⊥BD，
∴∠BCH＝∠DCH，
∴sin∠BCH＝ ＝ ，
∵∠MCN＝ ∠BCD＝∠BCH，
∴sin∠MCN＝ ．
（2）如图，延长AD到E，连接CE．
∵BM＝DE，∠CBM＝∠CDE＝90°，∴△CBM≌△CDE（SAS），
∴∠BCM＝∠DCE，CM＝CE，
∴∠MCE＝∠BCD，
∵∠MCN＝ ∠BCD，
∴∠MCN＝∠ECN，
∵CM＝CE，CN＝CN，
∴△MCN≌△ECN（SAS），
∴∠CNM＝∠CNE，
∵DN＝DC，∠NDC＝90°，
∴∠CND＝∠DCN＝45°，
∴∠CNM＝45°．
（3） ＝ ，值不变．
理由：∵∠CHD＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CDH＝90°，∠ADH+∠CDH＝90°，
∴∠ACD＝∠ADH，
∵∠MCN＝ ∠BCD＝∠ACD，
∴∠MCN＝∠ADH，
∵∠PQC＝∠NQD，
∴∠CPQ＝∠QND，
∵∠CNE＝∠CNM，
∴∠CPQ＝∠CNM，
∵∠PCQ＝∠NCM，
∴△PCQ∽△CNM，
∵△NCM≌△NCE，
∴△PCQ∽△NCE，MN＝NE，
∵CH⊥PQ，CD⊥NE，
∴ ＝ ＝sin∠CDH，
∵∠CDH+∠ADH＝90°，∠CAD+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠CAD，
∴sin∠CDH＝sin∠CAD＝ ．
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造构造全等三角形
解决问题，属于中考压轴题．
