2016年上海高考数学真题（理科）试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设xR,则不等式 x3 1的解集为_____________． 32i 2．设z ，其中i为虚数单位，则Imz=_____________． i 3．已知平行直线l :2x y10,l :2x y10，则l 与l 的距离是_____________． 1 2 1 2 4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则 这组数据的中位数是_________（米）． 5．已知点(3,9)在函数 f(x)1ax的图像上，则 f(x)的反函数f 1(x) ________． 6．如图，在正四棱柱ABCDABC D 中，底面ABCD的边长为3，BD 与底面所成的 1 1 1 1 1 2 角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于____________． 3 7．方程3sinx1cos2x在区间 0,2π 上的解为___________.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） n  2 8．在3 x   的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于  x _________． 9．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． ax y 1 10．设a0,b0.若关于x,y的方程组 ，无解，则ab的取值范围是 xby 1 ____________． 11．无穷数列  a  由k个不同的数组成，S 为  a  的前n项和.若对任意nN，S   2,3  ， n n n n 则k的最大值为________. 12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线 y  1x2 上一个动点， 则BPBA的取值范围是_____________.   13.设a,bR,c 0,2π  .若对任意实数x都有2sin3x asin  bxc  ，则满足条件  3   的有序实数组 a,b,c 的组数为 .   14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形AA A 的中心，A 1,0 .任取不同的 1 2 8 1 两点A,A ，点P满足OPOA OA 0，则点P落在第一象限的概率是_____________. i j i j 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分. 15.设aR，则“a1”是“a2 1”的（ ）. （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （A）65cos （B）65sin （C）65cos （D）65sin   17.已知无穷等比数列 a 的公比为q，前n项和为S ，且limS  S .下列条件中，使得 n n n n 2S S  nN 恒成立的是（ ）. n （A）a 0,0.6q0.7 （B）a 0,0.7q0.6 1 1 （C）a 0,0.7q0.8 （D）a 0,0.8q0.7 1 1 18．设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若 f(x)g(x)、 f(x)h(x)、g(x)h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；② 若 f(x)g(x)、f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则 f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. （A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长 2 为1的正方形AAOO（及其内部）绕的OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 ， AB 1 1 1 3 1 1  长为 ，其中B 与C 在平面AAOO的同侧. 3 1 1 1 （1）求三棱锥CO AB 的体积； 1 1 1 （2）求异面直线BC与AA 所成的角的大小. 1 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域S 和S ，其中S 中的蔬菜运到河边较近，S 中的蔬菜运到F 点 1 2 1 2 较近，而菜地内S 和S 的分界线C上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐 1 2 标系，其中原点O为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图. [ （1）求菜地内的分界线C的方程; 8 （2）菜农从蔬菜运量估计出S 面积是S 面积的两倍，由此得到S 面积的“经验值”为 . 1 2 1 3 设M 是C上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及 五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的经验值. 1 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. y2 双曲线x2  1(b0)的左、右焦点分别为F、F ，直线l过F 且与双曲线交于 b2 1 2 2 A、B两点. π （1）若l的倾斜角为 ，FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2 1    （2）设b 3，若l的斜率存在，且(F A FB)AB  0，求l的斜率. 1 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分. 1 已知 aR，函数 f(x)log ( a). 2 x （1）当a 5时，解不等式 f(x)0； （2）若关于x的方程 f(x)log [(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a 的 2 取值范围； 1 （3）设a  0，若对任意t[ ,1]，函数 f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不 2 超过1，求a 的取值范围. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分. 若无穷数列{a }满足：只要a  a (p,qN*)，必有a a ，则称{a }具有性质 n p q p1 q1 n P. （1）若{a }具有性质P，且a 1,a 2,a 3,a 2，a a a  21，求a ； n 1 2 4 5 6 7 8 3 （2）若无穷数列{b }是等差数列，无穷数列{c }是公比为正数的等比数列，b c 1， n n 1 5 b c 81，a b c ，判断{a }是否具有性质P，并说明理由； 5 1 n n n n （3）设{b }是无穷数列，已知a b sina (nN*).求证：“对任意a ,{a }都具有性 n n1 n n 1 n 质P”的充要条件为“{b }是常数列”. n上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 考生注意： 1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非 选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对 后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设xR,则不等式 x3 1的解集为_____________． 【答案】（2,4） 【解析】试题分析： 由题意得：1 x31，解得2x 4. 考点：绝对值不等式的基本解法. 32i 2．设z ，其中i为虚数单位，则Imz=_____________． i 【答案】-3 【解析】 试题分析： 32i z  23i,Imz=3. i 考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3．已知平行直线l :2x y10,l :2x y10，则l 与l 的距离是_____________． 1 2 1 2 2 5 【答案】 5 【解析】试题分析：上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） |c c | |11| 2 5 利用两平行线间的距离公式得d  1 2   . a2 b2 22 12 5 考点：两平行线间距离公式. 4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则 这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76 考点：中位数的概念. 5．已知点(3,9)在函数 f(x)1ax的图像上，则 f(x)的反函数f 1(x) ________． 【答案】log (x1) 2 【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数f  x 1ax中得a 2，所以f  x 12x，用y表示x得 x log (y1)，所以f1 x log (x1). 2 2 考点：反函数的概念以及指、对数式的转化. 6．如图，在正四棱柱ABCDABC D 中，底面ABCD的边长为3，BD 与底面所成的 1 1 1 1 1 2 角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于____________． 3 【答案】2 2 【解析】试题分析： DD 2 DD 2 连结BD，则由题意得tanDBD  1   1  DD 2 2 . 1 BD 3 3 2 3 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 考点：线面角 7．方程3sinx1cos2x在区间 0,2π 上的解为___________.  5 【答案】 ， 6 6 【解析】试题分析： 化简3sinx 1cos 2x 得：3sinx 22sin2x ，所以2sin2x3sinx20 ，解得 1  5 sinx  或sinx 2（舍去），又x 0,2π ，所以x 或 . 2 6 6 考点：二倍角公式及三角函数求值. n  2 8．在3 x   的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于  x _________． 【答案】112 【解析】试题分析： 由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n，即2n 256，所以n 8，又二项展开 2 8  4 r 8 4 式的通项为T Cr(3 x)8r( )r (2)rCrx3 3 ，令  r0，所以r 2，所以 r1 8 x 8 3 3 T 112，即常数项为112. 3 考点：二项式定理. 9．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 7 3 【答案】 3 【解析】试题分析： 32 52 72 1 利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为  ，所以此角的正弦值 235 2 3 7 7 3 为 ，由正弦定理得2R  ,所以R  . 2 3 3 2 考点：正弦、余弦定理.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） ax y 1 10．设a0,b0.若关于x,y的方程组 ，无解，则ab的取值范围是 xby 1 ____________． 【答案】（2，+） 【解析】试题分析： 将方程组中上面的式子化简得y1ax，代入下面的式子整理得(1ab)x 1b，方程组 无解应该满足1ab0且1b0，所以ab1且b1，所以由基本不等式得 ab2 ab 2，即ab的取值范围是（2，+）. 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 11．无穷数列  a  由k个不同的数组成，S 为  a  的前n项和.若对任意nN，S   2,3  ， n n n n 则k的最大值为________. 【答案】4 考点：数列的项与和. 12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线 y  1x2 上一个动点， 则BPBA的取值范围是_____________. 【答案】[0,1+ 2] 【解析】试题分析：   P(cos,sin) [0,π] BA(1,1) 由题意设 , ，则BP (cos,1sin)，又 ，所以   π BPBA=cossin1= 2sin( )+1[0,1 2]. 4 考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）   13.设a,bR,c 0,2π  .若对任意实数x都有2sin3x asin  bxc  ，则满足条件  3   的有序实数组 a,b,c 的组数为 . 【答案】4 【解析】试题分析： π π 5π 5π 当a2时，sin(3x )sin(3x 2π)sin(3x )，(b,c)(3, )，又 3 3 3 3 π π 4π 4π sin(3x )sin[π(3x )]sin(3x )，(b,c)(3, )，注意到c[0,2π)， 3 3 3 3 5π 4π 所以只有2组：(2，3, ), (2，3, )满足题意；当a2时，同理可得出满足题意的 3 3   a,b,c 也有2组，故共有4组. 考点：三角函数   14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形AA A 的中心，A 1,0 .任取不同的 1 2 8 1 两点A,A ，点P满足OPOA OA 0，则点P落在第一象限的概率是_____________. i j i j 5 【答案】 28 【解析】试题分析： 共有C2 28种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有C2 25种，故所求概率为 8 3 5 . 28 考点：古典概型 三、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分. 15.设aR，则“a1”是“a2 1”的（ ）. （B）充分非必要条件 （B）必要非充分条件上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析： a1a2 1,a2 1a1或a1，所以“a1”是“a2 1”的充分非必要条件，选 A. 考点：充要条件 17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （B）65cos （B）65sin （C）65cos （D）65sin 【答案】D 【解析】试题分析：  3 依次取0, ,, ，结合图形可知只有65sin满足，选D. 2 2 考点：极坐标方程   18.已知无穷等比数列 a 的公比为q，前n项和为S ，且limS  S .下列条件中，使得 n n n n 2S S  nN 恒成立的是（ ）. n （B）a 0,0.6q0.7 （B）a 0,0.7q0.6 1 1 （C）a 0,0.7q0.8 （D）a 0,0.8q0.7 1 1 【答案】B上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 考点：1.数列的极限；2.等比数列求和. 18．设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若 f(x)g(x)、 f(x)h(x)、g(x)h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；② 若 f(x)g(x)、f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则 f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. （A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 m] 【答案】D 【解析】 试题分析： [f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)] 因为 f(x) ，所以 2 [f(x+T)g(x+T)][f(x+T)h(x+T)][g(x+T)h(x+T)] f(x+T) ,又 f(x)g(x)、 2 f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T 为周期的函数，所以 [f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)] f(x+T) =f(x)，所以 f(x)是周期为T的函数， 2 同理可得g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，②正确； f(x)、g(x)、h(x)中至少有一 个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三 个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不 正确.选D. 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分. 2 将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕的OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 ， 1 1 1 3   AB 长为 ，其中B 与C在平面AAOO的同侧. 1 1 3 1 1 1 （1）求三棱锥CO AB 的体积； 1 1 1 （2）求异面直线BC与AA 所成的角的大小. 1 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 3 π 【答案】（1） ；（2） . 12 4 【解析】  试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h1，底面半径r 1，  ，再由三角 1 1 1 3 形面积公式计算S 后即得.  1 1 1 （2）设过点 的母线与下底面交于点 ，根据 // ，知C或其补角为直线 C 1 1 1 1 1 π π 与 所成的角，再结合题设条件确定C ，C1．得出C 即可． 1 3 1 4 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高h1，底面半径r 1． π π 由 的长为 ，可知  ． 1 1 3 1 1 1 3 1 3 S     sin  ，  1  1  1 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 V  S h ． C 1  1  1 3  1  1  1 12上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） π 从而直线 C与 所成的角的大小为 ． 1 1 4 考点：1.几何体的体积；2.空间角. [来 20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域S 和S ，其中S 中的蔬菜运到河边较近，S 中的蔬菜运到F 点 1 2 1 2 较近，而菜地内S 和S 的分界线C上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐 1 2 标系，其中原点O为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图. （3）求菜地内的分界线C的方程; 8 （4）菜农从蔬菜运量估计出S 面积是S 面积的两倍，由此得到S 面积的“经验值”为 . 1 2 1 3 设M 是C上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及 五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的经验值. 1 5 11 【答案】（1） y2 4x（0 y2）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为 ，五边形面积 2 4 更接近于S 面积的“经验值”． 1 【解析】 试题分析：（1）由C上的点到直线与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以为 准线的抛物线在正方形FG内的部分．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五 边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可． 试题解析：（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以 为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为y2 4x（0 y2）． 1  （2）依题意，点的坐标为 ,1． 4  5 11 所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 ． 2 4 5 8 1 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为   ，而五边形面积与“经验值”之差 2 3 6 11 8 1 的绝对值为   ，所以五边形面积更接近于S 面积的“经验值”． 4 3 12 1 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. y2 双曲线x2  1(b0)的左、右焦点分别为F、F ，直线l过F 且与双曲线交于 b2 1 2 2 A、B两点. π （1）若l的倾斜角为 ，FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2 1    （2）设b 3，若l的斜率存在，且(F A FB)AB  0，求l的斜率. 1 1 15 【答案】（1） y  2x；（2） . 5 【解析】 试题分析：（1）设 x ,y ，根据题设条件得到4  1b2  3b4，从而解得b2的值．   （2）设 x ,y ， x ,y ，直线l: y k  x2 与双曲线方程联立，得到一元二次方 1 1 2 2 程，根据l与双曲线交于两点，可得k2 30，且36  1k2  0．再设的中点为       x ,y ，由  FF  0即F0，从而得到k k 1，进而构建   1 1 1 F 1 关于k的方程求解即可．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 试题解析：（1）设 x ,y ．    y2 x2  1   由 3 ，得 k2 3 x2 4k2x4k2 30 ．  y k  x2   因为l与双曲线交于两点，所以k2 30，且36  1k2  0． 设的中点为 x ,y ．          由 FF 0即F0，知F ，故k k 1． 1 1 1 1 F 1 x x 2k2 6k 3k 而x  1 2  ，y k  x 2  ，k  ，  2 k2 3   k2 3 F 1  2k2 3 3k 3 15 所以 k 1，得k2  ，故l的斜率为 ． 2k2 3 5 5 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分. 1 已知aR，函数 f(x)log ( a). 2 x （1）当a 5时，解不等式 f(x)0； （2）若关于x的方程 f(x)log [(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a的 2 取值范围；上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 （3）设a  0，若对任意t[ ,1]，函数 f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不 2 超过1，求a 的取值范围.  1 2  【答案】（1）x  ,   0,；（2） 1,2    3,4 ；（3）  , ．  4 3  【解析】 1  1 试题分析：（1）由log  5 0，得 51，从而得解． 2  x  x （2）将其转化为 a4  x2 a5  x10 ，讨论当a 4、a 3时，以及a 3且a  4 时的情况即可． （3）讨论 f  x 在 0,上的单调性，再确定函数 f  x 在区间 t,t1 上的最大值与最 1  小值之差，从而得到at2  a1  t10，对任意t ,1 成立．   2  1  1 试题解析：（1）由log  5 0 ，得 51， 2  x  x  1 解得x  ,   0,．  4 1 （2） a a4  x2a5， a4  x2 a5  x10 ， x 当a 4时，x1，经检验，满足题意． 当a 3时，x  x 1，经检验，满足题意． 1 2 1 当a 3且a  4时，x  ，x 1，x  x ． 1 a4 2 1 2 1 x 是原方程的解当且仅当 a0，即a 2； 1 x 1 1 x 是原方程的解当且仅当 a0，即a 1． 2 x 2 于是满足题意的a 1,2 ． 综上，a的取值范围为 1,2    3,4 ．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1  1 因为a 0，所以函数 y at2  a1  t1在区间 ,1 上单调递增，t  时， y   2  2 3 1 3 1 2 有最小值 a ，由 a 0，得a ． 4 2 4 2 3 2  故a的取值范围为  , ． 3  考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分. 若无穷数列{a }满足：只要a  a (p,qN*)，必有a a ，则称{a }具有性质 n p q p1 q1 n P. [ （1）若{a }具有性质P，且a 1,a 2,a 3,a 2，a a a  21，求a ； n 1 2 4 5 6 7 8 3 （2）若无穷数列{b }是等差数列，无穷数列{c }是公比为正数的等比数列，b c 1， n n 1 5 b c 81，a b c ，判断{a }是否具有性质P，并说明理由； 5 1 n n n n （3）设{b }是无穷数列，已知a b sina (nN*).求证：“对任意a ,{a }都具有性 n n1 n n 1 n 质P”的充要条件为“{b }是常数列”. n 【答案】（1）16；（2） a 不具有性质，理由见解析；（3）见解析． n 【解析】上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 试题分析：（1）根据已知条件，得到a a a a 32，结合a a a  21求解 6 7 8 3 6 7 8 即可． 1 （2）根据 b 的公差为20， c 的公比为 ，写出通项公式，从而可得 n n 3 a b c  20n1935n． n n n 304 通过计算a a 82，a 48，a  ，a a ，即知 a 不具有性质． 1 5 2 6 3 2 6 n （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为a a ，所以a a ，a a 3，a a  2． 5 2 6 3 7 4 8 5 于是a a a a 32，又因为a a a  21，解得a 16． 6 7 8 3 6 7 8 3 1 （2） b 的公差为20， c 的公比为 ， n n 3 n1 1 所以b 120  n1 20n19，c 81   35n． n n 3 a b c  20n1935n． n n n 304 a a 82，但a 48，a  ，a a ， 1 5 2 6 3 2 6 所以 a 不具有性质． n [证]（3）充分性： 当 b 为常数列时，a b sina ． n n1 1 n 对任意给定的a ，只要a a ，则由b sina b sina ，必有a a ． 1 p q 1 p 1 q p1 q1 充分性得证． [ 必要性： 用反证法证明．假设 b 不是常数列，则存在k， n 使得b b b b，而b b． 1 2 k k1 下面证明存在满足a b sina 的 a ，使得a a a ，但a a ． n1 n n n 1 2 k1 k2 k1 设 f  x  xsinxb，取m，使得mπ b ，则上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） f  mmb  0， f mmb 0，故存在c使得 f  c 0． 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.