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5 上海市金山区 2023 届初三一模数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 下列 关于 的函数中，属于二次函数的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义判断解答即可．
【详解】∵ 中x的指数是1，
∴ 是一次函数，
∴A选项不符合题意；
∵ 中x的指数是-1，
∴ 是反比例函数，
∴B选项不符合题意；
∵ 中x的指数是2，且 是整式，
∴ 是二次函数，
∴C选项符合题意；
∵ 不是二次函数，
∴D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解
题的关键．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答
案．
【详解】解：A、∵ ，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵ ，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵ ，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵ ，
∴四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大
的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3. 在 中， （ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意及三角函数直接进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意得：
，
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学科网（北京）股份有限公司；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
4. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC
的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】C
【解析】
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据
平行线的判定得出即可．
【详解】只有选项C正确，理由：
如图：
∵AD=2，BD=4， = ，
∴ = = ，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
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学科网（北京）股份有限公司故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推
理是解此题的关键．
5. 已知 ， ， 是非零问量，下列条件中不能判定 的是（ ）
A. ， B. C. D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可得出答案．
【详解】解： ， ，
，
故A选项能判定 ；
，
，
故B选项能判定 ；
，不能判断 与 方向是否相同，
故C选项不能判定 ；
， ，
，
，
故D选项能判定 ，
故正确答案为：C．
【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司6. 如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴直线 与
x轴交于点D，若 ，那么下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【
详解】解：A、由图可知：当 时， ，选项错误，不符合题意；
B、由图可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的横坐标大于 ，
∵ 时， 随 的增大而增大，
的
∴当 时 函数值小于点 的纵坐标0，
即： ，选项错误，不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，即： ，
由图可知，当 时， ，
∴ ，选项错误，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D、∵ ， ，
∴ ，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，即 点的横坐标在 和 之间，
∵ 时， 随 的增大而减小，
∴当 时的函数值小于点 的纵坐标0，
即： ，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】将 变形为 ，代入条件即可求值．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查比例的性质，根据式子的特征适当的变形，再采用整体代入是解题的关键．
8. 已知 ，那么 _________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据把自变量的值代入函数解析式，可得相应的函数值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ．
故答案为：3
【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
9. 已知 是锐角，且 ，那么 _________．
【答案】 ##45度
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
10. 将抛物线 向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】解：二次函数 的图象向右平移3个单位，
得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移
后的函数解析式．
11. 抛物线 有最高点，那么 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意可知 ，解不等式即可求解．
【详解】解：∵抛物线 有最高点，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. 如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔
高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且 ，那么底部B到球体P之间的距离是
_________米（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中
项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
【详解】解：∵点P是线段 上的一个黄金分割点，且 米， ，
∴ 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
13. 某商场营业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯 坡度 ，自动扶梯 的长度为12米，
那么大厅两层之间的高度 _________米．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【解析】
【分析】如图，由坡度易得 与 的比为 ，设出相应未知数，利用勾股定理可得 的长度．
【详解】解：设大厅两层之间的高度 为 米，
如图，在 中， ，坡度： ， ，
∴ 与 的比为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （负值不符合题意，舍去），
∴大厅两层之间的高度 为 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形及勾股定理．理解坡度的意义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司14. 如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝ ，AC＝12，则BC=___．
△
【答案】9
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD= = ，
∴BC= AC= ×12=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．
15. 如图， 与 相交于点E， ，联结 ，若 ，设 ， ，
那么 _________（用含 的式子表示）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由平行线截线段成比例和平面向量的角形法则解答，先求出 ，然后表示出 ，再求出
，然后根据 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则．
16. 如图，在平行四边形 中，F是边 上的一点，射线 和 的延长线交于点 E，如果
，那么 _________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】在平行四边形 中，根据 ，得出 ，根据 ，得出
，证明 ，根据相似三角形的性质得到 即可得到 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键．
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学科网（北京）股份有限公司17. 我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，在 中，
，直线 是 的一条美丽线，直线 分别交边 于点 、 ，交 延
长线于点 ，当 时，那么 的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，根据新定义得出 ，设 ，则 ，根据
得出 ，继而得出 ，即可求得 ，进而根据等角的余角相等，得出
，即可求解．
【详解】解：连接 ，
依题意，在 中， ，直线 是 的一条美丽线，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
设 ， ，则 ，.
∴
∴ ，
∴ ,
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
即
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了余弦的定义，根据新定义得出 是解题的关键．
18. 如图， 为等腰直角三角形， 为 的重心，E为线段 上任意一
动点，以 为斜边作等腰 （点D在直线 的上方）， 为 的重心，设
两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】当点E与点B重合时， ，当点E与点A重合时， 的值最大，利用重心的性质以及勾股定
理求得 ， ，证明 ，推出 是等腰直角三角形，据此求
解即可．
【详解】解：当点E与点B重合时， ，
当点E与点A重合时， 的值最大，如图，点FH分别为 的中点，
∵ 为等腰直角三角形， 为 的重心，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
同理 ，
∴ ， ，
， ， ，即 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，重心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的计算即可．
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，以及二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本
题的关键．
20. 如图，已知抛物线 与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点 ，若 的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）将原点代入解析式求出a即可求出表达式，并令 求出点A坐标；
（2）先求出顶点B的坐标，表示出 ，根据三角形面积公式列出等式，解得m即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵抛物线与x轴正半轴交于点A，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴点 ；
【小问2详解】
设 与 交于点H，
∵抛物线解析式为 ，
∴顶点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
解得 ，
∴点 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质．
21. 如图，已知在四边形 中， 是对角线， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意易知 ，由 ，可知 ，即可证明结论；
（2）由 ，可列比例式 ，即 ，进而求得 ，再由勾
股定理即可 的长度．
【小问1详解】
解：∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵
∴ ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ （负值舍去），
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，掌握证明两个三角形相似的方法是解决问题的关
键．
22. 如图，小睿为测量公园的一凉亭 的高度，他先在水平地面点E处用高 的测角仪 测得顶部
A的仰角为 ，然后沿 方向向前走 到达点G处，在点G处用高 的测角仪 测得顶部A的
仰角为 ．求凉亭 的高度（ ，结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】
【解析】
【分析】设 ，在 中，根据正切三角函数关系得到 ，在
中，根据正切三角函数关系列方程 ，然后解方程求出 ，最后利用
关系即可得解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：联结 并延长，交 于点C，由题意得：
， ， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，经检验： 是原方程的根，
答：凉亭 的高约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，已知菱形 中，点E在边 延长线上，联结 交边 于点F，联结 ，过点F作
交 于点G．
（1）求证： ；
（2）联结 交 于点O，联结 ，当 时，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）首先证明 ，再证明 即可解决问题．
（2）证明 ，可得 ，即可解决问题．
【小问1详解】
∵四边形 是菱形
∴
∵
∴
∴ ，同理
∴
∵
∴
【小问2详解】
∵四边形 是菱形
∴ 垂直平分
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是菱形
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 即
∵ ，
∴
【点睛】本题考查菱形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
属于中考常考题型．
24. 已知抛物线 经过点 ， ，顶点为点P，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；
（2）将抛物线向上平移 个单位后，点A的对应点为点M，若此时 ，求m的值；
（3）设点D在抛物线 上，且点D在直线 上方，当 时，求点D的坐
标．
【答案】（1） ，
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得 ，由此可求得直线 的解析式为 ，由 ，可设直线 解
析式为 ，进而求得其解析式为 ，由 ，代入直线 的表达式求得 ，
即可求得m的值；
（3）由点 ， ， ，易知 ， ， 作 直线 于H，
作 于 K ， 在 中 ， ， 进 而 可 求 得 ，
，可得 ，由 ，可得 ，在 中，可设
，则 ，可知 ，将其代入 ，求出 即可得点 坐标．
【小问1详解】
∵抛物线经过A、B，代入得 ，解得
∴抛物线解析式为 ，
∴顶点 ；
【小问2详解】
令 ，则 ，即
∵直线 经过点A、C，设其解析式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得
∴直线 ，
∵ ，且直线 经过点 ，设解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 ，
∵点M是点A向上平移m个单位所得
∴ ，代入直线 的表达式，得
∴ ；
【小问3详解】
由点 ， ， ，
则 ，易知 ， ，
作 直线 于H，作 于K，
在 中，
∴ ，
∵
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴在 中，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，可设 ，则
∴
∵点D在抛物线上，
∴
解得 （舍去）， ，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移及解直角三角形，熟练掌握函数性质及添
加辅助线构造直角三角形是解决问题得关键．
25. 已知平行四边形 中， ，点P是对角线 上一动点，作
，射线 交射线 于点E，联结 ．
（1）如图1，当点E与点A重合时，证明： ；
（2）如图2，点E在 的延长线上，当 时，求 的长；
（3）当 是以 为底的等腰三角形时，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ，则 ，由角之间的关系得到
，即可证明 ；
（2）设 交于点O．先证明 ，得到 ，过点D作 延长线于
H ， 由 得 到 ， 则 ， 在 中 ，
，由 ，得到 ， ， ，在 中，
由勾股定理得到 ，则 ，即可得到 ；
（3）当点E在边 延长线上或在边 上两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又 且 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
设 交于点O．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 延长线于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
是以 为底的等腰三角形时，
∴当点E 在边 延长线上时，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 得， ，
即 ，
解得 ，
∴ ；
当点E在边 上时，设 ，
则 ，
由 得，
，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴综上所述， 长为 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和
性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
