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上海市航头学校 2022 学年度第二学期
九年级数学 5 月调研卷
（考试时间：90分钟；满分：150分）
班级______姓名______学号______
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 下列实数中，属于有理数的是（ ）
A. B.
C. 0.3131131113……（两个3之间依次多个1） D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数的定义即可得出答案．
【详解】根据有理数定义：有限小数和无限循环的小数都是有理数，
所以选项A、C、D都是无限不循环小数，是无理数，B选项是分数，是有理数．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的定义，掌握有理数是有限小数和无限循环小数是解题的关键．
2. 如果 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）
同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
的
【详解】解：A、不等式 两边都加6，则 ，故成立，符合题意；
B、不等式的两边都乘以 ，则 ，故不成立，不合题意；
C、不等式的两边都乘以 ，则 ，故不成立，不合题意；
D、不等式的两边都减 ，则 ，故不成立，不合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应
密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边
乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，故不符合题意；
C、 是最简二次根式，故符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式，理解“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是
最简二次根式”是正确判断的关键．
4. 一组数据 、 、 、 、 、 的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义，对这组数据按大小排序，找出最中间的两个数求平均数即可．
【详解】对这组数据按大小排序： 、 、 、 、 、
这六个数最中间的数是第三个和第四个数，
故选：C．【点睛】本题考查了中位数的计算，注意当数据个数是奇数时，按大小排序后，最中间的数就是中位数；
当数据个数是偶数时，按大小排序后，最中间的两个数的平均数是中位数．掌握中位数的定义计算是解题
的关键．
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形
D. 两条对角互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊四边形的判定方法即可判定．
【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为假命题；
C、两条对角线相等的四边形不一定是矩形或等腰梯形，故为假命题；
D、两条对角互相平分的四边形是平行四边形，故为真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的真假．解决本题要熟悉常见四边形的判定方法．
6. 在平面直角坐标系中，以点 为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，
那么半径R的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．
【详解】解： ，
∴ ，
∵原点O在圆A的外部，
∴ ，即 ，
∵圆A与x轴相交，
∴ ，∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与
圆的位置关系是解此题的关键．
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 计算： ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据底数不变，指数相减计算即可．
【详解】 = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握计算法则是解题的关键．
8. 函数 的定义域是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知： ，解得 的范围．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函
数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9. 分解因式：a2﹣2a+1＝_____．
【答案】（a﹣1）2
【解析】
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，即可把原式化为积的形式．【详解】a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点睛】此题考查完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
10. 一元二次方程 根的情况是_____．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】先求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．
11. 方程 的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边平方得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解： ，
方程两边平方得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
即原方程的解是 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
12. 如图，已知 ，点A在 上，点B和D在 上，点C在 的延长线上， ，
，则 的度数是_____．
【答案】 ##40度
【解析】
【分析】利用平行线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解
决本题的关键．
13. 已知函数 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了运用实数的计算，求解函数值的能力，关键是能准确代入、计算．
14. 一个不透明的口袋中有除了标号不同外，五个完全相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率等于_____．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】由在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，直接利
用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解： 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为 ．
故答案 为： ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
15. 已知甲乙两位运动员在一次射击训练中各射五发，射击成绩的平均环数相同，甲的方差是 ；乙的成
绩（环）为7、8、10、9、6，那么甲、乙两位运动员中_____的成绩稳定．
【答案】甲
【解析】
【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．
【详解】解：乙的平均成绩为 ，
方差为： ，
甲的方差为 ，
甲的方差较小，
成绩较稳定的是甲，
为
故答案 ：甲．
【点睛】本题考查了方差的知识，解题的关键是了解方差的意义并牢记方差的计算公式，难度不大．
16. 如图，已知在 中，点 在边 上， ， ， ，那么 _____．（用含
向量 和 的式子表示）【答案】
【解析】
【分析】利用三角形法则可知： ，求出 即可解决问题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案 为： ．
【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识．
17. 如图，点A在x轴的正半轴上，函数 的图像经过 的顶点B和边AB上的点C，且
，点B的横坐标为2，则点C的坐标是_____．【答案】
【解析】
【分析】分别过B，C作 ， ，垂足为D，E，得到 ，求出点B的坐标，证明
，得到 ，设 ，代入函数表达式，求出a值，可得 ，进一步
计算可得 ，从而得到点C的坐标．
【详解】解：分别过B，C作 ， ，垂足为D，E，
则 ，
∵点B在 图象上，横坐标为2，
∴纵坐标为 ，即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
则 ，即 ，代入 ，得 ，
解得： ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形
的判定和性质，解题的关键是将点的坐标和线段的长相互转化．
18. 如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，将 绕着点
逆时针旋转，点 落在 的一条边上的点 处，那么旋转角 的度数是_____．
【答案】 或
【解析】【分析】分类讨论：当点 在 上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点 在 上，根据
30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得．
【详解】当点 在 上，如图：
∵ ，∴ ，
∴ ，
当点 在 上，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性质，三角形的外角性
质，解题的关键是分类讨论思想的运用．
三、解答题（第19~22题每题10分，第22、23题每题12分，第25题14分，共78分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ；
【解析】
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入 的值求解．
【详解】解：原式
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值和二次根式的化简，关键是对多项式进行因式分解，然后化简求值．
20. 解方程组： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用加减消元法，得到 ，解之求出y值，再代入求出x值即可．
【详解】解： ，
得： ，
解得： 或 ，
当 时，代入 中，
解得： ；当 时，代入 中，
解得： ，
∴方程组的解为 ， ．
【点睛】本题考查了二元二次方程组，解题的关键是掌握消元的思想．
21. 如图，已知 中， ， ，边 的垂直平分线，交 的延长线于点D，交
边 于点E．
（1）求 的长；
（2）求点C到直线 的距离．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）过点A作 于点F，由等腰三角形的性质可得 ， ，求
得 ，再根据垂直平分线的性质可得 ， ，从而可得 ，
即 ，求得 ，即可求解；
（2）过点C作 于点H，证明 ，根据平行线段成比例定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点A作 于点F，∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：过点C作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数、
相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．
22. 某演唱会购买门票有两种方式：
方式一：若单位赞助广告费10万元，则购买门票的单价是每张 万元；
方式二：设总费用y万元，购买门票x张．如图所示是y关于x的函数图像．
（1）方式一中：总费用＝赞助广告费10万元+门票费，求方式一中y关于x的函数解析式；
（2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买这场演唱会门票共400张，且乙单位购买超过100张，
两个单位的总共花费 万元，求甲、乙两个单位各购买门票多少张？
【答案】（1）
（2）甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张
【解析】
【分析】（1）方案一中，总费用 广告赞助费 门票单价 票的张数；
（2）方案二中，当 时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；
设乙单位购买了 张门票，则甲单位购买了 张门票，进而根据（1）得甲单位的总费用，再根据
两单位共花费 万元，列出方程解答便可．
【小问1详解】解：方案一：单位赞助广告费10万元，该单位所购门票的价格为每张 万元，
则 ；
【小问2详解】
方案二：当 时，设解析式为 ．
将 ， 代入，
得 ，解得 ，
∴ ．
设乙单位购买了 张门票，则甲单位购买了 张门票，根据题意得
，
解得， ，
，
答：甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，及一元一次方程解决实际
问题的运用，在解答的过程中求出一次函数的解析式 是解答的关键，根据自变量不同的取值，
对总门票费分情况进行探讨是解决本题的易错点．
23. 如图，已知四边形 是菱形，两对角线 和 相交于点O，过点D作 ，垂足为点
H， 和 交于点E，联结 并延长 交边 于点G．求证：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先判断出 ，进而判断出 ，得出 ，再用等角的余角
相等判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而判断出 ，得出 ．
【小问1详解】
证明： 是菱形 的对角线，
，
点 是菱形 的两条对角线的交点，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：由（1）知， ，是菱形 的对角线，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出
是解本题的关键．
24. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 和点 ，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）求 的正切值；
（3）点P在第一象限的抛物线上，且 ，求点P的坐标．
【答案】（1） ，（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据两点坐标距离公式求得 、 、 ，然后可利用勾股定理的逆定理得到 ，
进而利用正切定义求解即可；
（3）设点 ， ，过P作 轴于H，由 求解m
值即可求解．
【小问1详解】
解：将点 和点 代入 中，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
又∵ ，
∴顶点C的坐标为 ；
【小问2详解】
解：∵ 、 、 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，∴ ；
【小问3详解】
解：由题意，设点 ， ，
过P作 轴于H，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
又 ，
∴满足条件的点P坐标为 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、勾股定理的逆定理、
两点坐标距离公式、解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合和方程思想解决问
题，是中考压轴题型．
25. 如图，已知 中， ， ， ，点D在 上，连接 ，以点A为圆心、
以 为半径作圆A，圆A和边 交于点E，点F在圆A上，且 ．（1）设 ， ，求y关于x的函数解析式；并写出 的长；
（2）如果点E是弧 的中点，求 的值；
（3）连接 ，如果四边形 是梯形，求 的长．
【答案】（1） ，
（2）
（3）1或
【解析】
【分析】（1）过A作 于H，利用锐角三角函数和勾股定理求解即可；
（2）在上图中，连接 交 于Q，根据垂径定理的推论和直角三角形斜边中线性质得到 ，
，利用正切定义得到 ，设 ，则 ， ，由
求得 ， ，利用勾股定理求得 即可求解；
（3）根据梯形性质，分 和 两种情况，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：过A作 于H，则 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：在上图中，连接 交 于Q，
∵点E是弧 的中点，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如果四边形 是梯形，有两种情况：
当 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴D和（1）图中的H重合，则 ；
当 时，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， （负值舍去），
∴ ，
综上，当四边形 是梯形时， 的长为1或 ．
【点睛】本题是圆的综合题，涉及锐角三角函数、勾股定理、垂径定理的推论、直角三角形斜边中线性质、
相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、解一元二次方程、梯形性质等知识，综合性较强，解答本
题熟练掌握相关知识的联系与运用，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
